北师大版七年级下册第二章平行线与相交线教案

第二章平行线与相交线、

Lesson・21余角与补角

训1.理解补角、余角、对顶角等概念，并会用它们解决一些实际问题.

练2.掌握同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等的性质，并会用它们解决一些实际问题.

导3.经历观察、操作、推理交流等过程，进一步培养平面观察力、推理能力和有条理的表达能力.

航

②若。，则乙与乙月互补；反之，若

•知识精析・4a+4g=180a

ia与4g互补，则Za+4g=180°.

1.余角、补角的定义和性战由迸可知，同一个角的补角比它的余角大90。.

*对顶民的定义和性质

(1)定义:如果两个角的和是一个直角，那么称这2.

两个角互为余角;如果两个角的和是平角，那么称这两

(1)定义1：具有公共顶点，一个角的两边与另一

个角互为补角.个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对

性质:①同角或等角的余角相等;②同角或等

(2)53顶角.

角的补角相等.定义2：两条直线相交所成的四个角中，位置不相

说明：(1)互余、互补是指两个角的关系邻的两个角叫做对顶角.

(2)互余或互补的两个角，只与它们的和有关，而(2)性质:对顶角相等.

与其位置无箕.

埋明:抓住对顶角定义的实质，明磷只有两直线相

(3)ia与46互余(互补)：指乙a是包的余角交时，才能顶角，并且对顶3是发》通现的；对

(补角j,4也是Za的客3(；卜ij.顶角的性质为说明两角疝学提供了一条重要依据.*

(4)用数浮语言工述为:另若4a+纯=90。,则4a

与互余;反之，若乙a与互余，则/a+〃3=90°.

基础巩固题组

(£典型例题跟踪训练।

(一)余角、补角的概念

【例1】已知4a的余角是36。，4a的补角是多少度？L如图2-1-1,直线4B、C。相交于点0,42=140。,

；分析：由余角、补角的概念即可求出4a的补角度数.41的余角的度数为

解由题意知/a=90°-36°=54°.

所以乙a的补角为180。-Z.a=180°-54°=126°.

即4a的补角是126。.

解)方法总结对于概念型的基础题型，要在理解概念的基

础上解决问题.

(二)余角、补角的性质

【例】如图垂直。于点

22-1-2,0EC0,A2.如图2-1-3,8，加于点0,0。上

且ZJ=Z.2.0E于点0,则图中与41互补的角

，与有什么关系？为

(l)40E4BOE是().

什么？图

2-1-2A.LBODB.Z.AOE

(2)4400与，BOC有什么关系？为什么？

C；Z.AODD.Z.B0E

£分析：由0E工CD可得4COE=zDOE=90°.又Z.1=

Z_2,所以90°-Z.l=90°-42,即/40E=/BOE.同理可判断

Z40D与乙50C的关系.

解：(1)2。£与48。£相等.因为ZJ+4OE=90。，

Z2+ZftOE=90°,>Z.1=£2,所以乙M)E=Z_ROE.

(2)乙400与Z.B0C相等.因为41+Z40D=180°,Z.2+

480。=180。,且乙1=乙2,所以乙AOD=LBOC.

⑨^雷本题采用数形结合方法，首先应从图中得到

信息列出数量关系，再结合已学的定义和性质来求解问题.

(三)对顶角的概念、性质

【例3】已知:如图2-1-4,直线雁、13.(1)如图2-1-5,41和42是对顶角的图形的个

CD相交于点0,0E平分/B0。,且4A0C=今京《一E数有().

Z40。-80。,求440邑的度数.

A.1个B.2个C.3个D.4个

£分析：因为Z-AOE=Z.AOD+.，

4

400E,又直线46、C。相交于点0,故

Z_AOC=乙BOD=2乙DOE,然后纨合乙AOC+Z40D=180°,

Z.AOD-LAOC=80°,可求得LAOD,从而求出LAOC及(1)(2)(3)(4)

图2-1-5

/。0£,问题得解.

(2)如图2-1-6,已知直线4B、CO相交于点0,04

解因为直线AB、CD交于点0,所以LAOC+LAOD=180°.

