2021年人教版中考预测卷《数学卷》含答案解析

人教版数学中考综合模拟检测试题

学校班级姓名成绩

一、选择题（下列各题中的四个选项只有一个是正确的，每小题3分，共24分）

1.-5的相反数是（）

1

A.-5B.±5C.一D.5

5

2.下列运算正确的是（）

A.V2+V3=V5B.--x3y6

76

D.V18+V=64=3>/2-4

3.学校为了丰富学生课余活动，开展了一次“爱我深圳，唱我深圳”的歌咏比赛，共有18名同学入围，他

们的决赛成绩如下表，则入围同学决赛成绩的中位数和众数分别是（）

成绩（分）9.49.59.69.79.89.9

人数235431

A.9.7,9.6B,9.6,9.6C,9.6,9.7D,9.65,9.6

4.一个袋中装有1个红球,2个白球,3个黄球，它们除颜色外完全相同，小明从袋中任意摸出1个球，摸出的是

白球的概率是（）

111

A.-B.-C.—D.1

632

5.据省统计局发布，2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%.假定2018年的年增长率保持不变,

2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，则（）

A.b=（1+22.1%X2）aB.b=（1+22.1%）2a

C.b=（1+22.1%）x2aD.b=22.1%x2a

6.已知关于x的方程x2—4x+c+l=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（）

A.—1B.3C.1D.0

7.一个扇形的圆心角是120。，面积为3ncm2,那么这个扇形的半径是（）

A.1cmB.3cmC.6cmD.9cm

2

8.直线y=]x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B,点C。分别为线段48,08的中点，点P为0A上

一动点，PC+PO值最小时点P的坐标为（）

P0\

A.(-3,0)B.(-6,0)

二、填空题（每小题3分，共24分）

9.已知a-b=2,则代数式2a-2b-3的值是.

10.计算：-_（逐—1）-23x（.

11.如图，RGABC中，A6=9,8C=6,N3=90。，将口45。折叠，使A点与BC的中点£＞重合，折痕

为MN,则线段BN的长为.

12.关于x的一元二次方程（/«—\）x2+6x+m2—m=0的一个根40,则m的值是.

13.在平面直角坐标系中，四边形AOBC为矩形，且点C坐标为（8,6）,M为BC中点，反比例函数＞=&

（k是常数，k/0）的图象经过点M,交AC于点N,则MN的长度是

«x

14.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30。，看这栋高楼底部C的俯角

为60。，热气球A与高楼的水平距离为120m,这栋高楼BC的高度为米.

B

15.如图①，在边长为4cm正方形ABCD中，点P以每秒2cm的速度从点A出发，沿AB玲BC的路径运动,

到点C停止.过点P作PQ〃BD,PQ与边AD(或边CD)交于点Q,PQ的长度y(cm)与点P的运动时间

x(秒)的函数图象如图②所示.当点P运动2.5秒时，PQ的长度是cm.

16.如图为抛物线部分图象，抛物线y=ax、bx+c(aWO)的对称轴为直线x=l,与x轴的一个交点坐标为

(-1,0),下列结论：

(T)4ac<b2

②方程ax'+bx+cR两个根是xi=-l,X2=3

③3a+c>0

④当y>0时，x的取值范围是-1WxV3

⑤当x<0时，y随x增大而增大

其中正确的结论是—.

三、解答题(共72分)

5x-2<3(x+2)

17.解不等式组：\2x-\5x+l.

-------------S1

32

162+x

18.解分式方程:

炉一42—x

19.如图，在边长为1的正方形网中建立平面直角坐标系，已知DABC三个顶点分别为A(-1.2),B(2,

1)、C(4,5).

(1)画出口48。关于%对称的△A4G；

(2)以原点。为位似中心，在x轴的上方画出△Az^G，使△&82G与□ABC位似，且位似比为2,并

求出AA/2G的面积.

20.某校为了推进学校均衡发展，计划再购进一批图书，丰富学生的课外阅读.为了解学生对课外阅读的需

求情况，学校对学生所喜爱的读物：A.文学，B.艺术，C.科普，D.生活，E.其他，进行了随机抽样

调查(规定每名学生只能选其中一类读物)，并将调查结果绘制成以下不完整的统计图表.

