2021届人教a版 平面向量 单元测试 (一)

平面向量

一、单选题

1.若非零向量昆5,满足|阳=乎出|,且(万-5),(3万+25),则万与B的夹角为

()

兀万3兀

A.-B.—C.—D.乃

424

【答案】A

【解析】

【分析】

设向量方与B的夹角为a根据向量的垂直和向量的数量积，以及向量的夹角公式计算

即可.

【详解】

解：设向量方与5的夹角为仇

•.•国|=半出|，

不妨设151=3m,则|«|=2\l2m,

V(a-b)A.(3a+2b),

：.(a-b)-(3a+2b)=0,

.*.3|5|2一2出/-a-b=O,

:,a-h=6m2，

cab6m272

cos0=-----=------1=—=——，

|a|-|^|3m-2yJ2m2

QOWOWTT，

：.0=-.

4

故选：A.

【点睛】

本题考查了向量的数量积公式和向量的垂直，考查了学生的运算能力，属于中档题.

2.如果不,当是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有

向量的一组基底的是（）

A.不与不+当B.4一2当与不+2互

C.4+瓦与不一&D.4一2瓦与—4+2号

【答案】D

【解析】

【分析】

根据向量共线定理求解即可.

【详解】

2=1

对A项，设召+瓦=丸不，则（八，无解

,、fA=1

对B项，设及一范=几（4+羽），则〈一，无解

/、fZ=1

对c项，设耳+⑥=九（H一号），则，，无解

1=­Z

对D项，e,-2e2^-（-e,+2e2）,所以两向量为共线向量

故选：D

【点睛】

本题主要考查了基底的概念及辨析，属于基础题.

3.在AABC中，|福卜|前1=3,1通+北卜而一祝则通.第=（）.

99

A.3B.—3C.—D.—

22

【答案】D

【解析】

【分析】

由W+而T=3|通—祝「，且|通|=|4亍|=3得通=2,即可求出结果.

【详解】

由题意得：|通+/『=3］福—恁『，展开得：2、（荏2+/2）=8通.而，

__________Q

又因为|而|=|*|=3,所以可得：ABAC^-,

___________9

所以ABC4=—A8AC=—

2

故选O.

【点睛】

本题考查了向量的数量积和向量的模的运算，属于基础题.

4.已知向量:屋，对任意比及，恒有日"；|，则（）

A.（0）=-a*eB.（a）=-a.eC.a_eD.|fl|=|e|'

【答案】A

【解析】

本题考查向量的数量积，模的运算，二次不等式的性质及分析推理能力.

因为对任意t€R,恒有I五+蟾|2|益+3],等价于代+t即22|五+司2,即

22222整理得：■一

|a|+2ta-e+t\e\>|a|+2a-e+\e\,.12+20.3）t2d-e—

回220对任意tCR恒成立，则/=40春）2+4同2（2港3+回2）WO,整理得：

（a-e）2+2（a-e）|e|2+|e[4<0.即伍•3+同40；所以&,G+同2=0,即同2=

—a-e.

故选A

5.正六边形ABC。斯中，令福=办，旃=6，P是△COE内含边界的动点（如

图），AP=xa+yb,则*+）’的最大值是（）

E_______D

A.1B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】

由而=x£+yB可得一!一而=一匚£+二一坂，然后再利用三点共线，数形结合可

x+yx+yx+y

以求出x+y的最大值.

【详解】

解：•••AP=xa+yb>

x+yx+yx+y

令40=」一A户，则有一通+工一后.

x+yx+yx+y

xy.

又------+-----=1,

x+yx+y

-Q,B,F三点共线.

:.x+y=^-当|AP|达到最大为|AO|时，AGXB/L.・•点A到线段BF的最短

IAQI

距离为AG,即|福|恰好达到最小为AG.

故选：C.

【点睛】

本题考查平面向量共线定理，是中档题,解题时，构建三点共线位置关系是本题的关键.

6.已知圆。是AABC外接圆，其半径为1,且通+/=2〃,A3=1,则与.丽=

A.B.3C.>/3D.2邪>

【答案】B

【解析】

因为荏+/=2而,所以点C是叼的中点，即的是圆〃的直径,又因为A6=L

圆的半径为工，所以ZACB=30°，且4G垂），则CACB=|C4|.|CB|COS/ACB=3.