因为乙40c=/_AOD-80°,所以匕A。。=130°,/40C=50°.平分乙EOC,LE0C=100°,贝ljMOD的度数

因为直线AB、CO相交于点0,是()

所以LAOC=LBOD(对顶角相等).A.200B.40°C.50°D.80°

又因为0E平分Z.80D,£\Z

所以400E=3•480。=+Z_AOC=25°.

A~7oB

从而LAOE=LAOD+乙DOE=

130°+25°?155°.X

本题是利用对顶角的性质、角平分线性质等图2-1-6

知识来计算角的大小.解题基本方法是先确定要求的角与哪些

量有关系,然后根据已知条件分别计算出这些B的大小，从而

得解.

,—F综合创新题组

(■...-..................…EMMJ)

[例4](创新题)如图2-1-7,4、O、B在一条直线上，4.如图2-1-8,。8是平角LAOC的平分线，Z.OOE

440c=90。，Z_DOE=90。,图中互余的角有哪几对？哪些角是是直角，问：

相等的？(1)乙40。的余角有哪几个？

C

(2)LAOE的补角有哪几个？

D

。J'

图2-1-7AOC

图2-1-8

々分析：由互为余角的定义，只需找出图中和为90。的角

即可.

解:因为440C=90。，Z_AOB=180°,

所以480c=90。,所以41与42互余，

43与24互余.

因为4OOE=90。,所以42与乙3互余.

因为乙1+乙DOE+44=180。，£DOE=90。,

所以ZJ+44=90。，即乙1与44互余，可以得出互余的

角有4对：乙1与42,42与43,43与乙1,41与44.

因为Z.1与42互余，/2与乙3互余，

所以/1=Z3.（同角的余角相等）

因为43与44互余，，3与，2互余,所以，2=44.

可以得到图中相等的角有：ZU=43,42=44,乙4。。=

LDOE-LBOC.

a点拨:此题综合应用余角的概念和性质.另外,不要忽

略三个直角相等的情况.

L做题时要注意一些细节问题，如互为余角、互为补角都是对两个角而言的，如若“41+乙2+43=90。,则

乙1、42、43互为余角”的说法是错误的.

2.余角、补角的知识与列方程相结合可解决求角的问题.

3.利用余角的知识可解决实际情境中为求角问题,处理方法一般是首先根据生活常识得到题中隐含的基本

图形，然后在图形中求出问题的答案.

◎水平自测

1.两条直线相交于一点，则共有对顶角的对数5.已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这

为（）.个角.

A.lB.2

C.3D.4

2.若乙1和42互余,乙2和43互补，41=40。,则43等

于（）.

A.40°B.130°

C.50°D.140°

3.如图2-1-9,48_LCO,垂足为O,EF为过点0的

一条直线，则乙1与乙2的关系定成立的

是（）.

A.相等B.互余

6.已知N40B=30。，乙BOC与乙AOB互为余角，求

Z.AOC大小.

图2-1-9图2-1-10

4.如图2-1-10,三条直线L44相交于一点。，则

41+t2+乙3等于度.

7.如图2-1-11,。是直线AB上一点，0C平分9.如图2-1-13,08平分乙COD,Z.AOB=90°,

Z.30D,0E10C,垂足为0,试问440E与4。0£440c=125。,求比4C0D的补角小19。3'59〃的角

有怎样的关系？并说明理由.的度数.

图2-1-11

8.如图2-1-12,40180,直线CD经过点0,乙AOC=

10.已知44和Z.B互余，乙4与4c互补，Z.B和4C

30。,求480。的度数.

的和等于周角的/，求乙4+£B+£C的度数.

Lesson2.2探索直线平行的条件

】.掌握同位角、内错角、同旁内角的概念，并会判断图形中哪些角是同位角、内错角、同旁内角.

2.掌握两直线平行的条件：（1）同住角相等，两直线平行;（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角

互补,两直线平行.

3.会用三角尺过直线外一点作这条直线的平行线.

4.了解推理方法，逐步培养推理能力，掌握规范的推理格式.

角中，有4对同位角,2对内错角,2对同旁内角.

•知识精析•

（2）探翥这三种角的位置关系，而不是大小关系，

1.同位角、内错角、同奔内角的识别一般工况下，它们之间不存金固定的大4、■系.