(1)用，b=,请补全条形统计图；

(2)如果全校有2500名学生，请你估计全校有多少名学生喜爱科普读物；

(3)学校从喜爱科普读物的学生中选拔出2名男生和3名女生，并从中随机抽取2名学生参加科普知识竞

赛，请你用树状图或列表法求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率.

21.如图，在。ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，连接DE、BF、BD.

(1)求证：AADE^ACBF

（2）当ADLBD时，请你判断四边形BFDE的形状，并说明理由.

22.2017年5月14日至15日，“一带一路'’国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国

家签署经贸合作协议，某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区.已知2件甲

种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元.

（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？

（2）若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？

四、解答题（本题共4道题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分）

ITI

23.如图，一次函数y=Ax+l与反比例函数y=—的图象交于点P,点尸在第一象限，%_1_》轴于点A,PB_Ly

x

轴于点B,一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D,且SA/W>=4SAZX）C,AO=2.

（2）求反比例函数与一次函数的解析式；

（3）根据图象写出当x>0时，反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围.

24.如图，已知AB是。。上的点，C是。O上的点，点D在AB的延长线上，ZBCD=ZBAC.

（1）求证：CD是。O的切线；

（2）若/D=30。，BD=2,求图中阴影部分的面积.

二次函数y=3（x+2行『

25.的图像的顶点为A，与>轴交于点3,以AB为边在第二象限内作等边三角

形A8C.

以慰此策

-ill

(1)求直线A8的表达式和点C的坐标；

(2)点M(加,1)在第二象限，且AMM的面积等于△A8C的面积，求点M的坐标；

(3)以x轴上的点N为圆心，1为半径的圆，与以点C为圆心，CM的长为半径的圆相切，直接写出点N

的坐标.

26.在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,P是BC上的任意一点(P与B、C不重合)，过点P作APJ_PE,垂足为P,

PE交CD于点E.

(1)连接AE,当4APE与aADE全等时，求BP的长；

(2)若设BP为x,CE为y,试确定y与x的函数关系式.当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？

⑶若PE〃BD,试求出此时BP长.

E

答案与解析

一、选择题（下列各题中的四个选项只有一个是正确的，每小题3分，共24分）

1.-5的相反数是（）

A.-5B.+5C.-D.5

5

【答案】D

【解析】

【分析】

根据相反数的定义直接求解即可.

【详解】解：-5的相反数是5,

故选D.

【点睛】本题考查相反的定义，熟练掌握基础知识是解题关键.

2.下列运算正确的是（）

A.-\/2+^3—-$/5B.f—xy~=—X1yb

I2J6

C.（-x）5-（-x）2=x3D.V18+V=64=35/2-4

【答案】D

【解析】

解：A.、历、G不是同类项，不能合并，故选项A错误；

/1Y1

B.I--xy2x3y6,故选项B错误；

C.（―x）5+（—x）~二—JC）,故选项C错误；

D.718+^^64=372-4,故选项D正确.

故选D.

3.学校为了丰富学生课余活动，开展了一次“爱我深圳，唱我深圳”的歌咏比赛，共有18名同学入围，他

们的决赛成绩如下表，则入围同学决赛成绩的中位数和众数分别是（）

成绩（分）9.49.59.69.79.89.9

人数235431

A.9.7,9.6B,9.6,9.6C,9.6,9.7D.9.65,9.6

【答案】B

【解析】

【分析】

根据中位数和众数的概念即可得出答案.

【详解】中位数:将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间

位置的数就是这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.

由此可知，这组数据的中位数为竺上？=9.6；

2

众数:一组数据中出现次数最多的数据为这组数据的众数.

由此可知，这组数据的众数为9.6.

故选:B.

【点睛】本题主要考查中位数和众数，掌握中位数和众数的概念是解题的关键.

4.一个袋中装有1个红球,2个白球,3个黄球，它们除颜色外完全相同，小明从袋中任意摸出1个球，摸出的是

白球的概率是（）

111

A.—B.—C.-D.1

632

【答案】B

【解析】

【分析】

因为袋子里总有6个球，其中白球有2个，所以摸出白球的概率是'.

3

21

【详解】解:因为共有1+2+3=6个球，其中有白球2个，故摸到白球的概率为一=一.

63

故选B.

