2022年人教版八年级上册数学第十四章整式乘法与因式分解同步单元教案及教学反思

第十四章整式的乘法与因式分解

14.1整式的乘法

14.1.1同底数幕的乘法

◊教学目标◊

【知识与技能】

在推理判断中得出同底数暴乘法的运算法则，并掌握“法则”的应用.

【过程与方法】

经历探索同底数幕的乘法运算性质的过程,感受累的意义,发展推理能力和表达能力,提高

计算能力.

【情感、态度与价值观】

在小组合作交流中，培养协作精神、探究精神,增强学习信心.

◊教学重难点◊

【教学重点】

同底数易乘法运算性质的推导和应用.

【教学难点】

同底数塞的乘法的法则的应用以及逆用.

◊教学过程◊

一、情境导入

“盘古开天辟地”的故事:公元前一百万年,没有天没有地,整个宇宙是混浊的一团,突然间

窜出来一个巨人，他的名字叫盘古，他手握一把巨斧,用力一劈,把混沌的宇宙劈成两半,上面是

天,下面是地,从此宇宙有了天地之分,盘古完成了这样一个壮举,累死了，他的左眼变成了太阳,

右眼变成了月亮,毛发变成了森林和草原,骨头变成了高山和高原，肌肉变成了平原与谷地，血

液变成了河流.

问题:盘古的左眼变成了太阳，那么，太阳离我们多远呢?你可以计算一下，太阳到地球的距

离是多少？光的速度为3X10、千米邓，太阳光照射到地球大约需要5X10?秒，你能计算出地球

距离太阳大约有多远呢？

二、合作探究

探究点1同底数基的乘法

一典例1计算a?•才的正确结果是（）

A.a5B.a

C.aD.a

232+35

［解析］a-a=a=a.

［答案］A

【技巧点拨】本题是同底数累的乘法运算，直接利用同底数幕的乘法运算法则运算即可,注意底

数不变,指数相加.

变式训练化简一8・8的正确结果是（）

A.-bB.b'

C.TD.I）

［答案］C

探究点2法则的逆用

一典例2已知3"=1,3〃=2,则3""的值为（）

A.1B.2C.3D.27

［解析］V3aX3A=3,H）,

.•.3"+"=3"X3〃=1X2=2.

［答案］B

三、板书设计

同底数幕的乘法

同底数累

，（法则

由才、+同底数暴的乘法法则［符号表达

（字母氾围

、幕的乘法法则逆用

◊教学反思◊

本节课应注重同底数幕的乘法法则的推导过程，而不单单是要求记住结论，在导出的过程

中，从具体到抽象,有层次地进行概括，归纳推理,学生不是被动地接受,而是在已有经验的基础

上创新,从而培养学生的动手能力和创新意识.

14.1.2幕的乘方

◊教学目标◊

【知识与技能】

1.理解幕的乘方的运算性质，进一步体会和巩固累的意义；

2.通过推理得出事的乘方的运算性质，并且掌握这个性质.

【过程与方法】

经历一系列探索过程,发展学生的合情推理能力和有条理的表达能力.

【情感、态度与价值观】

培养学生合作交流意义和探索精神，让学生体会数学的应用价值.

◊教学重难点◊

【教学重点】

塞的乘方法则.

【教学难点】

毒的乘方法则的推导过程及灵活应用.

◊教学过程◊

一、情境导入

木星的半径是地球半径的IO?倍，太阳的半径是地球半径的1(/倍，假如地球的半径为r,那

么太阳和木星的体积是多少？

二、合作探究

探究点1基的乘方

一典例1计算d3尸=.

［解析］根据累的运算法则即可求出答案.原式=■•

［答案］a'2

变式训练计算：(一才尸=.

［答案］3

探究点2嘉的乘方逆用

典例2若l(r=5,10"=3,则10*+3.=.

［解析］102w+3n=102"*103n=(1002•(10n)3=52•33=675.

［答案］675

【技巧点拨】注意幕的乘方公式的逆用，a""=(a)'=(aT.

变式训练若a=6,a"=3,则a*的值为.

［答案］54

三、板书设计

幕的乘方

，(法则

寸由〒分毫的乘方法则|符号表达

暴的乘方《…E廿L

I字母范围

、幕的乘方逆用

◊教学反思◊

本节的内容是幕的乘方,教学过程中，激发和鼓励学生的学习探究;提问不仅有序、有提示、

有鼓励,而且有启发、问在有疑之处.本课的主要教学任务是“事的乘方”，即幕的乘方,底数不

变,指数相乘.在课堂教学时,通过累的意义引导学生探索发现得出这一性质.