（3）区分这三种角的关键是算分第哪两条直线被

如图2-2-1,直线a、A被直

哪一第2或正£21尾而通的说i.

线c所载,形成了8个角.

（1）同位角：两个角都在两条2.两直线平行的判定

直线的同侧，并且在第三条直线同位角相等,两直线平行；

（截线）的同旁，这样的一对角叫做内错角相等,两直线平行；

同位角,如Z.1与,5,Z.3与47,同旁内角互补，两宜线平行.

（^）

乙2与46,24与2&说明：（1）这三个判定中，只需具备其中的一个，就

（2）内错角:两个角都在两条直线之间，并且在第能说明两直线是平行的.

三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角,如…万）.两直线平需而判定是整个几何学的基础，其地

ZJ与乙5,24与46.位相当重要，学习时要结合图形来加深理解.

（3）同旁内角:两个角都在两条直线之间,并且在（3）平行线判定的第件还苏金同一平面内，如果两

第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同旁内条直线没有五点（不司三），那么这两条直线就平行以

角，如乙4与45,43与46.及平行于同一条直线的两直线平行.

说明：（1）两条直线被第三条直线所载形成的8个

=^===

基础巩固题组

典型例题跟踪训练।：二）

（一）同位角、内错角、周奔内角的识别

【例1］如图2-2-2,根据图形填空：1.⑴如图2-2-3的图形中，41与Z2是同位角的

是（）.

图2-2-2

（1）41与42是直线_—和直线―—被第三条

直线________所截而成的一___角；图2-2-3

（2）42与43是直线_一和直线一_被第三条A.①@B.①®③C.①®④D.①®

直线_______所截而成的——角；（2）如图2-2-4,41与42是直线与直

（3）乙4与44是直线_—和直线_1—被第三条线被第三条直线所截而成的

直线_______所截而成的—___角.

角；43与44是直线与直线被第

；分析：先确定出这两个角是什么关系，即是同位角、内错

三条直线所截而成的角.

角、同旁内角中的哪一类，然后再判断是哪两条直或被哪一条

直线所栽得到的.

答案：（1）C£ABBD同位（2）ABACBD同旁

内⑶48CEAC内错

）方法总结在“三线八角”中找同位角、内错角、同旁内

角的关键是看哪条宜线是截线（即第三条直线）.各角的位置特图2-2-4

征可总结为:同位角形如“1，内错角形如“Z”，司旁内角形如

“匚”.

（二）两直线平行的条件

【例2】如图2-2-5,已知直线444被宜线I所载,2.如图2-2-6,41=42/3=100。，4>=80。,那

L\=72。，42=108。，43=72°.试说明/,的理由.么DC〃EF,为什么?

；分析：由图知，1与43是直线

被直经，所截的内错角.乙2与43是直线

44被直线，所载的同旁内角，若它们满

足平行条件，再结合“平行于同一直线的两

直线平行”即可得证.

斛:因为2.1=43=72。，

所以4〃匕（内借角相等，两直线平行）•

因为42=108°,43=72°,

所以Z.2+Z3=108°+72°=180°.

所以乙〃4（同旁内角互补，两直线平行）.

所以。〃4〃，3（平行于同一条直线的两直线平行）•

正确运用直线平行的条件的基础是认清同

位角、内错角、同旁内角,理清它们的位置关系与数量关系.

综合创新题组

0典型例题跟踪训练

【例3】（综合题）如图2-2-7,直线EF分别与直线4B、

3.如图2-2-8,已知AfflADtCDlADtZ.l=Z.2fAE

CO相交于点P和点Q,PC平分4BPQ,QH平分4CQP,并且与。尸平行吗？为什么？

ri=乙2,试找出图中所有的平行线,并说明理由.

图2-2-8

4分析:要找图中所有的平行线，需从两条立线平行的条

件来考虑.已知乙1=乙2,且PG平分乙BPQ,QH平分乙CQP,

可知/3=44,则PG//QH.同理可得4B〃C。.

解MB〃CD,PC〃QH.

理由：因为PC平分乙BPQ,Q"平分4CQP,

所以41=43,42=，4,

又因为乙1=42,所以乙3=44.