【点睛】本题主要考查概率的概念和概率的计算，解决本题的关键是要熟练掌握概率的概念和概率的计算.

5.据省统计局发布，2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%.假定2018年的年增长率保持不变，

2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，则（）

A.b=（1+22.1%X2）aB.b=<1+22.1%）2a

C.b=（1+22.1%）x2aD.b=22.1%x2a

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意可知2017年我省有效发明专利数为(1+22.1%)a万件，2018年我省有效发明专利数为

(1+22.1%)•(1+22.1%)a,由此即可得.

【详解】由题意得：2017年我省有效发明专利数为(1+22.1%)a万件，

2018年我省有效发明专利数为(1+22.1%)•(1+22.1%)a万件,即b=(1+22.1%)2a万件，

故选B.

【点睛】本题考查了增长率问题，弄清题意，找到各量之间的数量关系是解题的关键.

6.己知关于x的方程x2-4x+c+l=0有两个相等的实数根，则常数c的值为()

A.-1B.3C.1D.0

【答案】B

【解析】

【分析】

根据方程的系数结合根的判别式△=0,即可得出关于c的一元一次方程，解之即可得出结论.

【详解】；方程x2-4x+c+l=0有两个相等的实数根，

△=(-4)2-4(C+1)=12-4c=0,

解得：c=3.

故答案选B.

【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是熟练的掌握根的判别式的应用.

7.一个扇形的圆心角是120。，面积为37tcm2,那么这个扇形的半径是()

A.1cmB.3cmC.6cmD.9cm

【答案】B

【解析】

【分析】

根据扇形的面积公式进行计算.

【详解】解：设这个扇形的半径是mm.

根据扇形面积公式，得心竺。=3兀，

360

解得r=±3(负值舍去).

故答案为3.

【点睛】本题考查了扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式是解决此题的关键.

2

8.直线y=§x+4与x轴、y轴分别交于点A和点8,点C,。分别为线段AB,0B的中点，点尸为0A上

一动点，PC+P。值最小时点P的坐标为()

53

A.(一3,0)B.(-6,0)C.(---,0)D.(---,0)

22

【答案】C

【解析】

【详解】作点D关于x轴的对称点D，，连接CD，交x轴于点P,此时PC+PD值最小，如图所示.

2

直线y=^x+4与x轴、y轴的交点坐标为A(-6,0)和点B(0,4),

因点C、D分别为线段AB、OB的中点，可得点C(-3,2),点D(0,2).

再由点D，和点D关于x轴对称，可知点D，的坐标为(0,-2).

设直线CD的解析式为y=kx+b,直线CD，过点C(-3,2),D,(0,-2),

k」

2=-3k+b

所以《c.，解得：13,

-2=b

b=-2

4

即可得直线CD，的解析式为y=--x-2.

443

令y=---x-2中y=0,则0=---x-2,解得：x=---,

332

3

所以点P的坐标为,0).故答案选C.

2

考点：一次函数图象上点的坐标特征；轴对称-最短路线问题.

二、填空题(每小题3分，共24分)

9.已知a-b=2,则代数式2a-2b-3的值是.

【答案】1

【解析】

【分析】

把a-b=2当做整体代入即可求解.

【详解】：a-b=2

.\2a-2b-3=2(a-b)-3=2x2-3=l

故答案为：1.

【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知整体法的应用.

10.计算：g=.

【答案】-3

【解析】

【分析】

根据负指数基的性质、零指数幕的性质和乘方的意义计算即可.

【详解】解：-(V5-l)(，-23xf-1^|

9

=16-l-8x-

4

=15-18

=-3

故答案为：-3.

【点睛】此题考查的是实数的混合运算，掌握负指数幕的性质、零指数基的性质和乘方的意义是解决此题

的关键.

11.如图，R/A8C中，AB=9,BC=6,ZB=90°,将口45。折叠，使A点与BC的中点。重合，折痕

为MN,则线段8N的长为

NB

【答案】4

【解析】

【分析】

根据题意，设BN=x,由折叠DN=AN=9-x,在RfI5ZW利用勾股定理列方程解出x,就求出BN的长.

【详解】；D是CB中点，BC=6

BD=3

设BN=x,AN=9-x,由折叠，DN=AN=9-x,

在R1QBDN中，BN2+BD2=DN2，

X2+32=（9-X）2,解得X=4

；.BN=4.