选B.

l<x<2

7.已知在平面直角坐标系x。)，上的区域。由不等式组｛y«2给定.若M(x,y)为

x<2y

。上的动点，点A的坐标为(2,1),则z=0Z/A/的最大值为()

A.-5B.-1C.1D.0

【答案】C

【解析】

试题分析：作出区域D：

显然平移％：y=-2x到经过点D(2,2)时取得最大值为：2用燧=2x2+2—5=1；

故选C.

考点：1.向量数量积的坐标运算；2.线性规划.

8.已知向量@=(2,1),5=(3,X),且£_L万，则X的值为

3

A.-6B.6D

2

【答案】A

【解析】

【分析】

由向量垂直的充要条件可得：2x3+lx4=0,从而可得结果.

【详解】

因为向量互=（2,1）出=（3,2）,且

所以由向量垂直的充要条件可得：2x3+lx4=0,

解得4=一6,即；I的值为一6,故选A.

【点睛】

利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，

利用芯力一々,=。解答；（2）两向量垂直，利用玉々+乂乂=。解答.

9.已知:=（1,1）,B=（O,—2）,且乙一/；与G+B的夹角为120°,贝！U=（）

A.-1+73B.-2C.-l±>/3D.1

【答案】C

【解析】

【分析】

计算出履-〃与的坐标与模，根据履-内与£+五的夹角为120。建立等式，即可求

出实数A:的值.

【详解】

,.-5=（1,1）,6=（0,-2）,.,.奶—5=攵（1,1）-（0,-2）=化％+2）,a+b=（1,-1）,

:.\ka-b\^仕+2）2,忖+方卜"+（_1）2=血,

(ka-b)\a+b)=(k,k+2)\l,-l)=k-k-2=-2,后一B与£+5的夹角为120。，

(ka-b\(a+b\_J_______2______

产而可，即亍忘布于

化简并整理，得々2+2%—2=0,解得&=-1士

故选：C.

【点睛】

本题考查利用平面向量的夹角求参数，考查平面向量数量积的坐标运算，考查运算求解

能力，属于基础题.

10.若向量a,b满足同=咽=6,且必(1+5)则乙b的夹角为()

71_71-2万—5万

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】D

【解析】

因为方,卜+6),所以小,+6)=0,即无5+后=|训.cos〈万,5〉+时=0,所以

1-2

_1—|2也A/3—ri5万

cos〈第力+同=-4-^=--,又〈方力〉GO,不，所以2与b的夹角为T，故

''\a\h\26

选D.

点睛：平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是

利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，

可起到化繁为简的妙用.利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关

角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决.列出方程组求解未知数.

11.如图，点O是线段8c的中点，BC=6,且|通+求卜|丽一而|，贝！)|砺卜

).

A.6B.2月C.3D.|

【答案】C

【解析】

试题分析：因为点0是线段BC的中点，所以荏+衣=2而，又因为

\AB+AC\^AB-AC\,所以2|而卜|觉|=6,则|码=3：故选C.

考点：平面向量的线性运算.

12.如图，45是的。。的直径，且半径为1,点C、。是半圆弧48上的两个等三分点,

则向量而在向量而上的投影等于（）

A36石.

A.—B1t.Cr.----1

222

【答案】D

【解析】

【分析】

求得而与巨的夹角和IAD|的大小，套用公式即可得到本题答案.

【详解】

由题，得NC4O=N84D=30°，

连接8。，易得NA£>8=90°，

在用AABO中，AB=2,所以AO=G，

3

所以向量而在向量再上的投影=1汨Icosl50'=Gx

2

故选：。

【点睛】

本题主要考查向量万在方方向上的投影公式的应用.

二、填空题

13.已知向量a与日的夹角为60°,且同=1,|2”司=2百，则网=,

【答案】4

【解析】

分析：根据平面向量数量积公式可得=g问，对|2£+0=2百，两边平方，得

到关于代的方程，解方程即可得结果.

详解：印反一司=26,，4充一4无5+斤=12,

,向量a与坂的夹角为60，,d4=5网，

.•.4一2问+时=12,解得同=4,故答案为4.

点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公

式有两种形式，一是£4=琲回6,二是7万=中2+乂乂，主要应用以下几个方

面：（1）求向量的夹角,（此时£石往往用坐标形式求解）；（2）求投影,

__ab_____

a在加上的投影是|了|：（3）向量垂直则a.B=0;⑷求向量加〃石的模（平

方后需求.

