第05讲线段的垂直平分线（原卷版）

第05讲线段的垂直平分线思维导图核心考点聚焦1.线段的垂直平分线的性质2.线段的垂直平分线的判定3.线段的垂直平分线的实际应用4.尺规作图——作线段的垂直平分线1.线段的垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.①如图，直线l垂直平分线段AB，P1、P2、P3是l上的点.试说明P1A=P1B.∵直线l⊥AB，∴∠P1CA=∠P1CB.又CA=CB，P1C=P1C，∴△P1CA≌△P1CB(SAS).∴P1A=P1B.几何语言叙述：∵直线l垂直平分AB，P是直线l上任意一点，∴PA=PB.2.线段的垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.如图，在△PAB中，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？请证明这个结论？点P在线段AB的垂直平分线上作PC⊥AB，垂足为C，则∠ACP=∠BCP=90°，在Rt△PAC和Rt△PBC中，PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL).∴AC=BC.∴PC是AB的垂直平分线，即点P在线段AB的垂直平分线上.几何语言叙述：∵PA=PB;∴P点在AB的垂直平分线上.3.尺规作图——作线段的垂直平分线：（1）分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；说明：作弧时的半径必须大于的长，否则就不能得到两弧的交点了；（2）作直线CD，CD即为所求直线；说明：线段的垂直平分线的实质是一条直线.1.线段的垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.2.线段的垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.考点剖析考点一、线段的垂直平分线的性质例题：如图，在中，，，垂直平分，的周长为20，．(1)求的周长．(2)求的度数．【解析】（1）∵垂直平分，∴，∵的周长为20，，∴，∴，∴的周长为；（2）∵在中，，，∴，∵，∴，∴．【变式训练】1．如图，在中，的垂直平分线交于点，连接，若，则的度数为．【答案】【解析】是线段的垂直平分线，，，，，，故答案为：．2．如图，在中，是边的垂直平分线，交于，交于，连接．(1)若，求的度数．(2)若，且的周长为，的周长为，求的长．【解析】（1）∵，∴，∵是边的垂直平分线，∴，∴，∴；（2）∵，∴的周长为，∵的周长为，∴，∴．考点二、线段的垂直平分线的判定例题：如图，中，，连接是上一点且．(1)求证：垂直平分．(2)已知求的面积．【解析】（1），，∴点A在垂直平分线上，点E在垂直平分线上，垂直平分；（2）中，，，，，过点作于，，的面积．【变式训练】1.如图，为等边三角形，，，相交于点E．(1)求证：垂直平分；(2)求的长；(3)若点F为的中点，点P在上，则的最小值为______．（直接写出结果）．【解析】（1）∵是等边三角形，∴；∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴垂直平分；（2）∵，∴平分，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（3）连接交于点，连接，∵是的垂直平分线，的最小值为是的中点，故答案为：6．2.如图，是等边三角形，是中线，延长至，使．(1)求证：；(2)过点A作，交延长线于点，DF交于，连接．①若，则．②求证：垂直平分．【解析】（1）是等边三角形，是中线，，，又，，又，，，；（2）①∵是等边三角形，是中线，∴，，根据解析（1）可知，，∴，∵，∴，根据（1）可知，，∴，∵，∴，解得；故答案为：8；②∵，，为的中线，∴∵，，，，，是等边三角形，，，垂直平分．考点三、线段的垂直平分线的实际应用例题：如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在(

)A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点【答案】A【解析】∵猫所在的位置到A、B、C三个点的距离相等，∴猫应该蹲守在三边垂直平分线的交点处；故选A．【变式训练】1．如图，某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等．这所中学应建在（

）A．的三条中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点【答案】B【解析】根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．则学校应建在三条边的垂直平分线的交点处．故选：B．考点四、尺规作图——作线段的垂直平分线例题：如图，已知在中，．

(1)用尺规作边的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法）(2)边的垂直平分线分别交于点D、E，连接，若的周长是10，求．【解析】（1）如图，即为所求；；（2）∵是边的垂直平分线，∴，∵，∴，∵的周长是10，∴．∴．【变式训练】1．某公司招收职工的试卷中有道题：如图，有三条两两相交的公路，为便于及时进行监控，防止违章，这个监控仪器应安装在什么位置可以使离三个路口的交叉点的距离相等，你能找到这个监控安装的位置吗？（尺规作图，不写过程，保留作图痕迹）【解析】如图，点P为这个监控安装的位置．2．如图，已知点、点以及直线．(1)用尺规作图的方法在直线上求作一点，使．（保留作图痕迹，不要求写出作法）；(2)在（1）中所作的图中，连接，若，过点作于点，过点作于点．求证：【解析】（1）点如图所示，；（2）∵，，，∴，∵，∴，∴，，∴．过关检测一、选择题1．如图所示，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的度数为（

）A． B． C． D．2．在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（）A．三边垂直平分线的交点 B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点3．如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，以下四个结论，正确的有（

）①；②；③平分；④四边形的面积．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB内部的一点，且OP=4，点M，N分别是射线OB和射线OA上的动点，则△PMN的周长的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8二、填空题5．如图，在中，已知，，为的垂直平分线，交于点F，交于点E，且，则的长为．

6．如图，在中，，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，与，分别交于点，点，连结，当，时，则的周长是．7．如图，点在内，点分别是点关于的对称点，且连接分别交，于点，若，则的周长．8．如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则度数为．三、解答题9．已知：如图，点A，B分别在线段上，分别为线段的垂直平分线．求的度数．10．如图，在中，边上的垂直平分线与、分别交于点D、E，且．(1)求证：；(2)若，求的长．11．如图，已知为的角平分线．(1)按要求补充完图形．用尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点，连接．(2)若，求的度数．12．如图，在中，是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为，交于点，连接．(1)若的周长为，的周长为，求的长；(2)若，，求的度数．13．如图，在中，，分别垂直平分和，交于M