图形的相似（共29题）-2023年中考数学真题分项汇编（解析版）

专题21图形的相似（29题）

一、单选题

1.（2023•重庆•统考中考真题）如图，已知一ABCS_E£）C,AC:EC=2:3,若A8的长度为6,则DE的长

度为（）

A.4B.9C.12D.13.5

【答案】B

【分析】根据相似三角形的性质即可求出.

【详解】解：：ABCS.EDC,

二AC:EC=AB:DE,

VAC:EC=2:3,AB=6,

2:3=6:DE,

：.DE=9,

故选：B.

【点睛】此题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的边长比等于相似比是解决此题的关键.

2.（2023・四川遂宁•统考中考真题）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.在如图所示的平

面直角坐标系中，格点一MC、_。防成位似关系，则位似中心的坐标为（）

A.(-1,0)B.(0,0)C.(0,1)D.(1,0)

【答案】A

【分析】根据题意确定直线AO的解析式为：y=x+\,由位似图形的性质得出AO所在直线与8E所在直线

x轴的交点坐标即为位似中心，即可求解.

【详解】解：由图得：4（1,2）,0（3,4）,

设直线AD的解析式为：y=kx+h,将点代入得:

[2=k+b[k=\

L」,,'解得：1,,'

[4=3k+b也=1

；•直线AO的解析式为：y=x+l,

所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，

当y=0时,x=-l>

二位似中心的坐标为（T,0）,

故选：A.

【点睛】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形的特点是解题关

键.

3.（2023•浙江嘉兴•统考中考真题）如图，在直角坐标系中，一"C的三个顶点分别为A。,2）,5（2,1）,C（3,2）,

现以原点。为位似中心，在第一象限内作与.A3C的位似比为2的位似图形，A'B'C',则顶点C'的坐标是

A.（2,4）B.（4,2）C.（6,4）D.（5,4）

【答案】C

【分析】直接根据位似图形的性质即可得.

【详解】解：：43C的位似比为2的位似图形是一A'8'C,且C（3,2）,

.9(2x3,2x2),即C'(6,4),

故选：C.

【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键.

4.（2023・四川南充・统考中考真题）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置

一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已

知小菲的眼睛离地面高度为1.6m,同时量得小菲与镜子的水平距离为2m,镜子与旗杆的水平距离为10m,

则旗杆高度为（）

A.6.4mB.8mC.9.6mD.12.5m

【答案】B

【分析】根据镜面反射性质，可求出NAC8=NECD,再利用垂直求ABCs,EDC,最后根据三角形相似

的性质，即可求出答案.

【详解】解：如图所示，

由图可知，AB.LBD,CD1DE,CF工BD

\?ABC?CDE90?.

・根据镜面的反射性质，

:.ZACF=NECF,

J90°-ZACF=90°-ZECF,

:.ZACB=ZECD,

：._ABCS_EDC,

.ABBC

小菲的眼睛离地面高度为L6m,同时量得小菲与镜子的水平距离为2m,镜子与旗杆的水平距离为10m,

/.AB=}.6m,BC=2m,CD=10m.

.L62

*D£-10,

/.DE=8m.

故选：B.

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性

质.

5.(2023•安徽•统考中考真题)如图，点E在正方形ABC。的对角线AC上，EFLAB于点F,连接DE并

延长，交边BC于点"，交边AB的延长线于点G.若AF=2,FB=1,则MG=()

C.石+1D.710

【答案】B

【分析】根据平行线分线段成比例得出笠=三7=2,根据得出怒=笠=2,则

EMFBCMEM

133

进而可得根据得出,根据相似三角形的性质得出

CM=-AD=-fMB=/,8C〃49,AGMB^GDA5G=3,

进而在RlZ\8GM中，勾股定理即可求解.

【详解】解：•・•四边形A3CD是正方形，AF=2,FB=1,

AD=BC=AB=AF+FG=2U=3,AD//CB,ADlAB9CBLABf

,:EFLAB,

・•・AD//EF//BC

DEAF

：.——=—=2,AADEs^CME,

EMFB

.ADDE

13

则CM=—A£>==，

22

3

JMB=3—CM=—,

2

■:BC//AD,

，一GMBsGDA,

3

・・・BGMBaI

~AG~~DA~^3~2

JBG=AB=3,

T

在RtZ\3GA/中，MG=y/MB2+BG2=

故选：B.