故答案是：4.

【点睛】本题考查折叠的性质和勾股定理，关键是利用方程思想设边长，然后用勾股定理列方程解未知数,

求边长.

12.关于x的一元二次方程（/n-1）1+6*+〃22fz=0的一个根产0,则，〃的值是.

【答案】0

【解析】

【分析】

把代入原方程即可求解.

【详解】把k0代入原方程得小一〃?=0

解得m=0或m=l

*.*m—1^0

/.m=0

故答案为：o.

【点睛】此题主要考查方程解，解题的关键是熟知方程的解的含义及一元二次方程的定义.

13.在平面直角坐标系中，四边形AOBC为矩形，且点C坐标为（8,6）,M为BC中点，反比例函数），=支

X

（k是常数，修0）的图象经过点M,交AC于点N,则MN的长度是.

【解析】

【分析】

根据矩形的性质，可得M点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，

可得N点坐标，根据勾股定理，可得答案.

【详解】由四边形AOBC为矩形，且点C坐标为(8,6),M为BC中点，得

M(8,3),N点的纵坐标是6.

将M点坐标代入函数解析式，得

k=8X3=24,

24

反比例函数的解析是为丫=一，

x

24

当y=6时，一=6,解得x=4,N(4,6),

x

NC=8-4=4,CM=6-3=3,

MN=yjNC2+CM2=A/32+42=5-

故答案是：5.

【点睛】考查了矩形的性质，利用矩形的性质得出M点坐标是解题关键，又利用了待定系数法求函数解析

式，自变量与函数值的对应关系求出N点坐标，勾股定理求MN的长.

14.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30。，看这栋高楼底部C的俯角

为60。，热气球A与高楼的水平距离为120m,这栋高楼BC的高度为米.

C

【答案】16073

【解析】

【详解】试题分析：过A作AD_LBC,垂足为D.在RtAABD中，VZBAD=30°,AD=120m,

.".BD=AD«tan30°=120x&=40百m,在RtAACD中，VZCAD=60°,AD=120m,

3

.,.CD=AD«tan60°=l20x73=12073m,，BC=BD+CD=4()6+120月=160百m.故答案为1606.

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

15.如图①，在边长为4cm的正方形ABCD中，点P以每秒2cm的速度从点A出发，沿AB玲BC的路径运动,

到点C停止.过点P作PQ〃BD,PQ与边AD（或边CD）交于点Q,PQ的长度y（cm）与点P的运动时间

x（秒）的函数图象如图②所示.当点P运动2.5秒时，PQ的长度是_cm.

【答案】3亚

【解析】

【分析】

根据运动速度乘以时间，可得P点运动的距离，根据线段的和差，可得CP的长，根据勾股定理，即可求出

答案.

【详解】解：由图②可知点P运动2.5秒，P在BC上，

由PQ〃BD,得Q在CD上，且NCQP=/CDB=45°,即CQ=CP,

CP=AB+BC-2.5x2=8-5=3cm,

CQ=CP=3cm,

由勾股定理得：PQ=,3?+32=3Qcm.

故答案为3亚.

【点睛】本题主要考查一次函数的应用和函数与图象，平行线的性质和勾股定理的知识，熟记知识点使解

题的关键.

16.如图为抛物线的部分图象，抛物线y=ax?+bx+c(aWO)的对称轴为直线x=l,与x轴的一个交点坐标为

(-1,0),下列结论：

®4ac<b2

2

②方程ax+bx+c=0的两个根是xt=-1,X2=3

③3a+c>0

④当y>0时，x的取值范围是-lWx<3

⑤当x<0时，，y随x增大而增大

其中正确的结论是—.

【答案】①②⑤

【解析】

【分析】

利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为

(3,0),则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=-2a,然后根据x=T时函数值为0可得到3a+c=0,则

可对③进行判断：根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断，根据抛物线的性质判断

⑤即可.