14.已知向量Z=（2,l）］=（l,—2）,贝!|（£+24£=

【答案】5

【解析】

试题分析：因为a+25=(4,-3),所以(a+25)-a=5.

考点：向量的数量积.

15.平面向量五■环共线，且两两所成的角相等，若而卜着Ei,则口+3+

c\=•

【答案】1

【解析】因向量不共线，故可设三个向量的始点为。，则由题设三个向量两两相等

可知每两个向量的夹角均为120。，则a•3=2x2x（-}=—2,3•3=2工=2x1x

（——）■———1,所以（a+b+=4+4+1+2a•b+2a•c+2b,c=9-4—4=1,

即M+B+可=1,应填答案1。

16.在平面直角坐标系中，点P（g,cos2。）在角a的终边上，点。卜in?。,—1）在

角0的终边上，且而•而=—；.则sin（a+3）=.

­而

【答案】一记

【解析】

试题分析：利用向量的数量积坐标运算，平方关系求出的三角函数值，进而求出点p和

Q的坐标，由三角函数定义求出角〃和b三角函数值，代入两角和的正弦公式求解.

---------111,2.1

：,/OP?OQ--AmsinZg-cos2q=-万\cos-^=—9sm~q

143.八3厢,Vio

\P(12,23),Q1)Asina=—,cosa-二一，sinZ?=------,cosb二-------，

3551010

•.4Vio30/3啊_Vio

\sin(〃+/?)"inacosb+cosasin〃=一?

51051010

考点：平面向量数量积的运算.

三、解答题

17.已知向量Z=(sine,-2)与力=(l,cos。)互相垂直，其中角。是第三象限的角.

1+sin。〃一sin。5也

(1)求------------J----------的值

1-sinV1+sin

(2)求25吊％05。+««2。的值.

【答案】(1)-4(2)1

【解析】

【分析】

1+sin。代一sin。..斗

利用向量垂直的坐标表示求出tan"对于(1)式:把------------J----------化为

1—sin。\l+sin^

1(14-sin^)(1'+-sin[1一sin6)(1-sin6).C

、丁•—*7./-JI.忐.夕然后利用sine+cos2e=I开方，再

y(l-sm6)(1+sin3)y(1+sm6)(1—sin0)

由cos9<0去绝对值求解即可；

对于⑵式:利用sin20+cos28=1,JC2sin^cos04-cos2夕化为

2sin^cos0+cos20

sin2+cos2<9

然后分子分母同除以cos20，得到关于tan3的表达式即可求解.

【详解】

因为3,九所以73=0,即sine—2cose=0,则tan6=2.

1+sin。1-sin^

(1)1-sin。Ml+sin。

(l+sin6)(l+sine)(l-sin^)(l-sin/9)

(1-sin6)(1+sin。)(l+sin6)(l-sin。)

1+sin。1-sin。

|cos0\|cos0\

•二。是第三象限的角，，。）56<0,

l+sin。/1-sin^_1+sin^l-sin。

1-sin^v1+sin6?一cos。一cos6

2sin6

=-2tan=-4

一cosB

⑵2sin^cos^+cos20

_2sin夕cos6+cos?0

sin2+cos20

2tan6+l

tan20+1

2x2+1

-22+1

=1

【点睛】

本题考查同角三角函数基本关系和平面向量垂直的坐标表示;化简求值的原则是繁化简;

灵活运用同角三角函数的基本关系是求解本题的关键;属于中档题.

18.设向量万,1满足向=M=1,且附—2同=g.

（1）求方与5的夹角；

（2）求惋+3目的大小.

【答案】（1）j（2）V19

【解析】

【分析】

（1）根据向量数量积的运算和向量模的公式，即可计算出cos。=L,得到万与5的夹

2

角；

（2）根据向量的模的平方等于向量的平方，可得|25+34=汁2万+3日2，化简即可得

到答案

【详解】

解：（1）设万与B的夹角为夕由已知得（32—25『=（J7）2=7,即

9同2-127-5+4w『=7,因此9+4—12cos£=7,于是cos6=；,故6=?,即£

与5的夹角为。.

（2）|2汗+3W=万+3W2

=,4同2+12必5+9时=^4+12x1+9

=V19.

【点睛】

本题考查向量数量积的运算性质、向量模的公式和向量的夹角公式，考查学生的运算能

力，属于中档题.