【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练学

握以上知识是解题的关键.

6.（2023,湖北黄冈•统考中考真题）如图，矩形A8CD中，AB=3,BC=4,以点B为圆心，适当长为半径

画弧，分别交BC,BD于点、E,F,再分别以点E,尸为圆心，大于;E尸长为半径画弧交于点P,作射线3P,

过点C作社的垂线分别交即,A短于点M,N,则CN的长为（）

A.回C.26

【答案】A

【分析】由作图可知族平分NCB£>,设BP与CN交于点O,与C。交于点心作RQ_L8。于点。，根据角

平分线的性质可知RQ=RC,进而证明RtBCR0Rt.BQ?,推出BC=BQ=4,设RQ=RC=x,则

4

DR=CD-CR=3-x,解Rt一OQR求出QR=CR=§.利用三角形面积法求出OC,再证OCRs工侬,

根据相似三角形对应边成比例即可求出CN.

【详解】解：如图，设社与CN交于点。，与CD交于点R,作于点Q,

矩形A8CD中，AB=3,BC=4

BD=ylBC2+CD2=5-

由作图过程可知，BP平分NCBD,

四边形43CD是矩形，

CDA.BC,

又-RQ1BD,

RQ=RC,

在RtBCR和RtBQR中,

\RQ=RC

、BR=BR'

Rt_BCR学Rt-BQR(HL),

BC=BQ=4,

QD=BD-BQ=5-4=1,

设RQ=RC=x,则DR=C£>_CR=3r,

在Rt_OQR中，由勾股定理得。R2=QQ2+RQ2,

即(3—X)2=/+X2,

解得》三4，

4

/.CR=-.

3

i------------4i—

/.BR='BC?+CR2=-V10.

3

sRCR=LCRBC=LBROC,

BCR22

戛4

=|Vio.

BR•

3

NCOR=NCDN=9Q0,ZOCR=ZDCN,

OCRsDCN,

4

生=必，即1M

3>

DCCN

CN

解得CN=VIU.

故选：A.

【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股

定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出3尸

平分NCBD,通过勾股定理解直角三角形求出CR.

7.（2023•四川内江・统考中考真题）如图，在中，点力、E为边AB的三等分点、，点、F、G在边8c上，

AC//DG//EF,点”为'与OG的交点.若AC=12,则的长为（）

【答案】C

【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出BF=GF=CG,AH=HF,是AAE尸的

中位线，易证△BE/saBAC,得空=里,解得瓦'=4,则。"=[EF=2.

ACAB2

【详解】解：D、E为边43的三等分点，EF〃DG〃AC,

：.BE=DE=AD9BF=GF=CG,AH=HF,

，AB=3BE,。”是所的中位线，

/.DH=-EF,

2

EF〃AC,

/.ZBEF=/BAC,ZBFE=ZBC4,

/.△BEF^ABAC,

EFBEHrlEFBE

ACAB123BE

解得：EF=4,

:.DH=-EF=-x4=2

221

故选：C.

【点睛】本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知

识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

8.（2023•湖北鄂州•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，。为原点，04=08=3百，点C为平面

3

内一动点，BCf连接AC,点M是线段AC上的一点，且满足CM:M4=12当线段OM取最大值时,

点M的坐标是（）

【答案】D

［分析］由题意可得点C在以点8为圆心，|为半径的。5上，在X轴的负半轴上取点。卜等■，（））,连接8。，

分别过C、”作MEVOA,垂足为尸、E,先证，0A〃s,^―=—=-,从而当CD

DACCDAD3

取得最大值时，0M取得最大值，结合图形可知当O,B,C三点共线，且点B在线段DC上时，CZ）取得

最大值，然后分别证，3DOSCDF,AEMS.AFC,利用相似三角形的性质即可求解.

