寒假作业07整式的乘法-2024年八年级数学寒假培优练（人教版）

限时练习：40min完成时间：月日天气：寒假作业07整式的乘法1.同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即：am·an=am+n（m，n为正整数）.拓展：=1\*GB3①am·an·ap=am+n+p；=2\*GB3②(a+b)n(a+b)m=(a+b)m+n（m，n，p为正整数）.同底数幂的乘法技巧：=1\*GB3①计算同底数幂时，要求底数必须完全一样，当底数不相同时，可以通过化异底为同底，然后计算；=2\*GB3②逆用法则：am+n=am×an.2.幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即：(am)n=amn（其中m，n为正整数）.拓展：；(am)n=amn=(an)m；（其中m，n，p为正整数）.3.积的乘方：积的乘方，等于把积的每个因式都乘方，再把所得的幂相乘，即：(ab)m=ambm（m为正整数）.拓展：(abc)m=ambmcm，其中m为正整数.注：1）乘方的优先级高于乘法的优先级；2）在进行积的乘方运算时，要将积中的每一个因式分别乘方，再将所得结果相乘，不能漏乘某项.在幂的运算中，注意底数为负数时的运算.4.同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：am÷an=amn（a≠0，m，n为正整数）.拓展：零指数幂：=1()；负整数指数幂：==（，p为正整数）.注：，可能有三种情况：eq\o\ac(○,1)=1()；eq\o\ac(○,2)=1；eq\o\ac(○,3)=1（n为偶数）.5.单项式乘单项式:单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.6.单项式乘多项式:根据乘法分配律，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加.即：p(a+b+c)=pa+pb+pc.7.多项式乘多项式:先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq.注：运算过程中，需要关注符号的变化（负负得正，正负为负）；乘法运算的结果中，如果有同类项，需要合并同类项，化为最简形式.1．下列运算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，错误，故A不符合要求；，错误，故B不符合要求；，正确，故C符合要求；，错误，故D不符合要求；故选C．2．若，则等于（

）A．5 B．3 C．15 D．1【答案】B【解析】∵，∴，故选B．3．若，则m的值是（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解析】∵，∴1＋2m＋3m＝21，解得m＝4．故选C．4．小曹租了一块长为a米，宽为b米（）的长方形土地用于种植新品种马铃薯，研究如何提高马铃薯的产量．第二年，由于田地重新规划，小曹租的这块地的长增加10米，宽减少10米，那么小曹租的这块地的面积（

）A．变大了 B．变小了 C．没有变化 D．无法确定【答案】B【解析】由题意得：原来这块地的面积为，现在这块地的面积为：，，，，小曹租的这块地的面积变小了，故选B．5．已知，则的值为（

）A．75 B．45 C．30 D．15【答案】B【解析】，，．故选B．6．2022年10月9日，我国发射“夸父一号”科学卫星对太阳进行探测．这次发射“夸父一号”将利用太阳活动峰年的契机对太阳进行观测．地球的体积约为立方千米，太阳的体积约为地球体积的倍，则太阳的体积是（）立方千米．A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意，．故选A．7．第七届山西（运城）国际果品交易博览会于10月23日到30日在运城市举办．本届果博会以“果蔬运城，走向世界”为主题，努力将果博会办成果农的丰收节、果业的嘉年华、果企的狂欢季、果品的竞秀场．小玲家的苹果园呈长方形，果园的面积为平方米，一边长为米，则该苹果园的另一边长为米．【答案】【解析】∵长方形的面积是平方米，一边长为米，∴它的另一边长是：米．故答案为：．8．常见的“幂的运算”有：①同底数幂的乘法，②同底数幂的除法，③幂的乘方，④积的乘方．在“”的运算过程中，依次运用了上述幂的运算中的_____．（填序号）【答案】④③①【解析】（积的乘方运算）（幂的乘方运算）=a10（同底数幂的乘法）．故答案为：④③①．9．先化简，再求值：，其中，．【解析】；当，时，原式．10．完成下列各题：(1)先化简，再求值：，其中；(2)先化简，再求值：，其中，．【解析】（1），当时，原式；（2），当，时，原式．11．W细菌为二分裂增殖（1个细菌分裂成2个细菌），30分钟分裂一次，培养皿上约有个细菌，其中W细菌占其中的，在加入T试剂后，如果该培养皿中的W细菌的数量达到后会使T变色，那么需要（