14.1.3积的乘方

◊教学目标◊

【知识与技能】

探索积的乘方的运算性质，能用积的乘方的运算性质进行计算.

【过程与方法】

经历探索积的乘方的过程,发展学生的推理能力和有条理的表达能力，培养学生的综合能

力.

【情感、态度与价值观】

培养学生团结协作的精神和探索精神,有助于塑造他们挑战困难,挑战生活的勇气和信心.

◊教学重难点◊

【教学重点】

积的乘方的运算.

【教学难点】

积的乘方的推导过程的理解和灵活运用.

◊教学过程◊

一、情境导入

我们前面学过同底数塞的运算法则；哥的乘方运算法则的内容，你知道它们的区别和联系

吗？

请同学们思考怎样计算（2才尸,每一步的根据是什么？

二、合作探究

探究点1积的乘方法则

一典例1计算：（—2江厂=.

［解析］（一24）』（―2）寸（4）』—8Z/.

［答案］-8//

归纳总结

根据积的乘方的性质把问题转化为几个塞的乘方,然后再进行运算,用准法则是解这类问

题的关键.

3

变式训练计算:（一译"=.

［答案］十6

探究点2公式的逆用

一典例2阅读下列各式：

(aZ?)2=a2Z?2,(aZ?)3=a3Z?3,(aZ?)4=aZ?4,

①归纳得(a/?)"=;(abc)n=；

②计算41°°X0.25100=;Q)5X35X(|)5:

③应用上述结论计算：(-0.125尸必义？?皿*/、

［解析］①(aA)"=a"c".

②4MXO.25'°°=(4X0.25严=1,

③(一0.125)的x2?姨x4?侬

=-0.125X22X(-0.125X2X4)2020

=-0.5X(7)202。

=-0.5.

探究点3基的运算综合练习

\一典例3计算：(-2列)3+5・＞一(一3.2.

［解析］(-2/)3+y«y-(-3/)2

=-8/+/-9/

=-16x.

三、板书设计

积的乘方

法则

积的乘方法则符号表达

积的乘方«,字母范围

积的乘方逆用

、累的运算综合练习

◊教学反思◊

本节主要是积的乘方,学生很容易得出计算公式,关键是利用公式进行运算,通过练习引导

学生明确先利用法则把运算转化为几个事的乘方的积,然后计算,通过小组练习，讨论,纠错得

到正确的解法.

14.1.4整式的乘法

第1课时单项式与单项式相乘

◊教学目标◊

【知识与技能】

会进行单项式乘单项式的运算.

【过程与方法】

经历探索单项式乘以单项式的过程，体会乘法结合律的作用和转化的思想，发展有条理的

思考及语言表达能力.

【情感、态度与价值观】

培养学生推理能力、计算能力,通过小组合作与交流,增强协作精神.

◊教学重难点◊

【教学重点】

单项式乘法运算法则的推导与应用.

【教学难点】

单项式乘法运算法则的推导与应用.

◊教学过程◊

一、情境导入

前面我们学习了事的运算,我们知道整式有两种，分别为单项式与多项式,那么整式的乘法

应有几种，哪种最简单？

二、合作探究

探究点1单项式乘单项式法则

典例1计算（一%）=.

［解析］根据单项式与单项式相乘,把它们的系数分别相乘,相同字母的事分别相加,其余字母

连同它的指数不变,作为积的因式，计算即可=

［答案］一小

变式训练计算（一2X"）3・4XY=.

［答案］-32//

探究点2求代数式的值

一典例2如果//与2xy”相乘的结果是"W,求他的值.

［解析］由题意可知Y7X2^/=2Z+I-y""=2xW,

/.77+1=5,4+加=7,

・••勿=3,77=4,

mn=12.

探究点3法则应用

一典例3计算(9X105)X(2.5X103)=.(用科学记数法表示)

［解析］(9X105)X(2.5X103)=9X2.5X105X103=22.5X108=2.25X109.

［答案］2.25X109

探究点4累的运算综合练习

典例4计算：(一2灯+(灯尸=.

［解析］(—3//)2,2灯+(xy)i=9xy,2xy+^y^=18//+//.