3

【详解】解：.••点C为平面内一动点，BC=-,

3

...点C在以点B为圆心，,为半径的0B上，

在x轴的负半轴上取点。（一手，。］,连接分别过C、”作CFLOA,MEVOA,垂足为尸、E,

"：OA=OB=3旧，

:.AD=OD+OA=^-

29

9OA_2

・•茄一§，

CM:M4=1:2,

.OA2CM

・•茄—§一启，

u：ZOAM=ZDAC,

：.^OAM^DAC,

.OMOA2

9，~CD~^D~3,

・・・当CO取得最大值时，QM取得最大值，结合图形可知当。，B,。三点共线，且点8在线段。。上时,

8取得最大值，

VOA=OB=3y/5,OD=^,

2

2

BD=y/OB2+OD2=卜灼+=y,

CD=BC+BD=9,

..OM2

•—f

CD3

OM=6,

•・・y轴J_x轴,CFLOA,

：.NDOB=NDFC=90°,

NBDO=NCDF,

:・&BDOs_CDF,

；.再=生即36T

CFCD-=^

解得“萼

同理可得，AEM^AFC,

ME2

.MEAM2ml-r=-

・•彳=左=§即18百3,

5

解得ME=©5

5

当线段OM取最大值时，点M的坐标是（竽，竽）

故选：D.

【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握

相似三角形的判定及性质是解题的关键.

9.（2023•山东东营•统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4,点E,尸分别在边DC,BC1.,B.BF=CE,

AE平分NC4O,连接OF,分别交AE,AC于点G,M,P是线段AG上的一个动点，过点尸作PNLAC

垂足为N,连接,有下列四个结论:①AE垂直平分DM;②PM+PN的最小值为372;@CF2=GEAE；

④上•其中正确的是（）

A.①@B.②③④C.①③④D.①③

【答案】D

【分析】根据正方形的性质和三角形全等即可证明ND4E=ZFDC,通过等量转化即可求证AG,DM,利

用角平分线的性质和公共边即可证明ADG^AMG（ASA）,从而推出①的结论；利用①中的部分结果可证

明△ADES^DGE推出OE2=GE»E,通过等量代换可推出③的结论；利用①中的部分结果和勾股定理推

出4W和CM长度，最后通过面积法即可求证④的结论不对；结合①中的结论和③的结论可求出产M+PN的

最小值，从而证明②不对.

【详解】解：.ABCD为正方形，

.-.BC=CD=AD,ZADE=ADCF=90°,

BF=CE,

:.DE=FC,

ADE空.OCF(SAS).

.\ZDAE=ZFDC,

ZA£>£=90°,

:.ZADG+ZFDC=90°f

ZADG+ZDAE=90°,

:.ZAGD=ZAGM=90°.

AE平分NC4O,

・•.ZDAG=ZMAG.

AG=AG,

/.ADG迫AMG(ASA).

••.DG=GM,

ZAGD=ZAGM=90°,

AE垂直平分£>M,

故①正确.

由①可知，ZADE=ZDGE=90°,ZDAE=NGDE,

・•.ADE,DGE,

.DEAE

"'GE~~DEf

:.DE?=GEAE,

由①可知OE=CF,

CF2=GEAE.

故③正确.

ABC。为正方形，且边长为4,

/.AB=BC=AD=4f

・•・在中，AC=6AB=4亚.

山①可知，ADG^.AMG(ASA),

.\AM=AD=4.

CM=AC-AM=4y/2-4.

由图可知，一。MC和“。加等高，设高为〃，

…SADM=SADC—SDMC»

4x/z_4x4(4向4).J

"~2~~~22

：.h=2近,

:.SegAM.h=；xAx2五=40

故④不正确.

由①可知，ADG^AMG(ASA),

;.DG=GM,

关于线段AG的对称点为。，过点。作。N'_LAC,交AC于N',交AE于P，

.•.PM+/W最小即为。N',如图所示,

由④可知ZW）暇的高6=2及即为图中的DN',

DN'=2>/2.

故②不正确.

综上所述，正确的是①③.

故选：D.

【点睛】本题考查的是正方形的综合题，涉及到三角形相似，最短路径，三角形全等，三角形面积法，解

题的关键在于是否能正确找出最短路径以及运用相关知识点.