19.已知A（一面,O）,B“J,O）,动点P满足网+|网=4.

（1）求动点P的轨迹。的方程；

（2）过点（1,0）作直线L与曲线。交于M、N两点，若加・丽=-3,求直线L

的方程；

（3）设T为曲线。在第一象限内的一点，曲线。在T处的切线与轴分别交于点

E、F,求AOEF面积的最小值.

2

【答案】（1）二+V=1；（2）x+y_l=O或x-y-l=O；（3）2.

4

【解析】

试题分析：（1）通过椭圆的定义即得结论；（2）易得当直线/的斜率不存在不合题意；

当直线/的斜率存在时，设出直线/的方程，并联立椭圆方程，利用韦达定理结合向量

的坐标运算求得直线/的斜率，从而求得直线方程；（3）设切线的方程为丁=人:+8

（左＜0）,并联立椭圆方程，根据判别为0,得到上功的关系式，然后利用面积公式

结合基本不等式求得AOE厂面积的最小值.

试题解析：（1）由题可知，轨迹C是以A（-6,0）,8（百,0）为焦点的椭圆，

•••动点满足„+|pq=4,.•.2a=4,即a=2,

b—a2—c2—1.

动点P的轨迹C的方程为—+/=1.

4

(2)解法1当直线/的斜率不存在时，OM-ON=一，不合

224

题意；

当直线/的斜率存在时，设直线/:y=Z(x—1),代入曲线C的方程得：

(1+4后2)x2-Sk2x+4(k2-Y)=0,

822A(L2_1)

设A/(X］，M),N(X2，y2)，则：Xl+X2=,2=,2

1i^TK1।^TK

22+2

OMON=xix2+yxy2=xxx2+^(x,-l)(x2-l)=(l+/c)X|X2-Y。+x2)^

_%2_4_3

-1+4公—S'

解得:Z=±1

故所求的直线/的方程为x+y—1=0或x—y—1=0；

解法2当直线/为x轴时，M(-2,O)2V(2,O),OMON^-4,不合题意；

当直线/不为x轴时，设过(1,0)的直线/：x=Ay+\,代入曲线C的方程得

(4+22)y2+2Ay-3=0

-22-3

设M(X］，M),N(X2，y2)，则以+%=^^?，必％

OMON=x［x2+y%=(1++丸(%+%)+1=I，，%=-7

4+43

解得：4=±1

故所求的直线/的方程为x+y—l=0或x—y—1=0；

(3)设切线y=(A<0),代入曲线C的方程?+V=i得：

(1+4/)x2+Skbx+4(〃-1)=0

由△=()得，〃=4父+1,

h1k14*2+1

又有E(--,0),F(0,&)，所以S=:优一。=一:竺产22,

k2b2k

当％=—工时取所以AOER面积的最小值是2.

2

考点：1、椭圆的定义及方程；2、直线与椭圆的位置关系；3、向量的坐标运算.

【方法点睛】求圆锥曲线中的向量的数量积主要有两种方法：(1)根据条件求出所涉及

到的向量的坐标，然后利用数量积的坐标公式求解；(2)根据条件确定所涉及到的两个

向量的模及它们的夹角，然后利用向量数量积的非坐标形式求解.

20.在A4BC中，设。、b、c分别为角A、B、C的对边，记A4BC的面积为S,

且25=通•而.

(1)求角A的大小；

4

(2)若c=7,cosB=—,求。的值.

【答案】(1)-；(2)a=5

4

【解析】

【分析】

(1)由三角形面积公式，平面向量数量积的运算可得bcsinA=Z?ccosA,结合范围

人£(0,乃)，可求tanA=l,进而可求A的值.

3

(2)利用同角三角函数基本关系式可求sin8=g,利用两角和的正弦函数公式可求

sinC的值，由正弦定理可求得。的值.

【详解】

解：(1)^2S=AB*AC>得匕csinA=6ccosA,

因为Ac(0,万)，

所以tanA=1,

71

可得：A=—.

4

4

(2)MBC中，cosB=-,

所以sin8=±3.

5

7A

所以：sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=,

a7

由正弦定理工=-J,得75=7万，解得a=5,

sinAsinC——

【点睛】

本题主要考查了三角形面积公式，平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系式,

两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想,

属于基础题.

21.在平面直角坐标系x。)'