［答案］187/+//

三、板书设计

单项式与单项式相乘

单项式乘

单项式乘单项式法则(上法则，士、,

单项式〔符号表达

单项式乘法法则的应用

◊教学反思◊

本节是单项式与单项式的乘法,学生通过面积的计算,或乘方分配律可以得出运算法则;通

过学生小组练习、讨论、纠错提高学生的合作能力，以及在运算中提高学生的应用意识，总结出

单项式乘单项式的步骤以及易错点，以引起学生的注意.

第2课时单项式与多项式相乘

◊教学目标◊

【知识与技能】

掌握单项式与多项式的乘法运算法则，会进行简单的整式乘法运算.

【过程与方法】

经历探索单项式与多项式相乘的运算过程，体会乘法分配律的作用和转化思想，发展有条

理地思考及语言表达能力.

【情感、态度与价值观】

培养良好的探究意识与合作交流的能力,体会整式运算的应用价值.

◊教学重难点◊

【教学重点】

单项式与多项式相乘的法则.

【教学难点】

整式乘法法则的推导与应用.

◊教学过程◊

一、情境导入

有3家超市以相同价格〃（单位:元/台）销售/牌电视机，它们在一年内的销售量（单位：台）

分别是司匕z,请你采用不同的方法计算它们在这一年内销售这种电视机的总收入.小明的答

案是〃（x+y+z）,小芳的答案是nx+ny+nz,各说各有理，你能给他们评判一下吗？

二、合作探究

探究点1单项式乘多项式

典例1计算：（x—3y）（-6x）=.

［解析］根据单项式与多项式相乘,先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算即

可.

［答案］-6f+18灯

变式训练计算：（3沙一6春）•//

［解析］原式=x?-2x".

探究点2求未知系数的值

典例2已知<3(片+*一。)+6(2x?—*—2)=7V+4x+3,求a,6,c的值.

［解析］''a(x+x-c)+6(2*—x—2)=7/+4x+3,

(a+26)x+(a—8)x—(ac+26)=7/+4x+3,

(a+2b=7,

<a—b=\,

1—(ac+2b)—,3,

解得a=5,b=l,c=—l.

归纳总结

求未知系数的值,根据两个多项式相等时,如a^+bx=c^+dx,则有a=c"=d得到方程

组即可求解,关键是整式的乘法.

探究点3求代数式的值

典例3已知ag=—2,则一aA(才£—V+6)=()

A.4B.2C.0D.14

［解析］-ab(M&-a6+6)=—占6+百6—al}=—(aE)'+(aE)°—a6,当a/>2=—2时，原式

=-(-2)3+(一2尸一(-2)=8+4+2=14.

［答案］D

【技巧点拨】这类问题先根据单项式的乘法计算得到多项式,然后把多项式用已知式子表示出

来,整体代入求值,这种整体思想是我们经常用到的一种方法.

三、板书设计

单项式与多项式相乘

单项式乘

，(法则

-H4单项式乘多项式法则।符号表达

多项式〈，.、

(几何意义

、法则的应用

◊教学反思◊

本节的内容是单项式乘多项式,法则的得到比较简单,教学中，应紧扣法则，单项式乘多项

式转化为单项式乘单项式的问题计算，同学小组练习讨论理解多项式的每一项,包括它前面的

符号.在实施“情境一一探究”教学过程中，注重引导学生在课堂活动过程中感悟知识的生成、

发展与变化,培养学生主动探索、敢于实践、善于发现的科学精神.

第3课时多项式与多项式相乘

◊教学目标◊

【知识与技能】

理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算.

【过程与方法】

经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的推理过程,体会数学的转化思想.

【情感、态度与价值观】

通过推理,培养学生计算能力，发展有条理的思考,逐步形成主动探索的习惯.

◊教学重难点◊

【教学重点】

多项式与多项式的乘法法则的理解及应用.

【教学难点】

多项式与多项式的乘法法则的应用.

◊教学过程◊

一、情境导入

试着用不同方式计算下图的面积，探讨你能得到什么结论.

二、合作探究

探究点1多项式乘多项式

＞一典例1计算（2加-3）（加+2）.

［解析］（2勿—3）（勿+2）

=2/X/??+2/义2+（-3）X加+（—3）X2

=2m+47一3/Z7-6

=2m+疗-6.

归纳总结

整式的乘法就是根据运算法则转化为单项式乘单项式计算,最后把所得结果相加,注意有

同类项的要合并同类项，需提醒是的多项式的项包括它前面的符号.注意不要漏项,漏字母,有

同类项的合并同类项.