10.（2023.内蒙古赤峰.统考中考真题）如图，把一个边长为5的菱形ABCD沿着直线OE折叠，使点C与A8

延长线上的点Q重合.£>E交BC于点凡交A8延长线于点E.。。交BC于点P,于点M,AM=4,

则下列结论，@DQ=EQ,®BQ=3,®BP=^-,®BD//FQ.正确的是（）

8

A.①②③B.②④C.①③④D.①②③④

【答案】A

【分析】由折叠性质和平行线的性质可得NQDF=NCDF=NQEF,根据等角对等边即可判断①正确；根据

等腰三角形三线合一的性质求出M2=4W=4,再求出8。即可判断②正确；由得

■CP=柘CD=（5求出族即可判断③正确；根据P言P:"O之P即可判断④错误•

DT3DEBE

【详解】由折叠性质可知：4CDF=/QDF,CD=DQ=5,

■:CD//AB,

：.ZCDF=ZQEF.

.・.ZQDF=ZQEF.

・・.DQ=EQ=5.

故①正确；

•:DQ=CD=AD=5,DM±AB,

MQ=AM=4.

u：MB=AB-AM=5-4=],

：.BQ=MQ-MB=4-l=3.

故②正确；

■:CD//AB,

：.丛CDPsgQP.

•_C_P____C_D___5

•,BP-BQ一3，

;CP+BP=BC=5,

315

:.BP=-BC=—.

88

故③正确；

CD//AB,

△CDFsABEF.

•_D__F___C__D_______C_D_________5_____5

…EF~BE~BQ+QE-3+5-8,

・EF8

'DE-T3,

..QE_5

•B£-8

.空w或

DEBE

△EFQ与LEDB不相似.

/.ZEQF*NEBD.

••.8。与尸Q不平行.

故④错误；

故选:A.

【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，菱

形的性质等知识，属于选择压轴题，有一定难度，熟练掌握相关性质是解题的关键.

11.（2023•黑龙江•统考中考真题）如图，在正方形A8Q）中，点E,F分别是AB,BC上的动点，且"1班，

垂足为G,将△ABP沿AF翻折，得到△AMEAM交。E于点P,对角线50交AF于点〃，连接

HM,CM*DM,BM,下列结论正确的是：®AF=DE,@BM//DEx③若CV则四边形8HWF是

菱形；④当点E运动到48的中点，tanNBHF=2夜；⑤EP-DH=2AG-BH.（）

A__________—

BK

BFC

A.①@③④⑤B.①②③⑤C.①②③D.①②⑤

【答案】B

【分析】利用正方形的性质和翻折的性质，逐一判断，即可解答.

【详解】解：•四边形45co是正方形，

：.^DAE=ZABF=90°,DA=AB,

AFYDE,

:.ZBAF+ZAED=9（y,,

ZBAF+ZAFB=90°,

:.ZAED=ZBFA,

.-.△71BF^AAE£＞（AAS）,

:.AF=DE,故①正确,

将△A3F沿AF翻折，得到，AMF.

:.BMLAF,

AFIDE^

:.BM//DE,故②正确,

当C”_L£1/时，ZCMF=90°,

NAM/=NAB产=90。，

ZAMF+ZCMF=\S0°,即AM,C在同一直线上，

/.ZMCF=45°,

.•.ZMFC=90°-ZMCF=45°,

通过翻折的性质可得/“既=/“耐=45。，BF=MF,

:,4HMF=/MFC,NHBC=4MFC,

BC〃MH,HB〃MF,

••・四边形BHMF是平行四边形，

BF=MF,

..•平行四边形期版是菱形，故③正确,

当点E运动到A3的中点，如图,

在RtAAEO中，DEVAU+AE?=G=AF，

ZAHD=ZFHB,ZADH=ZFBH=45°,

:△AH44FHB，

.FHBF_a_1

'^H~^D~2a~2f

2_275

/.AAHU=-AF=-----a,

33

ZAGE=ZABF=90。,

.AEEGAGa=y/5

''AF~~BF~~AB~^5a~~5

.”石口行石A「后人口245

..EG=—BF=—a，AG=—AB=----a,

5555

4J54J5

/.DG=ED-EG=-^—aGH=AH-AG=~^a

5f15

ZBHF=ZDHA,

在RtZXDGH中，tanZBHF=tanZDHA=—=3,故④错误,

GH

/XAHD^/XFHB，

.BH-1

,BH=-BD=-x2y/2a=^^a

f0TBYr立"殍

333

AF±EP,

根据翻折的性质可得EP=2EG=-a

5

.2V547287102

..EP,DnHw=-----ci-----ci=-------ci,

5315

…叫n25/52V28M2

2AG-BH=2----a------a=------a,

5315

:.EPDH=2AGBH=^^-a2，故⑤正确;

15

综上分析可知，正确的是①②③⑤.

