高考数学（理）一轮课时达标40空间点直线平面之间的位置关系

课时达标第40讲[解密考纲]考查点、线、面的位罝关系常以选择题或填空题的形式出现．一、选择题1．设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的(C)A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件解析直线a，b平行时，由“l⊥a，l⊥b”⇒/“l⊥α”；“l⊥α”⇒“l⊥a，l⊥b”，所以“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的必要不充分条件．2．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面解析连接A1C1，AC，则A1C1∥∴A1，C1，C，A四点共面．∴A1C⊂平面ACC1A∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A又M∈平面AB1D1，∴M为平面ACC1A1与AB1D1的公共点同理O，A为平面ACC1A1与平面AB1D1的公共点∴A，M，O三点共线．3．正方体A1C中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是(AA．相交 B．异面C．平行 D．垂直解析如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．4．已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是(D)A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交解析若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线．5.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，点D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，若BC＝CA＝CC1＝1，则BD1与AF1所成角的余弦值为(A．eq\f(\r(30),10) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(30),15) D．eq\f(\r(15),10)解析取BC的中点E，连接EF1，EA，则可知∠EF1A为BD1与AF1所成的角，在△AEF1中，可求得F1E＝eq\f(\r(6),2)，AF1＝eq\f(\r(5),2)，AE＝eq\f(\r(5),2)，由余弦定理得，cos∠EF1A＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2,2×\f(\r(6),2)×\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(30),10)，故选A．6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别在AB1，BC1上，且AM＝eq\f(1,3)AB1，BN＝eq\f(1,3)BC1.给出下列结论：①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④B1D1⊥MN.其中正确结论的个数是(B)A．1 B．2C．3 D．4解析在BB1上取一点P，使BP＝eq\f(1,3)BB1，连接PN，PM.∵点M，N分别在AB1，BC1上，且AM＝eq\f(1,3)AB1，BN＝eq\f(1,3)BC1，∴PN∥B1C1，PM∥A1B1.又∵PN∩PM＝P，B1C1∩A1B1＝B1，∴平面PMN∥平面A1B1C1D1.∵MN⊂平面PMN，∴MN∥平面A1B1C1D1.又∵AA1⊥平面PMN，∴AA1⊥MN.故①③正确．分别作MM1∥BB1，NN1∥CC1，交A1B1，B1C1于点M1，N1，连接M1N1，则M1N1不平行于A1C1，∴MN与A1C1不平行．又∵A1C1⊥B1D1，∴B1D1与MN不垂直，故②④不正确．∴正确结论的个数是2，故选B．二、填空题7．下列如图所示是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是__①②③__.解析在④图中，可证Q点所在棱与平面PRS平行，因此，P，Q，R，S四点不共面．可证①中四边形PQRS为梯形；③中可证四边形PQRS为平行四边形；②中如图所示，取A1A与BC的中点为M，N，可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形8．四棱锥P－ABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是腰长为a的等腰三角形，则在四棱锥P－ABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有__6__对．解析由题意可得PA⊥BC，PA⊥CD，AB⊥PD，BD⊥PA，BD⊥PC，AD⊥PB，即互相垂直的异面直线共有6对．9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线MN与AC所成的角为60°.其中正确的结论为__③④__(填所有正确结论的序号)．解析AM与CC1是异面直线，AM与BN是异面直线，BN与MB1为异面直线．因为D1C∥MN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，为三、解答题10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，求异面直线A1M与DN解析如图，连接D1M，可证D1M⊥又∵A1D1⊥DN，A1D1，MD1⊂平面A1MD1，A1D1∩MD1＝D1，∴DN⊥平面A1MD1，∴DN⊥A1M即异面直线A1M与DN所成的夹角为9011．如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BCeq\f(1,2)AD，BEeq\f(1,2)FA，G，H分别为FA,FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形．(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？解析(1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GHeq\f(1,2)AD．又BCeq\f(1,2)AD，∴GHBC．∴四边形BCHG为平行四边形．(2)由BEeq\f(1,2)AF，G为FA的中点知，BEFG，∴四边形BEFG为平行四边形．∴EF∥BG.由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．12．如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．(1)求证：AE与PB是异面直线；(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值；(3)求三棱锥A－EBC的体积．解析(1)证明：假设AE与PB共面，设此平面为α.因为A∈α，B∈α，E∈α，所以平面α即为平面ABE，所以P∈平面ABE，这与P∉平面ABE矛盾，所以AE与PB是异面直线．(2)取BC的中点F，连接EF，AF，则EF∥PB，所以∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成的角，因为∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，所以AF＝eq\r(3)，AE＝eq\r(2)，EF＝eq\r(2)，由余弦定理得cos∠AEF＝eq\f(2＋2－3,2×\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,4)，所以异面直线AE