探究点2求未知系数的值

一典例2若（x+血（x—8）中不含x的一次项，则力的值为（）

A.8B.-8C.0D.8或一8

［解析］:（x+向（x—8）=V—8x+川x—8勿=/+（加一8）x—8加,又结果中不含x的一次项，，加

—8=0,."=8.

［答案］A

变式训练若（y+3）（y—2）="+加/+〃,则偏〃的值分别为（）

A.m=5,/7=6B.加=1,A=-6

C.m=1,n=6D.m=5,n=­6

［答案］B

探究点3求代数式的值

一典例3若代数式（x+l）2+/（x+l）+〃可以化简为V+2X—3,则加+〃=.

［解析］（x+1）2+/?7（jr+1）+z?=y+2x+1+mx+n=V+（2+血x+/z?+z?+1,由题意得

（m+2=2,

lm+〃+l=-3,

解得m0,故®+〃=—4.

.Z7=-4,

［答案］-4

探究点4积中不含某项

J—典例4（X?—以x+6）（3x—2）的积中不含x的二次项，则力的值是（）

223

C

-----

33D.2

［解析］（1—加Y+6）（3才-2）=3x'—（2+3勿）x"+（2勿+⑻才一12,•「（x—勿x+6）・（3才-2）的积

中不含X的二次项，...2+3加=0,解得ZZ?=-|.

［答案］C

三、板书设计

多项式与多项式相乘

多项式乘

r/法则

-Ki多项式乘多项式法则।符号表达

多项式I\,几，何…意、义

、法则的应用:求未知系数

◊教学反思◊

本节的内容是多项式的乘法，针对本节课学生的易错点，如“漏项”、“忘变号”的情况，在

例题后进行强调，并总结规律，让学生以后在练习计算时避免“漏项”“忘变号”的发生.

第4课时同底数累的除法

◊教学目标◊

【知识与技能】

1.掌握同底数幕的除法运算性质，并能运用它解决一些实际问题；

2.理解零次器的意义，了解规定才=1(aWO)的合理性；

【过程与方法】

经历同底数基的除法运算性质的获得过程，掌握同底数累的除法运算性质，会用同底数累

的除法运算性质进行有关计算,提高学生的运算能力，进一步体会事的意义,发展推理能力，提

高语言表达能力.

【情感、态度与价值观】

经历探索同底数累的除法运算性质的过程,体验通过“转化”构建新知识体系，培养学生大

胆猜想，善于观察、归纳的数学品质和创新精神.

◊教学重难点◊

【教学重点】

同底数毒的除法运算.

【教学难点】

理解零次幕的意义.

◊教学过程◊

一、情境导入

至此，我们已经学习了整式的加法、减法、乘法运算.在整式运算中，有时还会遇到两个整

式相除的情况.由于除法是乘法的逆运算,因此我们可以利用整式的乘法来讨论整式的除法.

二、合作探究

探究点1同底数塞的除法

＞一典例1计算(一血|°+(—a”的结果等于.

［解析］(一/"(一"=(—a)吁』(一"=——.

［答案］—a，

【技巧点拨】先把底数一a看作一个整体,直接运用同底数幕的除法法则；也可以将底数化为a,

再运用同底数毒的除法法则，即(一a)W(—应3=萨+(—，)=——呈

变式训练化简：(x+y”+(-X一力2+(x+y).

［解析］原式=(x+")5+(*+")2+(x+力=(x+y)5-T=J+y)2.

探究点2零次累

\一典例2计算：(1)2022°+(—3)°—4x(3°;

［解析］原式=1+1—4X1=-2.

三、板书设计

同底数事的除法

1,同底数累的除法法则:底数不变,指数相减.即a"+a"=ak〃(aW0).

2.零指数基:任何一个不等于零的数的零次易都等于1.即a°=l(aW0).

◊教学反思◊

本节课的学习对于学生来说,无论在知识上，还是在类比学习能力和抽象思维能力的培养

上，都起着不容忽视的作用.数学学习不能单纯依赖模仿与记忆,应该从学生的生活经验和已有

知识的背景出发，提供给学生进行数学活动和探索的机会，使他们在自主探索的过程中真正理

解和掌握数学知识.在培养学生合作与交流的同时,充分调动学生的参与意识和学习积极性，使

学生体验到平等、自由和民主，同时也受到了激励和鼓舞,从而形成积极的人生态度.