故选：B.

【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，正切的概念，熟练按照要求

做出图形，利用寻找相似三角形是解题的关键.

二、填空题

12.（2023・湖北鄂州•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，43c与△ABQ位似，原点。是位似中

A3

心，且病=3.若89,3）,则A1点的坐标是.

【答案】（3,1）

【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长.

【详解】解：设4（町〃）

AB

・・•与△4/G位似，原点。是位似中心，且病=3.若A（9,3）,

，位似比为3:，

.9333

（・—=一，———,

tn1n1

解得"2=3,"=1,

"（3,1）

故答案为：（3,1）.

【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键.

13.（2023・吉林长春•统考中考真题）如图，A3C和,A'B'C是以点。为位似中心的位似图形，点A在线段04,

上.若。4：A4'=1：2,则和的周长之比为.

【答案】1:3

【分析】根据位似图形的性质即可求出答案.

【详解】解：OA：A4'=1：2,

:.OA:OA'=\:3,

设工45c周长为4,设AA夕。周长为4,

-ABC和二AB'C是以点。为位似中心的位似图形,

./,OA1

"7^~OA~3'

I1:12=1:3.

.•.一ABC和工ArffC的周长之比为1:3.

故答案为：1:3.

【点睛】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质.

14.（2023・四川乐山•统考中考真题）如图，在平行四边形A8CD中，E是线段A3上一点，连结AC、DE交

【答案】|

【分析】四边形ABC。是平行四边形，贝=CD,可证明一/，得到”=当=丝,

EFAEAE

由空=4进一步即可得到答案.

EB3

【详解】解：•・•四边形ABC。是平行四边形，

AAB=CD,ABCD,

：.ZAEF=4CDF/EAF=/DCF,

:、EAFs^DCF,

,DFCDAB

"EF-AE?

・・AE_2

•一，

EB3

.AB5

•>----=—,

AE2

.SMDF_DF_AB_5

EF~AE~2-

故答案为：~

【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似二角形的判定和性质等知识，证明，E4Es_/X尸是解题的关

键.

15.（2023•江西•统考中考真题）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法."矩”在古代指两条边呈直角的

曲尺（即图中的A3C）.“偃矩以望高''的意思是把"矩'’仰立放，可测量物体的高度如图，点A,B,。在同

一水平线上，NABC和4QP均为直角，AP与BC相交于点。.测得AB=40cm,BD=20cm,AQ=\2m,

则树高PQ=m.

p

【答案】6

【分析】根据题意可得・A8Qs..AQP,然后相似三.角形的性质，即可求解.

【详解】解：•••/ABC和乙4。尸均为直角

ABD//PQ,

••..ABOsAQP,

•_B_D___A__B_

"~PQ~7Q

AB=40cm,BD=20cm,AQ=12m,

.AQXBD12X20

..r(J=-----------=---------=om.

AB40

故答案为：6.

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

16.（2023・四川成都•统考中考真题）如图，在JWC中，。是边A8上一点，按以下步骤作图：①以点A为

圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB,AC于点M,N；②以点。为圆心，以40长为半径作弧，交DB

于点”；③以点M为圆心，以MN长为半径作弧,在NBAC内部交前面的弧于点N'：④过点N'作射线DN'

交5c于点E.若,87犯与四边形ACED的面积比为4:21,则分BE的值为

CE

【分析】根据作图可得N8£〉E=ZA,然后得出OE〃/1C,可证明△%>EsZka4C,进而根据相似三角形

的性质即可求解.

【详解】解：根据作图可得

/.DE//AC,

ABDEsABAC,

・・二比应与四边形ACED的面积比为4:21,

・S血二4二产丫

“SBAC21+4[BC）

...-B-E=一2

BC5

.BE2

••~~~，

CE3

2

故答案为：--

【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图与相似三角形的

性质与判定是解题的关键.

