苏科版八年级数学上册压轴题攻略专题20用一次函数解决问题压轴题四种模型全攻略(原卷版+解析)

专题20用一次函数解决问题压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一一次函数的应用——分配方案问题】 1【考点二一次函数的应用——最大利润问题】 5【考点三一次函数的应用——行程问题】 8【考点四一次函数的应用——几何问题】 12【过关检测】 15【典型例题】【考点一一次函数的应用——分配方案问题】例题：（2023春·云南临沧·八年级统考期末）为全面推进乡村振兴，某省实行城市援助乡镇的政策该省的A市有吨物资，市有吨物资经过调研发现该省的甲乡需要吨物资，乙乡需要吨物资于是决定由A、两市负责援助甲、乙两乡、已知从A市往甲、乙两乡运送物资的运费分别为元吨、元吨，从市往甲、乙两乡运送物资的运费分别为元吨、元吨．(1)设从A市往甲乡运送吨物资，从A、两市向甲、乙两乡运送物资的总运费为元，求与的函数解析式．(2)请设计运费最低的运送方案，并求出最低运费．【变式训练】1.（2023春·河南郑州·八年级河南省实验中学校考期中）4月23日是“世界读书日”，某书店在这一天举行了购书优惠活动，有两种优惠方案可以选择：方案一：享受当天购书按标价总额8折的普通优惠；方案二：50元购买一张“书香城市纪念卡”，当天凭卡购书，享受标价总额在普通优惠的基础上再打折的优惠．设小明当天购书标价总额为x元，方案一应付元，方案二应付元．(1)当时，请通过计算说明选择哪种购书方案更划算；(2)直接写出与x的函数关系式；(3)小明如何选择购书方案才更划算？2.（2023春·河南南阳·八年级统考阶段练习）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为（元），且；按照方案二所需费用为（元），且．其函数图象如图所示．

(1)求k1和b的值，并说明它们的实际意义；(2)求打折前的每次健身费用和的值；(3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身7次，应选择哪种方案所需费用更少？请说明理由．【考点二一次函数的应用——最大利润问题】例题：（2023春·贵州黔南·八年级统考期末）某地允许市场经营主体在规范有序的条件下，采取“店铺外摆”“露天市场”方式进行销售．个体业主小王响应号召，采取“店铺外摆”方式销售甲、乙两种特价商品，两种商品的进价与售价如表所示：甲商品乙商品进价（元/件）4010售价（元/件）5015小王计划购进甲、乙两种商品共100件进行销售，设小王购进甲商品x件，甲、乙两种商品全部销售完后获得的利润为y元．(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)若购进乙商品的件数不少于甲商品件数的4倍，当购进甲、乙两种商品各多少件时，可使得甲、乙两种商品全部销售完后获得的利润最大？最大利润是多少？【变式训练】1.（2023春·广西南宁·八年级校考期末）小冬在某网店选中，两款玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：款玩偶款玩偶进货价（元/个）2015销售价（元/个）2820(1)第一次小冬用550元购进了，两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个；(2)第二次小冬进货时，网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共45个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？2.（2023·河南洛阳·统考二模）俄乌战争仍在继续，人们对各种军用装备倍感兴趣，某商家购进坦克模型（记作A）和导弹（记作B）两种模型，若购进A种模型10件，B种模型5件，需要1000元；若购进A种模型4件，B种模型3件，需要550元．(1)求购进A，B两种模型每件分别需多少元？(2)若销售每件A种模型可获利润20元．每件B种模型可获利润30元．商店用1万元购进模型，且购进A种模型的数量不超过B种模型数量的8倍，设总盈利为W元，购买B种模型b件，请求出W关于b的函数关系式，并求出当b为何值时，销售利润最大，并求出最大值．【考点三一次函数的应用——行程问题】例题：（2023春·山东淄博·七年级统考期中）甲、乙两地相距千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发开往乙地．如图，线段表示货车离甲地距离千米与时间小时之间的函数关系；折线表示轿车离甲地距离千米与小时之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：

(1)求线段对应的函数解析式．(2)货车从甲地出发后多长时间被轿车追上？此时离甲地的距离是多少千米？(3)轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米．【变式训练】1.（2023·河北沧州·校考模拟预测）航模兴趣小组在操场上进行航模试验，甲型航模从距离地面20米处出发，以a米/分的速度匀速上升，乙型航模从距离地面50米处同时出发，以15米/分的速度匀速上升，经过6分钟，两架航模距离地面高度都是b米，两架航模距离地面的高度y米与时间x分钟的关系如图．两架航模都飞行了20分钟．

(1)直接写出a、b的值；(2)求出两架航模距离地面高度y甲、y乙（米）与飞行时间x（分钟）的函数关系式；(3)直接写出飞行多长时间，两架航模飞行高度相差25米？2.（2023春·江苏淮安·九年级校考期中）如图1，甲、乙两车分别从相距的、两地相向而行，乙车比甲车先出发小时，并以各自的速度匀速行驶，甲车到达地后因有事立刻按原路原速返回地．乙车从地直达地，两车同时到达地．甲、乙两车距各自出发地的路程（千米）与甲车出发所用的时间（小时）的关系如图，结合图像信息解答下列问题：