第5课时整式的除法

◊教学目标◊

【知识与技能】

会进行单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算,理解整式除法运算的原理.

【过程与方法】

经历探究整式的除法的运算性质的过程,进一步体会事的意义,发展推理能力和有条理的

表达能力.

【情感、态度与价值观】

感受数学法则、公式的简洁美、和谐美.

◊教学重难点◊

【教学重点】

整式除法的法则并应用其法则计算.

【教学难点】

理解整式除法的法则及其原理.

◊教学过程◊

一、情境导入

一种数码照片的文件大小是2K一个存储量为26M(1M=2"'K)的移动存储器能存储多少张

这样的数码照片？

二、合作探究

探究点1同底数暴的除法

一典例13"=2,3>=5,贝°.

［解析］原式=嘉=察,当3』2,3』5时，原式=||=白

［答案］卷

变式训练若5=3",7=9,则3广刀的值为.

［答案］|

探究点2单项式除以单项式

典例2计算：(―5劭)=.

［解析］根据单项式除法法则，系数和系数,相同的字母分别相除，作为商的一个因式，只在被

除式的字母连同它的指数作为商的一个因式,即可求出答案.原式=一段。一41=-2沅

［答案］-2〃

2

变式训练叱/+(一；功=.

［答案］16/

探究点3多项式除以单项式

＞一典例3小亮与小明在做游戏，两人各报一个整式，小明报的被除式是『r—2",商式必

须是2xy,则小亮报一个除式是.

［解析］(xy-2xy)^2xy=^x~y.

［答案］%?—y

三、板书设计

整式的除法

法则

同底数累的除法

符号表达

整式的除法(

单项式除以单项式

、多项式除以单项式

◊教学反思◊

本节的内容是整式的除法，内容较多,分三部分,通过运算要求学生说出式子每一步变形的

根据,并要求学生养成检验的好习惯,利用乘除互为逆运算,检验商式的正确性.培养学生耐心

细致、严谨的数学思维品质，训练学生形成一定的计算能力,慢慢培养学生良好的思维习惯和主

动参与学习的习惯.

14.2乘法公式

14.2.1平方差公式

◊教学目标◊

【知识与技能】

会推导平方差公式,并且懂得运用平方差公式进行简单计算.

【过程与方法】

经历探索特殊形式的多项式乘法的过程，发展学生的符号感和推理能力，使学生逐渐掌握

平方差公式.

【情感、态度与价值观】

通过合作学习，体会在解决具体问题过程中与他人合作的重要性,体验数学活动充满着探

索性和创造性.

◊教学重难点◊

【教学重点】

平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的了解.

【教学难点】

准确把握运用平方差公式的特征,应用平方差公式解题.

◊教学过程◊

一、情境导入

从前有一个狡猾的地主,他把一块长为*米的正方形土地租给张老汉种植,有一天，他对张

老汉说：“我把这块地的一边减少5米,另一边增加5米,继续租给你，你也没吃亏，你看如何？”

张老汉一听觉得没有吃亏,就答应了.你能告诉张老汉他吃亏了吗？

二、合作探究

探究点1平方差公式的特征

一典例1下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是()

A.(—a+Z?)(a—b)B.(x+2)(2+x)

c.G+y)［y~9D.(x-2)(x+1)

［解析］A项,原式=一(a—8)(a—6)=一(a—8)；故A不能用平方差公式;B项,原式=(x+2)；

故B不能用平方差公式;D项,原式=*—x+l,故D不能用平方差公式.

［答案］c

归纳总结

平方差公式的特征:一是左边是两个多项式相乘，这两个多项式中有一项相同，另一项互为

相反数;二是右边是相同项与相反项的平方差;三是公式中的字母可以表示具体的数(正数和负

数)，也可以表示单项式或多项式等代数式.

变式训练计算(2f-3a)(一2系一3切的结果是()

A.-4/-9a2

B.—+9.a2

C.—4^—12ax+9a2

D.—4/—12ax—9a2

［答案］B

探究点2平方差公式求值整体思想应用

>一典例2如果(a—A—3)(a—A+3)=40,那么a—6的值为()

A.49B.7

C.-7D.7或一7

［解析］(a—Z>—3)(a—6+3)=(a—Z?)2—9=40,即(a—6)2=49,则a—b=l或一7.

［答案］D

探究点3平方差公式的计算

\---典例3计算:69X71=.