17.（2023•内蒙古•统考中考真题）如图，在RtaABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=1,将绕点A逆

An

时针方向旋转90。，得到△AB'C'.连接33'，交AC于点Q,则二二的值为.

【分析】过点。作于点F,利用勾股定理求得=根据旋转的性质可证，ABB'、ADFB是

等腰直角三角形，可得。尸=BF,再由SM»=；XBCXAZ）=；X£>FXAB,得AD=MDF,证明

AFDACB,可■得■^二=，即AF=3DF,再由AF=JT5—£）尸，求得QF=，从而求得A£>=彳，

BCAC42

CD=1,即可求解.

【详解】解：过点。作AB于点F,

VZACB=90°,AC=3,BC=1,

•*-AB=A/32+12=Vio>

将一ABC绕点A逆时针方向旋转90。得到△A&C',

A8=A8'=廊，ZBAB'=90°,

・・AM，是等腰直角三角形,

•・ZABBr=45°,

又：DF1.AB,

•・/FDB=45。，

•・中是等腰直角三角形,

*.DF=BF,

,SADB=—xBCxAD=—xDFxAB,B|JAD=y/\ODF,

22

・•ZC=ZAFD=90°,ZC4B=ZE4Z),

•・一AFD_ACB,

r)rAF

,EPAF=3DF,

BCAC

又•:AF=4iO-DF，

."M

・・DF=-----,

4

.••AO=Mx典=3,CD=3--=-,

4222

5

AD20

CD£'

2

【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，熟

练掌握相关知识是解题的关键.

18.（2023・河南・统考中考真题）矩形ABCO中，M为对角线8少的中点，点N在边AO上，且4V=AB=1.当

以点。，M,N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为.

【答案】2或&+1

【分析】分两种情况：当NMMD=90。时和当NNMD=90。时，分别进行讨论求解即可.

【详解】解：当ZMND=90°时，

:四边形A8C£）矩形,

=90°,则MN〃A8,

由平行线分线段成比例可得：箝患

又为对角线8。的中点,

BM=MD，

.ANBM,

'~ND~~MD~

即：ND=AN=1,

：.AD=AN+ND=2,

当NMWE>=9()°时,

为对角线BO的中点，NNMD=90。

：.MN为8。的垂直平分线，

/.BN=ND,

•.•四边形ABC£>矩形，AN=AB=1

.•.ZA=90。，则BN=jAB、AN2=O,

BN=ND=6

/•AD=AN+ND=y/2+i，

综上，AO的长为2或a+1，

故答案为：2或&+1.

【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨

论是解决问题的关键.

19.（2023•辽宁大连•统考中考真题）如图，在正方形ABCZ）中，AB=3,延长至E,使CE=2,连接AE,

CF平分NDCE交AE于F,连接£）尸，则。尸的长为.

【分析】如图，过尸作Q0JL8E于〃，FNLCD于N,由CP平分/DCE,可知NRCW=/尸CN=45。,

可得四边形CM/W是正方形，FM//AB,设FM=CM=NF=CN=a,则ME=2-a,证明AEEWS-EAB,

FMMF〃2—〃39,__________

则FT=H，即?解得〃==，DN=CD-CN=j由勾股定理得。尸=而干尸，计算求解

ABBE33+244

即可.

【详解】解：如图，过?作RM_L班1于M,RV_LC£>于N,则四边形CMFN是矩形，FM//AB>

*/C/平分NDCE,

・•・NFCM=NFCN=45。,

：・CM=FM,

・•・四边形CMF7V是正方形，

设FM=CM=NF=CN=a,则ME=2—a,

■:FM//AB,

•・EFM^EAB

.FMME2-a3

畤=解得

3+2

9

•・DN=CD—CN=一,

4

由勾股定理得DF=-JDN2+NF2=士低,

4

故答案为：巫.

4

【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质.解题的关键在于对知识

的熟练掌握与灵活运用.

20.（2023•广东♦统考中考真题）边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上

（如图），则图中阴影部分的面积为.

【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解.

