第七章第四节求通项公式

第四节求通项公式课程标准能根据递推关系求数列的项或通项公式考情分析考点考法:高考命题常以求通项公式为基础,考查数列基本计算、求和、不等式等.利用递推公式求通项公式是高考的热点,常以解答题的形式出现.核心素养:数学建模、数学运算、逻辑推理.【核心考点·分类突破】考点一累加、累乘法求通项公式[例1](1)数列{an}满足:a1=1,且对任意的m,n∈N*,都有am+n=am+an+mn,则1a1+1a2+1a3+…A.20242025B.20252026【解析】选D.因为a1=1,且对任意的m,n∈N*都有am+n=am+an+mn,所以an+1=an+n+1,即an+1an=n+1,用累加法可得an=a1+(n-1所以1an=2n(所以1a1+1a2+1a3+…+1a2025=2(112(2)已知数列{an}满足a1=1,且an=n(an+1an)(n∈N*),则a3=________,an=________.

【解析】由an=n(an+1an),可得an+1a则an=anan-1·an-1an-2·an-2an-3·…·所以a3=3.因为a1=1满足an=n,所以an=n.答案:3n【解题技法】1.已知a1,形如anan1=f(n)(n≥2)的递推公式可以用累加求和的方法求通项公式,进而解决相关的问题.2.已知a1,形如anan-1=f(n)(n【对点训练】1.若数列{an}满足:a1=1,an+1=an+2n,则数列{an}的通项公式为an=________.

【解析】由题意,知an+1an=2n,an=(anan1)+(an1an2)+…+(a2a1)+a1=2n1+2n2+…+2+1=1-2n1答案:2n12.在数列{an}中,a1=4,nan+1=(n+2)an,则数列{an}的通项公式为an=________.

【解析】由递推关系得an+1an=n+2所以an=anan-1·an-1a=n+1n-1×nn-2×n=(n+1)×n2×1×4=2n(n+1)(答案:2n(n+1)考点二整式构造法求通项公式【考情提示】构造法是求通项公式的重要方法,因其重点考查数学抽象、数学建模成为高考命题的热点.角度1形如an+1=pan+q(p,q为常数)求通项[例2]已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+2,则an=________.

【解析】因为an+1=3an+2,所以an+1+1=3(an+1),所以an+1+1an+1=3,所以数列公比q=3,又a1+1=2,所以an+1=2·3n1,所以该数列的通项公式为an=2·3n11.答案:2·3n11【解题技法】递推关系形如an+1=pan+q,可构造an+1q1-p=p(anq1-p),即a角度2形如an+1=pan+An+B(p,A,B为常数)求通项[例3]已知数列{an}满足an+1=2ann+1(n∈N*),a1=3,求数列{an}【解析】设an+1+x(n+1)+y=2(an+xn+y),化简后得an+1=2an+xn+yx,对比原式解方程组得x=1,y=0,即an+1(n+1)=2(ann),所以an+1-(n+1)an-n=2,即数列{ann}是以a11=2为首项,2为公比的等比数列,则ann=2·2n1【解题技法】递推关系形如an+1=pan+An+B,构造an+xn+y成等比数列,通过待定系数法可求得x,y,同理an+1=pan+f(n)中,f角度3形如an+1=pan+r·tn(p,r,t为常数)求通项[例4]已知数列an满足an+1=2an+3×5n,a1=2,求数列{an}的通项公式【解析】方法一:将递推公式的两边同时除以5n+1,得an+15n+1=25×an5n+35,利用变形得an+15n+11=25(an5n1),由于a1511=35≠0,所以数列an5n-1是以35方法二:设an+1+A×5n+1=2(an+A×5n),展开整理得an+1=2an3A×5n,对比原式an+1=2an+3×5n,可得A=1,即an+15n+1=2(an5n),由于a151=3≠0,所以数列an-5n是以3为首项,2为公比的等比数列.即an5n=3×2n1,故数列an的通项公式为an=5【解题技法】递推关系形如an+1=pan+r×tn,(t≠1,rt≠0,p≠t),满足此递推关系的数列的通项公式的求法:方法一:在递推关系式的两边同时除以tn+1,可得an+1tn+1=pt×antn+rt,视antn方法二:可构造an+Atn为等比数列模型,即an+1+A×tn+1=p(an+A×tn),展开整理后,利用待定系数法求出A的值(A=rp-t),然后求出an角度4形如an+1=Aan+Ban1(A,B为常数)求通项[例5]已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1+3an.bn=an+an+1.求数列{bn}的通项公式.【解析】由an+2=2an+1+3an可得an+2+an+1=3an+1+3an=3(an+1+an),因为各项都为正数,所以an所以数列{an+an+1}是公比为3的等比数列.又因为a1+a2=1+2=3,所以an+an+1=3n,所以bn=3n.【解题技法】递推关系形如an+2=A·an+1+Ban,可构造an+1+x【对点训练】1.在数列{an}中,a1=a(a≠1),an+1=2an1,若数列{an}为递增数列,则a的取值范围为()A.(0,+∞) B.(1,+∞)C.(2,+∞) D.(3,+∞)【解析】选B.因为an+1=2an1,所以an+11=2(an1),所以an又因为a11=a1≠0,所以数列{an1}是首项为a1,公比为2的等比数列,所以an1=(a1)2n1,所以an=(a1)2n1+1,又因为数列{an}为递增数列,所以an+1an=(a1)2n(a1)2n1=12(a1)2n所以a1>0,所以a>1.2.在数列{an}中,a1=1,an+1=13an+(13)n+1(n∈N*),则an=________,1243是这个数列的第【解析】由题意得an=13an1+(13)n(所以3nan=3n1an1+1(n≥2),即3nan3n1·an1=1(n≥2).又a1=1,所以31·a1=3,所以数列{3nan}是以3为首项,1为公差的等差数列,所以3nan=3+(n1)×1=n+2,所以an=n+23n(n∈N由n+23n=1243,答案:n+233.在数列{an}中,(1)若a1=2,an+1=4an3n+1,n∈N*,则an=______________.

(2)若a1=1,an+1=2an+3n,n∈N*,则an=______________.

【解析】(1)因为an+1=4an3n+1,所以an+1(n+1)=4(ann),即an又a1=2,所以a11=1,所以{ann}是首项为1,公比为4的等比数列,所以ann=4n1,所以an=4n1+n.答案:4n1+n(2)方法一:因为an+1=2an+3n,令an+1+λ·3n+1=2(an+λ·3n)比较系数得λ=1.所以an+13n+1=2(an3n),即an又a1=1,所以a13=2,所以{an3n}是首项为2,公比为2的等比数列,所以an3n=2n,所以an=3n2n.方法二:因为an+1=2an+3n,所以an+13n=所以an+13n3=23所以{an3n-13}是首项为2,公比为23的等比数列,所以an所以an=3n2n.答案:3n2n考点三分式构造法求通项公式[例6]已知数列{an}的首项a1=1,an+1=4anan+2(n∈N*),则通项公式【解析】因为an+1=4a所以1an+1=an+2所以1an+112又a1=1,所以1a112所以数列1an-12是以12为首项,12为公比的等比数列.所以1an12=(12)n,1答案:2【解题技法】递推数列形如an+1=Aan(1)若A=C,则通过倒数构造1an(2)若A≠C,可通过倒数构造1an+x成等比数列,【对点训练】