［解析］原式=(70-1)(70+1)=702-1=4900-1=4899.

［答案］4899

变式训练计算:20212—2020X2022=.

［答案］1

探究点4平方差公式的几何意义

一典例4如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为8的小正方形，将阴影部分剪开,

拼成右边的矩形.根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是()

b

A.(a-6)2=a—2aZ>+1)

B.a{a-6)=d-ab

C.((a—1>)~=et—6

D.W—6=(a+8)(a—b)

［解析］第一个图形阴影部分的面积是3一氏第二个图形的面积是(a+6)(a—6).则a2~b2=

(a+Z?)(a—/)).

［答案］D

三、板书设计

平方差公式

公式

平方差公式符号表达

公式特点以及变形

平方差公式!

几何背景

计算、化简

应用

简化运算

◊教学反思◊

本节的内容是平方差公式,主要观察是否符合公式特点，只有符合公式特点才能用公式直

接求解,利用公式计算.

在实施情境探究教学过程中,应注意让学生感知问题的生成、发展与变化，培养学生善于发

现的科学精神以及合作交流的精神和创新意识.

14.2.2完全平方公式

第1课时完全平方公式

◊教学目标◊

【知识与技能】

会推导完全平方公式,并能运用公式进行简单的运算.

【过程与方法】

经历利用多项式与多项式的乘法以及嘉的意义，推导出完全平方公式的过程.

【情感、态度与价值观】

通过练习培养学生观察、类比、发现的能力，体验数学活动充满着探索性和创造性.

◊教学重难点◊

【教学重点】

完全平方公式的推导和应用.

【教学难点】

完全平方公式的应用.

◊教学过程◊

一、情境导入

现有如图所示的三种规格的硬纸片各若干张,请你根据二次三项式，+2a6+反选取相应

种类和数量的硬纸片,拼出一个正方形,并探究所拼出的正方形的代数意义.

aab

二、合作探究

探究点1完全平方公式

一典例1计算(3a—28)2的结果为()

A.9a②+/B.9才+6a6+4,2

C.9a2一12碗+4力2D.9a,一面

［解析］原式=(3a)2—2X3aX28+(2Z?)2=9a2-12aZ?+4Z?2.

［答案］C

【技巧点拨】解本题的关键是熟练运用完全平方公式,记忆完全平方公式可用口诀“首平方，

尾平方，首位两倍在中间，中间符号随前面”.很多同学遗漏掉中间积的2倍这一项，应引起注

屈、.

探究点2简化运算

s一典例2下列关于9d的计算方法正确的是()

A.962=(100-4)2=1002-42=9984

B.962=(95+1)(95-1)=952-1=9024

C.962=(90+6)2=902+62=8136

D.962=(100-4)2=1002-2X4X100+42=9216

［解析］962=(100-4)2=1002-2X100X4+42=9216,A项错误;96?=(95+1)(95+1)=95?

+2X95X1+1=9216,B项错误；99=(90+6)2=902+2X90X6+62=9216,C项错误；96?=

(100-4)2=1002-2X100X4+42=9216,D项正确.

［答案］D

归纳总结

应用完全平方公式时，要注意:①公式中的a,b可以是单项式，也可以是多项式;②对形如

两数和(或差)的平方的计算，都可以用这个公式;③对于三项的可以把其中的两项看做一项后,

也可以用完全平方公式.

探究点3完全平方式

一典例3若4a2-而6+982是完全平方式，则常数4的值为()

A.6B.12C.±12D.±6

［解析］..Fa?一在a6+9下是完全平方式，二一Aa6=±2X2aX36=±12a6,，A=±12.

［答案］C

变式训练已知*—8x+a可以写成一个完全平方式，则a可为()

A.4B.8C.16D.-16

［答案］C

探究点4完全平方公式变形应用

>一典例4已知a+6=3,aA=—2,求下列各式的值.

(l)a2+A2;

⑵a—b.

［解析］(1)a+b=3,ab=-2,

a2+Z?2=(a+1>)~—2a/>=32—2X(—2)=13.

(2)*.'a+Z>=3,ab=~2,

a-b=±J(a-Z>)2=±+t)1-2ab=±J13-2X(—2)=±V17.