【详解】解：如图，

由题意可知4。=。。=10,。6=。七=6尸=6,/。£/=/石/6=90。，GH=4,

・•・C”=10=AO,

•/ZD=ZDCH=90°,ZAJD=ZHJC,

・・・-Afi/冬〃C/（AAS）,

:・CJ=DJ=5,

AE/=l,

■:GI//CJ,

:・_HG"一HCJ,

.G1GH2

:・GI=2,

・FI=4,

S樵形w=—（EJ+FI）EF=\5-

故答案为：15.

【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的

性质与判定是解题的关键.

21.（2023•天津•统考中考真题）如图，在边长为3的正方形A3CD的外侧，作等腰三角形ADE,EA=ED=^.

（2）若F为BE的中点，连接反并延长，与C£＞相交于点G,则AG的长为

【答案】3；V13

【分析】（1）过点E作根据正方形和等腰三角形的性质，得到A"的长，再利用勾股定理，求

出EH的长，即可得到VADE的面积;

（2）延长即交AG于点K,利用正方形和平行线的性质，证明・ABF&KEF（ASA）,得到EK的长，进而得

到K”的长，再证明八4/水6人£4，得到绦=空，进而求出G£＞的长，最后利用勾股定理，即可求出月G

CrDAD

的长.

【详解】解：（1）过点E作

正方形A8C。的边长为3,

.\AD=3,

二ADE是等腰三角形，EA=ED=B，EHYAD,

13

AH=DH=-AD=-

221

在RjAHE中，EH=>JAE2-AH2=2,

「•SA0E=gAO.E〃=gx3x2=3,

故答案为：3；

（2）延长EH交AG于•点K,

正方形A3CD的边长为3,

ZBAD=ZADC=90°fAB=3,

.\AB±AD,CDA.AD,

EKA.AD,

:.AB//EK//CD,

:.ZABF=AKEF,

产为应:的中点，

；.BF=EF,

在AAB尸和-KEF中,

/ABF=NKEF

<BF=EF,

NAFB=NKFE

ABFaKEF（ASA）,

.\EK=AB=31

由（1）可知，AH=^-AD,EH=2,

2

:.KH=\,

KH//CD,

：./\AHK^/\ADG,

KHAH

----=-----,

GDAD

\GD=2,

在RtVADG中，AG=yjAD2+GD2=732+22=屈，

故答案为：岳.

【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和

性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键.

22.（2023•四川泸州•统考中考真题）如图，E,F是正方形ABCQ的边AB的三等分点，P是对角线AC上

Ap

的动点，当PE+P/取得最小值时，器的值是

【答案】|

【分析】作点尸关于AC的对称点/，连接所'交AC于点P,此时PE+P/取得最小值，过点尸作A£）的

垂线段，交AC于点K,根据题意可知点尸落在仞上，设正方形的边长为“，求得AK的边长，证明

Kp，

△AEPSAKFP，可得£=2,即可解答.

/1/

【详解】解：作点F关于AC的对称点F'，连接EF'交AC于点P',过点F'作AD的垂线段，交AC于点K,

由题意得：此时F'落在AO上，且根据对称的性质，当P点与P'重合时PE+P尸取得最小值,

2

设正方形A3CD的边长为。，则AF'=AF=§”

.•四边形ABC。是正方形,

.♦.NE4K=45°,NP'A£=45°,AC=-Jia

F'KYAF',

AF'AK=ZF'KA=45°,

2忘

AK=^—a,

3

ZF'PK=ZEPA,

:△EKP'SAEAP',

F'KKP'、

——=--=2,

AEAP'

：.AP，=LAK=Z&,

39

:.CP'=AC-AP'=-42a,

9

.Ap，_2

'CF"7"

Apo

・・・当尸E+PF取得最小值时，器的值是为

故答案为：.

【点睛】本题考查了四边形的最值问题，轴对称的性质，相似三角形的证明与性质，正方形的性质，正确

画出辅助线是解题的关键.

23.（2023・山西・统考中考真题）如图，在四边形A8CZ）中，ZBCD=90°,对角线AC,8。相交于点0.若

AB=AC=5,BC=6,ZADB=2ZCBD,Ijll]AD的长为

【答案】叵

3

【分析】过点A作AH±BC于点、H,延长AD,BC交于点£根据等腰三角形性质得出BH=HC=^BC=3,

根据勾股定理求出A"=JAC?=4,证明/C5D=NCED,得出DB=DE,根据等腰三角形性质得出

[7）C'FQ

CE=BC=6,证明OV/AH,m-=-，求出。=屋根据勾股定理求出

DFCF_2_7_9_7

DE=yjCE1+CD2=,根据CO〃A”，得出芸=壬，即:-6,求出结果即可.