所以PG〃Q〃（内错角相等,两直线平行）.

又因为乙1+Z.3=42+44,即4BPQ=Z.CQP,

所以加〃CD（内错角相等，两直线平行）.

、含，点拨:通过条件进行角的转化，转化成同位角相等，或

内错角相等，或同旁内角互补，进而说明两直线平行.

1.结合图形，能正确识别同位角、内错角、同旁内角，识别的关键是抓住“三线八角”，深刻理解这三种角的

概念,可适当加强练习进行巩固.

2.两条直线平行的条件是：同位角相等；内错角相等；同为内角互补，只要具备其中一条就能判定两直线平

行，要根据题目特点，灵活选择.

。水平目测

1.在同一平面内有三条直线，若其中有且只有两条直5.如图2-2-12,已知41+Z.4=Z.l+匕3=180°,

线平行，则它们交点的个数为（）.试找出互相平行的直线,并说明理由.

A.OB.lC.2D.3

2.如医2-2-9,下列说法正确的是（）.

A.图中没有同位角、内错角、同旁内角

B.图中没有同位角和内错角,但是有一对同旁内角

C.图中没有内错角和同旁内角，但有三对同位角图2-2-12

D.图中没有同位角和内错角，但有三对同旁内角

6.如图2-2-13,街道的两个拐弯Z.ABC与4BCD分

图2-2-9图2-2-10

别为150。和30。,街道4B与Q）平行吗？为什么？

3.如座2-2-10,下列说法正确的是（）.

A.如果ZJ和42互补，那么lx//l2

B.如果42=43,那么，］〃。

C.如果41=£2,那么图2-2-13

D.如果乙1=43,那么lj/l2

4.如图2-2-11,若乙1:乙2,则//

7.如图2-2-14,已知BE平分4ABO,OE平分

4BOC,并且Z.1与42互为余角，直线与CD平

若45=4B,则H;

行吗？为什么？

若乙D+Z.DAB=180。,则//.

图2-2-14

Lesson洽2.3平行线的特征

训1.掌握平行线的特征，并会用它们造行简单的推理或计算.

练2.了解两直线平行的条件与特征的区别，并能正确应用.

导3.进一步熟悉推理过程的书写方法与格式，提高逻辑推理能力.

航

・是平行线所特有的性质，切不可忽略前提条件“两直或

•知识精析平行”，不要一提到同位角或内错角，就认为是民学的.

1.平行线的特征［,片蜃而音至与两直线平行的条件的

(1)两直线平行,同位角相等.区别

如图2-3-1.若。八,则两直线平行的条件叙述的是两条直线满足什么条

ZJ=/2.件时，这两条直线互相平行;而平行线的特征是已知两

(2)两直线平行,内错角相等.条直线平行，那么它会有哪些特征.

如图2-3-1.若。〃6,则co

图2-3-1说明:在应用两直线平行的条件与平行线的特征

Z.2=Z.4.解题时，关工鼠第彳题目手的平行互系是这第件手还

(3)两直线平行，同旁内角互补.是在结论中，即若巳知两直线平行，则用平行线的构

如图2-3-1.若a〃b,贝IJ42+23=180°.征;而判断两直线平行，则用两直线平行的条件，从而

说明：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，都金森适当的方法来解题.

基础巩固题组

职型例题跟踪训练:0

(一)平行线特征的应用

［例I］如图2-3-2,四〃3,直线£尸分别交成、5于L如图2-3-3,CD平分乙ACB、DE//BC,Z.AED=

点£、尸,EG平分乙班凡若，1=72。,求乙2的度数.70。,则匕EDC的度数是多少？

图2-3-2

图2-3-3

、分析:观察图形，分析条件.已知4B〃CD,故42=，3,

Z.1+ZBEF=180°.又EG平分乙BEF,乙1的度数已知，故可

求得，2.,

解:因为45〃CD,所以匕2=23,乙班/+乙1=180°,

所以乙BEF=180。-Z.I=180°-72°=108°.

因为EC平分NBEF,所以i2=乙3=/£BEF=/x

108°=54°,故/2=54°.