(1)乙车的速度是千米/时，乙车行驶小时到达地；(2)求甲车从地按原路原速返回地的过程中，甲车距它出发地的路程与它出发的时间的函数关系式；(3)求甲车出发多长时间两车相距千米？【考点四一次函数的应用——几何问题】例题：（2023春·河南南阳·八年级校考阶段练习）如图，正方形的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（

）A．B． C． D．【变式训练】1.（2021春·福建漳州·七年级福建省漳州第一中学校考期中）如图，已知动点P从B点出发，以每秒的速度在图①的边（相邻两边互相垂直）上按的路线移动，相应的的面积与点P的运动时间的图象如图②所示，且．当时，．

2.（2023春·安徽宿州·七年级校考期中）如图，在长方形中，，，点E为边上一动点，连接，随着点E的运动，的面积也发生变化．

(1)写出的面积y与的长之间的关系式；(2)当时，求y的值．【过关检测】一、单选题1．（2023秋·安徽亳州·八年级校考阶段练习）甲，乙两车在笔直的公路上行驶，乙车从之间的地出发，到达终点地停止行驶，甲车从起点A地与乙车同时出发到达地休息半小时后立即以另一速度返回地并停止行驶，在行驶过程中，两车均保持匀速，甲、乙两车相距的路程千米与乙车行驶的时间小时之间的关系如图所示，下列说法中正确的有（

）

①甲车行驶的速度为每小时千米；②两地之间的距离为千米；③甲车返回地的速度为每小时千米；④甲车返回地比乙车到地时间晚小时．A．个 B．个C．个 D．个2．（2023·浙江·模拟预测）如图1所示，在直角梯形中，，．动点从点出发，沿梯形的边由运动．设点运动的路程为，的面积为．把看作的函数，函数的图象如图2所示，则面积为(

)

A．10 B．16 C．18 D．203．（2023春·八年级课时练习）如图表示的是某公司一种产品30天的销售情况，其中图①是该产品日销售量y（件）与日期t（日）的函数图象，图②是该产品单件的销售利润w（元）与日期：t（日）的函数图象．下列结论错误的是（）A．第25天的销售量为200件 B．第6天销售一件产品的利润是19元C．第20天和第30天的日销售利润相等 D．第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润二、填空题4．（2023秋·山东青岛·八年级统考期末）马家沟芹菜是青岛的名优农产品，某公司零售一箱该产品的利润是10元，批发一箱该产品的利润是6元．经营性质规定，该公司零售的数量不能多于300箱．现该公司出售800箱这种产品，最大利润是元．5．（2023秋·安徽蚌埠·八年级统考阶段练习）某公司新产品上市天全部售完，图①表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图②表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是元；已知当时，单件产品的销售利润w与t之间的函数关系式为，则第天的日销售利润为元．

6．（2023·北京·九年级专题练习）甲地组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种物资共100吨到乙地．每辆汽车可装运物资的运载量和每吨所需运费如下表．物资种类食品药品生活用品每辆汽车运载量/吨654每吨所需运费/元120160100如果20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满，每种物资至少装运1辆车，那么总运费最少的车辆安排方案为：装运食品、药品、生活用品的汽车辆数依次是，此时总运费为元．三、应用题7．（2023秋·安徽淮北·八年级校联考阶段练习）如图，在长方形中，，，点P从点B出发，以的速度沿着B→C→D→A的方向移动到点A，设移动过程中三角形的面积为S（），移动时间为t（s）．

(1)写出S与t之间的函数关系式；(2)①当时，求三角形的面积；②当三角形的面积为时，求t的值．8．（2023秋·山东枣庄·八年级滕州育才中学校考期中）合肥某校有3名教师准备带领部分学生（不少于3人）参观野生动物园．经洽谈，野生动物园的门票价格为教师票每张36元，学生票半价，且有两种购票优惠方案．方案一：购买一张教师票赠送一张学生票；方案二，按全部师生门票总价的80%付款，只能选用其中一种方案购买．假如学生人数为x（人），师生门票总金额为y（元）．(1)分别写出两种优惠方案中y与x的函数表达式；(2)请通过计算回答，选择哪种购票方案师生门票总费用较少；(3)若选择最优惠的方案后，共付款288元，则学生有多少人？9．（2023春·河南新乡·九年级校联考开学考试）河南某景区为了发展旅游，吸引游客，推出了两种优惠方案（设购买门票的张数为x张，费用为y元）方案一：充值元购买年卡，每张门票元．方案二：每张门票的单价按图中的折线所表示的函数关系确定．某单位准备组织员工到该景区旅游．