ADCH二=-

AD3

【详解】解：过点4作AHJ.8C于点“，延长AE>,3c交于点E,如图所示:

A

BHCE

则NA//C=NA/ffi=90。，

\・A8=AC=5,8C=6,

BH=HC=>BC=3,

2

:・AH7AC?-CH?=4,

•:AADB=/CBD+NCED,ZADB=2ZCBD,

/./CBD=/CED,

:.DB=DE,

*//BCD=90。，

JDCLBE,

：.CE=BC=6,

：.EH=CE+CH=9,

VDCLBE,AHLBC,

：.CD//AH,

:・jECD〜EHA,

.CDCE

••=,

AHHE

'：CD//Mi.

.DECE

••~~,

ADCH

2质

即_6，

AD-3

解得：叵

故答案为：江

3

【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，

相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线分线段成比例定理

及相似三角形的判定与性质.

三、解答题

24.（2023・湖南•统考中考真题）在中，N8AC=90。，A£）是斜边3c上的高.

(1)证明：△ABWACBA；

(2)若A3=6,BC=10,求8。的长.

【答案】（I）见解析

【分析】（1）根据三角形高的定义得出Z4D5=90。，根据等角的余角相等，得出NB4）=NC,结合公共

角=即可得证；

（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解.

【详解】（1）证明：1N£nC=90°,A£＞是斜边上的高.

ZADB=90°,ZB+ZC=90°

二ZB+ZBAD=90°,

ZBAD=ZC

又•:ZB=ZB

/.AAB4ACBA,

（2）AAflD^ACBA

.-A-■—B----B-D

又AB=6,BC=\0

.•・皿=四=生上.

CB105

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

25.（2023・湖南•统考中考真题）如图，点8是线段AD上的一点，且C8LBE.已知

AB=S,AC^6,DE=4.

C

（2）求线段8。的长.

【答案】（1）见解析

⑵80=3

【分析】（1）根据题意得出4=N〃=90°,NC+NABC=90。，ZABC+ZEBD=90°,则NC=N0?O,即

可得证；

（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解.

【详解】（1）证明：•••ACLADEOLAD,

ZA=Z£>=90°,ZC+ZABC=90°,

,/CELBE,

：.ZABC+ZEBD=90°,

：.NC=NEBD,

/.LABCSADEB；

（2）•:公ABCS^DEB,

,ABAC

,,---=---,

DEBD

•：AB=8,AC=6,OE=4,

-8_6

・・一=—，

4BD

解得：80=3.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

26.（2023・四川眉山・统考中考真题）如图，YABC。中，点E是AO的中点，连接CE并延长交54的延长线

于点F.

⑴求证：AF=AB\

（2）点G是线段"上一点，满足ZFCG=NFCO,CG交AD于前H,若AG=2,FG=6,求GH的长.

【答案】（1）见解析

呜

【分析】（1）根据平行四边形的性质可得4?〃。，他=8,证明VAEF三V£）EC（ASA）,推出A尸=8,

即可解答；

（2）通过平行四边形的性质证明GC=GF=6,再通过（1）中的结论得到£>C=45=AF=8,最后证明

XAGHs丛DCH,利用对应线段比相等，列方程即可解答.

【详解】（1）证明：四边形A8CD是平行四边形，

：.AB//CD,AB-CD,

:.ZEAF=ZD,

E是AZ）的中点，

AE=DE，

ZAEF=NCED,

/..AEF^DEC（ASA）,

・•・AF=CD,

:.AF=AB^

（2）解：•四边形ABC。是平行四边形，

DC=AB=AF=FG+GA=8,DC//FA,

:.NDCF=NF,/DCG=NCGB,

/FCG=/FCD,

・•.ZF=ZFCG,

:.GC=GF=6,

ZDHC=ZAHG,

・,△AGHs^DCH，

.GHAG

*CH-DC*

^HG=xMCH=CG-GH=6-x,

可得方程—x=52，