1711勾股定理(精讲)-2021-2022学年八年级数学下学期重要考点(人教版)（原卷版）

17.1.1勾股定理勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.从而推导：，，.注意（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：题型1：勾股定理的认识1.下列说法中正确的是（）A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2＝c2 B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以BC2+AC2＝AB2 D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以BC2+AC2＝AB2【变式11】在直角三角形中，若两条边的长分别是1cm、2cm，则第三边的长为（）A．3cm B．cm C．2cm或cm D．cm或cm【变式12】若一个直角三角形的两边长分别是4cm，3cm，则第三条边长是cm．勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.题型2：赵爽炫图求值2.如图是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形、如果大正方形的面积13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（）A．169 B．25 C．19 D．13【变式21】我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是49，小正方形的面积4，直角三角形的两直角边长分别为a，b，那么下列结论正确的有（）个．（1）b﹣a＝2，（2）a2+b2＝49，（3）4+2ab＝49，（4）a+b＝．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式22】图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是（）A．52 B．48 C．72D．76题型3：勾股定理的证明3.下面图形能够验证勾股定理的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【变式31】如图，已知∠C＝∠D＝90°，D，E，C三点共线，各边长如图所示，请利用面积法证明勾股定理．【变式32】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，也可以用面积法来证明勾股定理，请完成证明过程．（提示：BD和AC都可以分割四边形ABCD）【变式33】【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×ab，即（a+b）2＝c2+4×ab，所以a2+b2＝c2．【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．题型4：勾股定理与三角形垂直平分线、角平分线4.若等腰三角形的腰长为10cm，底边长为16cm，则顶角的平分线的长为（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm【变式41】如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线．（1）若AC＝5，BC＝6，求△ACD的周长；（2）若∠BAD：∠CAD＝4：1，求∠B的度数．【变式42】如图，△ABC中，CE是角平分线，EF∥BC交△ACB的外角∠ACD的平分线于点F，交AC于M，若CM＝6，求CE2+CF2的值．【变式43】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．若AC＝8，BC＝4，求AE的长．题型5：勾股定理与直角坐标系5.在直角坐标系中，Rt△OAB的位置如图所示，∠B＝90°，OA＝2，OB＝，求△OAB各顶点的坐标．【变式51】如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是（4，0），（0，2），点C为线段AB的中点，则OC的长等于（） B．2 C．10 D．20【变式52】如图，△ABC在正方形网格中，若B（﹣3，﹣1），按要求回答下列问题：（1）在图中建立正确的平面直角坐标系；（2）根据所建立的坐标系，写出A和C的坐标；（3）求△ABC的周长．题型6：勾股定理与方程6.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝CD，求CD的长．【变式61】有一块等腰三角形草地，测得腰CA＝CB，AB＝6m，腰比底边上的高多1米，求该草坪的面积？【变式62】如图，∠BAC＝90°，BC＝28，AC＝14，BD＝13，AD＝15．（1）求AB的长度；（2）作DH⊥AB，并求△ADB的面积．题型7：勾股定理与面积7.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中SA＝20，SB＝16，SC＝12，SD＝6，则S＝（）A．54 B．52 C．48 D．36【变式71】如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作半圆，若斜边AB＝3，则图中阴影部分的面积为（）A．9π B． C． D．3π【变式72】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8.5，BD＝4.5，AD＝5，求阴影部分的面积．题型8：勾股定理与规律问题8.细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．OA22＝（）2+1＝2S1＝；OA32＝12+（）2＝3S2＝；OA42＝12+（）2＝4S3＝…（1）推算出OA10的长＝；（2）若一个三角形的面积是，则它是第个三角形？（3）用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（4）求出的值．【变式81】已知：正方形的边长为1．如图（