）小时T恰好变色．A． B．4 C．8 D．10【答案】B【解析】由题意，W细菌的数量为：（个），∵该培养皿中的W细菌的数量达到后会使T变色，∴设分裂n次达到变色的数量，则，∴；∵每30分钟分裂一次，∴（小时）.故选B．12．若，请用表示．【解析】．将代入上式，原式．13．【阅读理解】特殊数大小的比较.问题：比较，，的大小．解：，，，．【问题解决】学习以上解题思路和方法，然后完成下题：比较，，的大小．【解析】，，，且，．14．下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题．(1)计算：①；

②；(2)若，请求出的值．【解析】（1）①；②．（2），，，，，．15．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，若干张边长为a的正方形A纸片，边长为b的正方形B纸片，长和宽分别为a与b的长方形C纸片（如图1）．

(1)小李同学拼成一个宽为，长为的长方形（如图2），并用不同的方法计算面积，从而得出相应的等式：______（答案直接填写到横线上）；(2)如果用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，求需要A，B，C三种纸片各多少张；(3)利用上述方法，画出面积为的长方形，并求出此长方形的周长（用含a，b的代数式表示）．【解析】（1）图2是长为，宽为的长方形，因此面积为，图2是6个部分的面积和，即，因此，故答案为：；（2），A纸片的面积为，纸片的面积为，纸片的面积为，纸片需要2张，纸片需要3张，纸片需要7张；（3）∵，∴可以拼成长为，宽为的长方形，如图所示：这个长方形的周长为：，答：此长方形的周长为．16．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵1兆＝1万×1万×1亿，∴1兆＝，故选C．17．数书九章中的秦九韶算法是我国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，现在利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法.例如，计算“当时，多项式的值”，按照秦九韶算法，可先将多项式进行改写：，按改写后的方式计算，它一共做了3次乘法，3次加法，与直接计算相比节省了乘法的次数，使计算量减少，计算当时，多项式的值是1008．请参考上述方法，将多项式改写为：，当时，这个多项式的值为．【答案】，647【解析】

当x=8时，原式=647，故答案为；647.18．18世纪欧拉引进了求和符号“”（其中，且i和n表示正整数），对这个符号我们进行如下定义：表示k从i开始取数一直取到n，全部加起来，即．例如：当i=1时，．(1)①，②，③中和为45的是；（填写编号）(2)；(3)若，则，，．【答案】(1)①③；(2)15；(3)4，，20.【解析】（1）①，②，③，∴和为45的是①③.（2）．（3）∵中二次项系数为3，∴，∴，∵，∴，∴，，故答案为4，，20．19．阅读以下材料，苏格兰数学家纳皮尔是对数的创始人，他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：，理由如下：设，则，则．由对数的定义得，又，．根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：（1）填空：①___________；②_______，③________；（2）求证：；（3）拓展运用：计算．【解析】（1）①∵，∴5.②∵，∴3.③∵，∴0.（2）设，∴，，∴，∴，∴.（3）===2．20．（2023·四川达州·中考真题）下列计算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】A、a与不能合并，故本选项计算错误，不符合题意；B、，故本选项计算错误，不符合题意；C、，故本选项计算错误，不符合题意；D、，故本选项计算正确，符合题意．故选D．21．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（

）A．128 B．64 C．32 D．16【答案】A【解析】调整后，甲袋中有个球，，乙袋中有个球，，丙袋中有个球．∵一共有（个）球，且调整后三只袋中球的个数相同，∴调整后每只袋中有（个）球，∴，，∴，，∴．故选A．22.（2023年河北中考真题）光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于．下列正确的是（

）A． B．C．是一个12位数 D．是一个13位数【答案】D【解析】A.，故该选项错误，不符合题意；B.，故该选项错误，不符合题意；C.是一个13位数，故该选项错误，不符合题意；