【详解】解：•••抛物线与x轴有2个交点，

b2-4ac>0,即4ac<b2,所以①正确；

•••抛物线的对称轴为直线x=l,

而点(-1,0)关于直线x=l的对称点的坐标为(3,0),

方程ax?+bx+c=O的两个根是Xi=T,x2=3,所以②正确；

x-----=1,即b=-2a,

2a

而x=T时,y=0,即a-b+c=O,

a+2a+c=0,

/.3a+c=0,所以③错误；

由图象知，当y>0时，x的取值范围是所以④错误;

•••抛物线的对称轴为直线x=l,

.,.当x<l时，y随x增大而增大，

...当xVO时，y随x增大而增大，所以⑤正确；

即正确的个数是3个，

故答案为：①②⑤

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax、bx+c（a#O）,二次项系数a决定抛

物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二

次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即

abVO）,对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0,c）；抛物线与x

轴交点个数由△决定：△=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=bJ4ac=0时，抛物线与x轴有1个

交点；△=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.

三、解答题（共72分）

5x-2<3（x+2）

17.解不等式组：J2x-l5x+l.

S1

I32

【答案】—l〈x<4

【解析】

【分析】

先解不等式组中的每个不等式，再取其解集的公共部分即得答案.

2<3（x+2）①

【详解】解：对不等式组，2x—15x+l〜

---------------------41②

32

解不等式①，得无<4,

解不等式②，得X2-1，

所以不等式组的解集为一l〈x<4.

【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，属于基本题型，熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解

题关键.

162+x

18.解分式方程:

X2-4~2^

【答案】x=-6

【解析】

【分析】

先将分式方程化成整式方程，再解整式方程，最后检验，即可得出答案.

162+x

【详解】解:

X?—42—x

16+(2+6,2—4

16+4+4%+x2=x2-4

解得：x=-6

经检验：x=-6是原方程的解.

【点睛】本题考查的是解分式方程，比较简单，注意解分式方程一定要检验.

19.如图，在边长为1的正方形网中建立平面直角坐标系，己知DABC三个顶点分别为A(-1,2),B(2,

(2)以原点。为位似中心，在x轴上方画出使2G与口ABC位似，且位似比为2,并

求出△AB2G的面积.

【答案】(1)见解析；(2)如图所示，△&刍。2就是所求三角形，见解析；=28.

【解析】

【分析】

(I)分别找出A、B、c关于X对称点4、g、c,,然后连接44、AG、即可；

(2)连接OA并延长至A，使AA|=OA；连接OB并延长至31,使B81=OB；连接0C并延长至G，使

CC,=OC；连接AB?、AC2,82c2即可得到△A/2C2,然后用矩形将2G框住，然后利用矩形的面积

减去三个直角三角形的面积即可.

【详解】解：（1）分别找出A、B、C关于X对称点4、耳、C,,然后连接4蜴、A£、BG，如图所示，

△A4G就是所求三角形：

（2）连接OA并延长至4,使AA=OA；连接OB并延长至可，使B81=OB；连接0C并延长至G，使

CC,=OC；连接AS、AG、B,c,,如图所示，就是所求三角形

如图，用矩形将框住，

VA(-1,2),8(2,1),C(4,5),△AB2G与口ABC位似，且位似比为2,

：.A2(-2,4),&(4,2),C2(8,10),

【点睛】此题考查的是作关于x轴对称的图形和作位似图形，掌握位似图形的性质是解决此题的关键.

20.某校为了推进学校均衡发展，计划再购进一批图书，丰富学生的课外阅读.为了解学生对课外阅读的需

求情况，学校对学生所喜爱的读物：A.文学，B.艺术，C.科普，D.生活，E.其他，进行了随机抽样

调查（规定每名学生只能选其中一类读物），并将调查结果绘制成以下不完整的统计图表.

（1）斫，b=,请补全条形统计图;

（2）如果全校有2500名学生，请你估计全校有多少名学生喜爱科普读物;

（3）学校从喜爱科普读物的学生中选拔出2名男生和3名女生，并从中随机抽取2名学生参加科普知识竞

赛，请你用树状图或列表法求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率.

3

【答案】（1）80,64；（2）750；（3）-.

【解析】

试题分析：（1）由E类型的人数及其百分比求得总人数，总人数乘以4类型百分比可得其人数，在用总人

数减去其余各组人数得出。类型人数，即可补全条形图；

（2）用总人数乘以样本中C类型所占比例即可得；

（3）用列表法或画树状图法列出所有等可能结果，从中确定恰好抽到一名男生和一名女生的结果数，根据

概率公式求解可得.