仁的方法总结利用平行线的特征解题时，充分理解平行线

的特征:“两直线平行,内错角相等;两直线平行.同位角相等;

两直线平行,同旁内角互补”是正确解题的前提.

（二）平行线的特征与两直线平行的条件的综合

应用

【例2】如图2-3-4,已知匕1=72。,£2=72。"=60。,2.如图2-3-5,如果45+=180。，乙4即=70。,

求44的度数.求乙C的度数.

£分析:本题要用到平行线的特征与

两克或平行的条件.由乙1=42可得出

四〃6,再由平行线的桥征及对顶角相等可

得出43=44.

解因为乙1=72。，42=72。（已知），

所以"=乙2,所以a〃b（同位角相图2-3-4

等，两直线平行），

所以43=,5（两直线平行，同位角相等）.

因为，4=45（对顶角相等），所以43=Z4.

因为乙3=60。,所以44=60。.

豌）方法总结在解题过程中，可通过角的相互关系推出平

行线,再由平行线的特征推出角的关系.平行线的特征与两直

线平行的条件可在同一题中反复应用，一定要区分好.

综合创新题组

典型例题跟踪训练।

【例3】（综合题）如图2-3-6,已知A433.如图2-3-7,已知41=Z.2,LC=Z.D,说明

Z.l+Z2=180。，说明乙3=Z.4.芳

Z.A=Z.F.

产分析:要说明的是两角相等，可以c/

利用已知条件推出两直线平行，然后根据为即

平行线的性质和相关角的关系说明.图2-3-6

解:因为因+42=180。,

又因为2.1+45=180。，

所以乙2=25（同角的补角相等），图2-3-7

所以45〃CD（同位角相等，两直线平行），

所以乙3=46（两直线平行，同位角相等）.

又因为乙4=乙6（对顶角相等），

所以乙3=乙4.

、a点拨:本题是平行线的判定方法和特征的综合应用,要

看清楚条件和结论，已知角的关系可先考虑运用平行线的判

定，已知平行则先考虑运用平行线的特征.

【例4】（创新题）如图2-3-8,已知45〃8工84£=4.如图2-3-9,AB〃CD,你能说明LE=仆Z.C吗?

40。，匕ECD=62。,EF平分4EC,求的度数.

图2-3-8

；分析:要求LAEF的度数,就要先求出LAEC的度数，由

于AB〃C。,而乙4EC并不与这两条平行线有直接的联系，应想

办法使乙4EC与已知卷件之间有一定的关系，不妨过E作AB

的平行或，结合平行线的挣征来求解.

解:如图2-3-8,过E点作EG〃四.

因为AB//CD（已知），所以EG//CD（平行于同一直线的两

直线平行），

所以B4E=40。，4CEG=/_ECD=62。（两直线

平行，内错角相等），

所以LAEC=乙AEG+Z.CEG=40°+62°=102°.

因为E/平分々EC（已知），

所以，AEF=/乙钻。=51。（角平分线的定义）.

彳1.要注意把平行线的特征与两直线平行的条件区别开来.巳知条件中有两直线平行这个条件，就要用平行

线的特征,如果知道同位角相等，内错角相等或同旁内角互补,判断两直线是否平行，则要用到两直线平

行的条件，要加以区分应用.

2.把平行线的特征与生活中的问题结合在一起，解题关健是从这些问题中抽象出几何图形,转化为数学问

题来处理.

。水平自测

L下列说法中，正确的是（）.

A.同位角相等

B.两条不相交的直线叫平行线

两直线平行,同旁内角相等

C.图2-3-12

D.两直线平行，内错角相等6.如图2-3-13,已知与匕2互补，43=100。,求

2.如图2-3-10,四〃（：0,则（）.匕4的度数.

A.Z.1=Z.5B.Z.2=Z_6

图2-3-13

3.如图2-3-U,已知48〃。&44=150。，NO=

140。,则£C的度数是（）.

A.60°B.75°

C.70°D.50°

4.若两条平行线被第三条直线所截，则同一对同位角

的平分线互相（）.

A.垂直B.平行

C.重合D.相交

5.如图2-3-12,已知AB〃CD,直线MN分别交直线

AB、CD于E、尸.m=50。,酩平分那么

乙MEG度数为.