探究点5完全平方公式的几何背景

>一典例5如图1是一个长为2a,宽为26(a>8)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪

开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图2那样拼成一个正方形,则中间空的

部分的面积为()

图1图2

A.abB.(a+Z>)2

C.{a—b)1D.a-Z>2

［解析］中间空的部分的面积=大正方形的面积一4个小长方形的面积=(a+6)2—4a8=a2+

2ab+lf—4ab=(a—A)；

［答案］C

三、板书设计

完全平方公式

完全平

公式

完全平方公式符号表达

公式特点以及变形

方公式<

几何背景

(计算、化简

、曳用】简化运算

◊教学反思◊

本节的内容是完全平方公式,在教学中，重视公式的几何背景,较直观地让学生理解代数中

的某些问题.利用拼图游戏,调动学生的积极性,让学生关注几何与代数之间的内在联系,增强

记忆,也可用口诀的形式让学生形象记忆，尤其针对学生易漏掉中间积的2倍这一项做好针对

性的练习.

第2课时添括号法则

◊教学目标◊

【知识与技能】

掌握乘法公式的结构特征及公式的含义，理解添括号法则，会正确地添括号运用这些公式

进行计算.

【过程与方法】

通过探索和理解乘法公式,感受乘法公式从一般到特殊的认知过程,拓展思维空间.

【情感、态度与价值观】

培养良好的分析思想和与人合作的习惯,体会数学的重要价值.

◊教学重难点◊

【教学重点】

正确应用乘法公式(平方差公式、完全平方公式).

【教学难点】

对乘法公式的结构特征以及内涵的理解.

◊教学过程◊

一、情境导入

教室里有a名同学,第一次有8名同学被老师喊到办公室去了，第二次有c名同学被老师喊

到办公室去了，请你用代数式表示教室里现在有多少名学生?你能用两种形式表示吗？

二、合作探究

探究点1添括号法则

J典例1①5x+3f-4/=5x—();

②—3/?+3<7—1=3q—().

［解析］①5x+34—4/=5x—(4/-3/).②—3/?+3q—l=3q—(3p+l).

［答案］4/-3^;3p+l

归纳总结

添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变号，如果括号前面

是负号,括到括号里的各项都改变符号.注意遇负全变,遇正不变.

探究点2添括号后用公式计算

\一典例2计算：(a—26+l)(a+28—l).

［解析］(a—26+1)(a+26—1)

=［a-(28—l)］［a+(2］-1)］

=a2-(2^-l)2

=a‘一46'+4方一1.

探究点3用完全平方公式计算

一典例3计算：(a+2加—1产.

［解析］原式=(a+2aA)2—2(a+2a6)•1+1?

=a2+4a2Z?+4a2Z>2—2a—4a2>+1.

变式训练(a+2b~c)'.

［解析］原式=心+26尸+<?—2c(a+26)

=a2+4aZ?+4Z?2+<?—2ac—48c.

探究点4代数式求值

一典例4先化简，再求值：(a+28)(a—26)+(a+28)2+(2a，2—8a262)+2a8,其中a=l,8

=2.

［解析］原式=a‘一4方'+#+4a6+462—4ab+8=24+”

Va=l,b=2,

原式=2a2+6=4.

三、板书设计

添括号法则

「添括号法则

'平方差公式

添括号《乘法公式

、完全平方公式

I应用

◊教学反思◊

本节的内容是添括号法则,添括号法则是去括号法则反过来得到的，无论是添括号,还是去

括号,运算前后代数式的值都保持不变,所以我们可以用去括号法则验证所添括号后的代数式

是否正确,添括号能利用乘法公式简单计算,重在理解遇负全变,遇正不变的口诀.

14.3因式分解

14.3.1提公因式法

◊教学目标◊

【知识与技能】

1.了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系,掌握因式分解的概念；

2.能确定多项式各项的公因式,会用提公因式法把多项式分解因式.

【过程与方法】

经历从分解因数到分解因式的类比过程,感受因式分解在解决问题中的作用.

【情感、态度与价值观】

培养学生有条理的思考、表达与交流的能力，培养积极的进取意识,体会数学知识的内在含

义与价值.

◊教学重难点◊

【教学重点】

了解因式分解的意义,掌握用提公因式法把多项式分解因式.

【教学难点】

整式乘法与因式分解之间的关系.正确地确定多项式的最大公因式.