试题解析：解：（1）；抽查总人数为：32-?10%=320人,...“=320x25%=80人，6=320-80-48-96-32=64

（2）2500x——=750人.

320

答：估计全校喜爱科普读物的学生约有750人.

（3）列表得：

女女女男男

女---（女，女）（女，女）（男，女）（男，女）

女（女，女）———（女，女）（男，女）（男，女）

女（女，女）（女，女）---（男，女）（男，女）

男（女，男）（女，男）（女，男）---（男，男）

男（女，男）（女，男）（女，男）（男，男）---

或画树状图得:

男女女女男女女女男男女女男男女女男男女女

所有等可能的情况数有20种，其中一男一女的有12种，所以P（恰好抽到一男一女）=—==.

205

点睛：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及概率的求法，读懂统计图，从不同的统计图

中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映

部分占总体的百分比大小.

21.如图，在cABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，连接DE、BF、BD.

⑴求证：AADE^ACBF

（2）当ADLBD时，请你判断四边形BFDE的形状，并说明理由.

【答案】（1）见解析：（2）菱形，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据题中已知条件不难得出，AD=BC,ZA=ZC,E、F分别为边AB、CD的中点，那么

AE=CF,这样就具备了全等三角形判定中的SAS,由此可得出△AED丝Z\CFB.

（2）直角三角形ADB中，DE是斜边上的中线，因此DE=BE,又由DE=BF,FD〃BE那么可得出四边形

BFDE是个菱形.

试题解析：（1）证明：在平行四边形ABCD中，ZA=ZC,AD=BC,

：E、F分别为AB、CD的中点,

，AE=CF.

在4人£口和4CFB中，

AD=CB

{ZA=ZC

AE=CF

/.△AED^ACFB（SAS）；

（2）解：若AD_LBD,则四边形BFDE是菱形.

证明：VAD1BD,

.,.△ABD是直角三角形，且/ADB=90。.

：E是AB的中点，

ADE=—AB=BE.

2

•..在DABCD中，E,F分别为边AB,CD的中点，

；.EB〃DF且EB=DF,

/.四边形BFDE是平行四边形.

...四边形BFDE是菱形.

考点：1.全等三角形的判定；2.平行四边形的性质；3.菱形的判定.

22.2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国

家签署经贸合作协议，某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区.已知2件甲

种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元.

（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？

（2）若甲、乙两种商品销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？

【答案】（1）甲种商品的销售单价900元，乙种商品的销售单价600元；（2）至少销售甲种商品2万件.

【解析】

【分析】

（1）可设甲种商品的销售单价x元，乙种商品的销售单价y元，根据等量关系：①2件甲种商品与3件乙

种商品的销售收入相同，②3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元，列出方程组求解即可；

（2）可设销售甲种商品a万件，根据甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，列出不等式求解即可.

【详解】（1）设甲种商品的销售单价x元，乙种商品的销售单价y元，依题意有：

2x=3y[x=900

4■,解得

3x-2y=1500[y=600

答：甲种商品的销售单价900元，乙种商品的销售单价600元；

(2)设销售甲种商品a万件，依题意有：

900a+600(8-a)25400,解得：心2.

答：至少销售甲种商品2万件.

【点睛】本题考查了一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题

意的不等关系式及所求量的等量关系.

四、解答题(本题共4道题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分)

tn

23.如图，一次函数丁二"+1与反比例函数y二—的图象交于点P,点P在第一象限，以J_x轴于点A,PBLy

x

轴于点从一次函数的图象分别交无轴、y轴于点C、D,且S△碗=4SAGC,40=2.

(1)求点D的坐标；

(2)求反比例函数与一次函数的解析式；

(3)根据图象写出当x>0时，反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围.

【答案】(1)0(0,1)；(2)y=-,y=x+\i(3)当x>0时，反比例函数的值小于一次函数的值的x的取

x

值范围是x>2.

【解析】

【分析】

(1)令40即可求得点。的坐标；

(2)首先证明四边形。AP8为矩形，可得BP=OA=2,再证明再由相似三角形的面积的

比等于相似比的平方得出CO的长，进而求出一次函数解析式，再求出P点坐标，进而再求反比例函数解析

式；

(3)根据函数图象可知，当反比例函数的值小于一次函数的值时，图象在AP的右边，由P点坐标可以直

接写出答案.