7.已知:如图2-3-14,在四边形4BCD中,4B〃CD,9.如图2-3-16,把一块长方形纸片ABCD沿£尸折

BC〃AZ),那么乙4与乙C,乙B与LD的大小关系叠，若4EFG=36＞你能知道匕OEG和4BG。'的大

如何?小吗？

8.巳知:如图2-3・15,熊〃CD,求求+42+23+24

10.如图2-3-17,已知AB//EF.AB//CD,乙ABE=

的度数

60。，XOCE=36。，EG平分/BEC,试求Z.GE尸的

度数.

图2-3-15

Lesson、当4「用尺规:作线段和.角

1.会用无刻度的直尺和圆规作一条线段等于巳知线段，作一个角等于巳知角，并用它解决一些简单

的应用题.

2.掌握尺规作图的方法及作图语言.

•知识精析•作法:(1)作射线0%';(2)以0为圆心，以任意长

cis为半径画孤，交0A于点C,交0B于点D；(3)以点01

1.作一条线段等于已知线段为圆心，以比长为半径画弧，交0'*于点。；(4)以点

2。为圆心，以CD长为半径画弧，交前面的弧于点

已知:线段明求作线段优,使a'=a.

(5)过0'作射线0B.则4*0'所就是所求作的角.

作法:①作射线成；

说第：(1)作图时应注意掌握作图方法及规范1的作

②以点A为圆心，以a的长为半径画弧交射线AB

图语言.

一

于点C.线段AC即为所求作线段/(2)尺规作图要保留作图痕迹，即所离出的弧不能

说明：尺规作图的含义：只用B1规和无刻度的直尺随便擦掉.

枭画图，称为尺规作图.CrO(3)尺规作图题最后的语言奴述申一定要给出

结论.

2.作一个角等于已知角

已知：4408,求作:44'。®液乙TO®=LAOB.

基础巩固题组

典型例题跟踪训练I

(一)作一条线段等于已知线段

【例1】如图2-4-1，已知线段，、b、c,用尺规作一条线段,L如图2-4-3,已知线段a、b(a>b)，利用尺规作线

使它等于3a-b+2e.段C,使C=Q-6.

b

b,

图2-4-1

图2-4-3

作法:如图2-4-2,(1)作射线AM；

(2)在AM上顺次截取.4E=M=FB=Q；

(3)在射线上顺次截取BG=GD^c；

(4)在线段AD上截取AC=b.则线段CD即为所求.

•---------3a-----------

AECFBGDM

图2-4-2

作图的语言要规范，另外线段的和与差的区

别在于前者在线段外侧作,后者在线段内侧作.

(二)作一个角等于已知角

I例2】已知：4a,"(La>")，如图2-4-4.2.如图2-4-6,已知乙%乙仇利用尺规求作一个角,

求作;上八使乙y=24a-JR使它等于2乙a+乙回

M分析：结合题意，可以先作一个角等于24%然后在这

个角内部，以该角一边为边作一个角等于即可.

作法：如图2-4-5,（1）作乙408=Z_a;

（2）以08为一边，在乙408外部作LBOC^Lax

（3）以0C为一边，在乙40c内部作4c0。=”•

则乙4。。即为所求作的4y.

作角的和与差要先作一个角等于已知角，再

在此角的基础上作其他角，区别就在于前者在角的外侧作，后

者在角的内侧作，类似于线段的和与差的作法.

综合创新题组

0典型例题跟踪训练您

【例3】（综合题）如图2-4-7,已知直线48却直线力8外3.如图2-4-9,在长方形木板上截一个平行四边形,

的一点P,作一条经过点P的直线使CD//AR.使它的组对边在长方形木板的边缘上，另一组对

边中一条边为AB.请过C点作出与4B平行的另

一边•

B

X分析：本题要求作平行线，这使我们联想到平行线的特图2-4-9

征：两直线平行，同位角相等（或内错角相等）.我们只要作出

AB.CD被第三条直线，所藏得的同位角相等,问题就解决了.

作注:（1）过点P任意作一条直线£匕交A8于点Q；

（2］作乙EPD,使乙EPD=LPQB；

（3［反向延长射线PO,得直线CD.

直线CD就是所求作的直