◊教学过程◊

一、情境导入

试计算:37X337+63X337.这里用到了什么运算律？

二、合作探究

探究点1因式分解的意义

＞一典例1下列从左边到右边的变形，是因式分解的是()

A.(3—x)(3+x)=9—x

B./+2x+l=x(x+l)+1

C.ab+al)=ab{a-\-b)

D.(a—6)(〃一加)=(b—a)(〃一〃)

［解析］(3—x)(3+x)=9-Z是多项式乘法,故A错误;*+2x+l=(x+1)；故B错误;勤+

,C正确；(H—6)(z?一勿)半(6—a)(〃一勿)，不是因式分解,故D错误.

［答案］C

探究点2公因式的概念

＞一典例2多项式15/4+5潴;一20济？的公因式是（）

A.5nHiB.5序n

C.3nfnD.5加

［解析］多项式15万审+5序20/〃3中，各项系数的最大公约数是5,各项都含有的相同字母是

m,n,字母加的指数最低是2,字母n的指数最低是1,所以它的公因式是5/n.

［答案］C

归纳总结

找公因式的三大要点：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项

都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的.

探究点3提公因式法因式分解

一典例3将3a2加-6a“+3a分解因式，下面是四位同学分解的结果：

①3a加（a—2〃+1）；②3a（a加+2加〃-1）;③3a（a加一2朋）;（4）3a（a/z?—2zz?/?+1）.

其中，正确的是（）

A.①B.②C.③D.④

［解析］提公因式3a后因式分解，即可做出判断.原式=3a（a加一2“+1）.

［答案］D

三、板书设计

提公因式法

'因式分解

公因式:可以是单项式、也可以

提公因式法＜

是多项式

、提公因式法

◊教学反思◊

本节的内容是因式分解的概念，以及提公因式,学生刚学要通过练习正确理解因式分解与

整式乘法的区别和联系，进一步讨论明确.因式分解不是加、减、乘、除、乘方、开方的运算,

而是一种变形的手段,是一种恒等变形,对于公因式的概念以及确定方法从小组探究、讨论找好

确定方法,通过练习理解掌握.

14.3.2公式法

第1课时运用平方差公式分解因式

◊教学目标◊

【知识与技能】

灵活运用平方差公式进行因式分解.

【过程与方法】

经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程,感受逆向思维的意义.

【情感、态度与价值观】

培养良好的推理能力，体会“化归”与“换元”的思想方法，形成灵活的应用能力.

◊教学重难点◊

【教学重点】

理解平方差公式因式分解,并学会应用.

【教学难点】

领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性.

◊教学过程◊

一、情境导入

计算①25?—242;②352—342;③98?—97?.

看谁算的最快最准,把你的方法给大家分享.

二、合作探究

探究点1平方差公式因式分解

一典例1下列各式中，能运用平方差公式分解的多项式是（）

A.x+yB.l—x

「22n2

C.-x-yD.x-xy

［解析］不能运用平方差公式分解，故A错误；1—V能运用平方差公式分解，故B正确;

—V-/不能运用平方差公式分解,故C错误;V-xy不能运用平方差公式分解,故D错误.

［答案］B

【技巧点拨】平方差公式的特点是能写成口2—ZV的形式，口、△可以是单项式也可以是多项

式.

变式训练因式分解：（。+02—4^=

［答案］(a+3Z>)(a—Z>)

探究点2先提公因式再用公式

s—典例2把多项式a/—4a/分解因式的结果是.

［解析］原式提取公因式,再利用平方差公式分解即可.原式=a(*—44)=a(x+2y)•(x-

2”.

［答案］a(x+2y)(x—20

方法总结

因式分解的步骤是先提公因式法,然后看能否用公式，因式分解要分解到每一部分都不能

再分解为止.

探究点3熟练运用平方差公式

一典例3因式分解:4(叶〃)2—9(加一a),.

［解析］4(加+〃尸一9(加一〃”

=［2(m+n)Y'—［3{m—z?)］2

=［2(加+〃)+3(加-A)］［2(zz?+z?)—3(2»—??)］

=(2/+2〃+3/—3〃)(2/+2〃—3/+3〃)

=(5m—n)(5〃一血.

变式训练因式分解：(0一4)(0+1)+3°.

［解析］(夕―4)(0+1)+3。

=p2—3p—4+3/?

=(p+2)(p—2).

三、板书设计

运用平方差公式分解因式

运用平方差公式

分八解破因中式平［方先提差公公因式式因再式用分公解式

◊教学反思◊

本节内容是用平方差公式因式分解,平方差公式比较简单，但是变化很多,通过练习要养成

先提公因式的习惯,结果要注意到是否进行到每一个多项式因式