【详解】解：(1)•.•丁=丘+1交>轴于点£>.

.■.0(0,1),

(2)・.・弘，X轴，依J_y轴，ZBOA=90°,

・•・四边形Q4尸8为矩形,

；.BP=OA=2,

/.BPHCA,

:.ZBPC=/PCA,

・；ZBDP=NCDO,

:△BDPs/\ODC,

.COOD\

一~BP~~DB~2'

•・•AO=BP=2,

:.CO=-BP=\,

2

AC（-1,O）,

，一次函数解析式为：y=x+l,

QOD=1,

BD=2，

BO=3,

P（2,3）,

.'.m=xy=2x3=6,

6

y=一；

X

（3）若反比例函数值小于一次函数的值则x>2.

【点睛】此题主要考查了一次函数、反比例函数、矩形性质、相似三角形的性质，证明AB/）PsA8c,再

由相似三角形的面积的比等于相似比的平方得出CO的长是解决问题的关键.

24.如图，己知AB是。。上的点，C是。O上的点，点D在AB的延长线上，ZBCD=ZBAC.

（1）求证：CD是。。的切线；

（2）若/D=30。，BD=2,求图中阴影部分的面积.

【答案】(1)证明见解析；(2)阴影部分面积为

3

【解析】

【分析】(1)连接0C,易证ZBCD=ZOCA,由于AB是直径，所以/ACB=90。，所以

ZOCA+OCB=ZBCD+ZOCB=90°,CD是。0的切线；

(2)设。。的半径为r,AB=2r,由于ND=30。，ZOCD=90°,所以可求出

r=2,ZAOC=120°,BC=2,由勾股定理可知：AC=26,分别计算△OAC的面积以及扇形OAC

的面积即可求出阴影部分面积.

【详解】(1)如图，连接OC,

VOA=OC,

/.NBAC=NOCA,

VZBCD=ZBAC,

.\ZBCD=ZOCA,

〈AB是直径，

・・・ZACB=90°,

,ZOCA+OCB=ZBCD+ZOCB=90°

・・・ZOCD=90°

・・,OC是半径，

・・・CD是。O的切线

(2)设。O半径为r,

.\AB=2r,

VZD=30°,ZOCD=90°,

AOD=2r,ZCOB=60°

r+2=2r,

.\r=2,ZAOC=120°

ABC=2,

由勾股定理可知：AC=26,

x

易求SAAOC=-x273l=73

120^x44万

S扇形OAC二

...阴影部分面积为网-有

3

【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，

等边三角形的性质等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

25.二次函数y=，（x+2G『的图像的顶点为A，与V轴交于点8,以AB为边在第二象限内作等边三角

形ABC.

a®

-n

（1）求直线AB的表达式和点C的坐标；

（2）点/（加,1）在第二象限，且AABM的面积等于△ABC的面积，求点M的坐标：

（3）以x轴上的点N为圆心，1为半径的圆，与以点。为圆心，CW的长为半径的圆相切，直接写出点N

的坐标.

【答案】⑴y=@x+2,。（一2"4）⑵（—56,1）⑶卜3-260）,（3-26,0）,（-屈一2后0）,

（733-25/3,0）

【解析】

【分析】

（1）已知抛物线的解析式，其顶点以及函数图象与y轴交点坐标易求得.在求点C的坐标时，要把握住

Rt^AOB的特殊性（含30。角），显然，若AABC是等边三角形，那么AC与x轴垂直，无论通过勾股定理求

边长还是根据B点在AC的中垂线上，都能比较容易的求出点C的坐标.

(2)“M点在第二象限内”确定了点M的大致范围，若2ABM的面积等于^ABC的面积”，以AB为底边进

行分析，那么点C、点M到直线AB的距离是相同的，即CM〃AB,直线AB的解析式易求，两直线平行

则斜率相同，再代入点C的坐标就能通过待定系数法求出直线CM的解析式，然后代入点M的纵坐标即可

得出结论.

(3)首先求出。C的半径，即CM的长.若。C与。N相切，就要分两种情况来考