(1)当购买张门票时，按方案一和方案二分别应花费多少钱？(2)求方案二中y关于x的函数关系式，并写出折线所表示的实际意义．(3)该单位选择哪种购买方案更划算？10．（2023秋·山东济南·八年级山东省济南稼轩学校校考期中）在、两地之间有服务区，甲车由地驶往服务区，乙车由地驶往地，两车同时出发，匀速行驶，如图是甲、乙两车分别距离服务区的路程、（单位：千米）与乙车行驶时间（单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题：

(1)甲车的速度是________千米/时；(2)求图象中线段的函数解析式；(3)当两车距服务区的路程之和是千米时，直接写出此时乙车的行驶时间．11．（2023春·吉林白城·八年级校联考期末）如图，表示振华商场一天的某型电脑销售额与销售量的关系，表示该商场一天的销售成本与电脑销售量的关系．观察图象，解决以下问题：(1)当销售量时，销售额＝______万元，销售成本＝______万元；(2)一天销售______台时，销售额等于销售成本；(3)分别求出和对应的函数表达式；(4)直接写出利润w与销售量x之间的函数表达式，并求出当销售量x是多少时，每天的利润达到5万元？12．（2023春·黑龙江绥化·九年级统考期末）某学生用品商店，计划购进A、B两种背包共80件进行销售，购货资金不少于2090元，但不超过2096元，两种背包的成本和售价如下表：种类成本（元/件）售价（元/件）A2530B2835假设所购两种背包可全部售出，请回答下列问题：(1)该商店对这两种背包有哪几种进货方案？(2)该商店如何进货获得利润最大？(3)根据市场调查，每件B种背包的市价不会改变，每件A种背包的售价将会提高a元（a>0），该商店又将如何进货获得的利润最大？13．（2023秋·安徽安庆·八年级校联考阶段练习）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3km～10km的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费y（元）与骑行时间x（min）之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应y1，B品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题：

(1)写出图中函数，的图象交点P表示的实际意义(2)求，，关于x的函数解析式(3)①如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为9km，那么小明选择___________品牌共享电动车更省钱．（填“A”或“B”）②当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差3元？14．（2023秋·湖北·九年级校考周测）在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为m元/支，肉串的成本为n元/支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用）：次数数量（支）总成本（元）海鲜串肉串第一次3000400017000第二次4000300018000针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元．(1)求m、n的值；(2)五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串x支，店主获得海鲜串的总利润为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串降价a（）元，但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润，求a的最大值．

专题20用一次函数解决问题压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一一次函数的应用——分配方案问题】 1【考点二一次函数的应用——最大利润问题】 5【考点三一次函数的应用——行程问题】 8【考点四一次函数的应用——几何问题】 12【过关检测】 15【典型例题】【考点一一次函数的应用——分配方案问题】例题：（2023春·云南临沧·八年级统考期末）为全面推进乡村振兴，某省实行城市援助乡镇的政策该省的A市有吨物资，市有吨物资经过调研发现该省的甲乡需要吨物资，乙乡需要吨物资于是决定由A、两市负责援助甲、乙两乡、已知从A市往甲、乙两乡运送物资的运费分别为元吨、元吨，从市往甲、乙两乡运送物资的运费分别为元吨、元吨．(1)设从A市往甲乡运送吨物资，从A、两市向甲、乙两乡运送物资的总运费为元，求与的函数解析式．(2)请设计运费最低的运送方案，并求出最低运费．【答案】(1)；(2)见解析【分析】（1）根据市的吨物资运往甲乡吨，运往乙乡吨，市的吨物资运往甲乡吨，运往乙乡吨的费用求和，即可确定与的函数关系式；（2）根据一次函数的性质即可确定运费最低的运送方案和最低运费．【详解】（1）解：由题意可得，，，，，，的取值范围是，与的函数解析式为；（2），随着增大而增大，当时，取得最小值，最小值为元，此时从市往甲乡运送吨物资，从市往乙乡运送吨物资，从市往甲乡运送吨物资物资，从市往乙乡运送吨物资，答：运费最低的运送方案是：从市往甲乡运送吨物资，从市往乙乡运送吨物资，从市往甲乡运送吨物资物资，从市往乙乡运送吨物资，最低运费为元．【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意建立一次函数关系式是解题的关键．【变式训练】1.（2023春·河南郑州·八年级河南省实验中学校考期中）4月23日是“世界读书日”，某书店在这一天举行了购书优惠活动，有两种优惠方案可以选择：方案一：享受当天购书按标价总额8折的普通优惠；方案二：50元购买一张“书香城市纪念卡”，当天凭卡购书，享受标价总额在普通优惠的基础上再打折的优惠．设小明当天购书标价总额为x元，方案一应付元，方案二应付元．(1)当时，请通过计算说明选择哪种购书方案更划算；(2)直接写出与x的函数关系式；(3)小明如何选择购书方案才更划算？【答案】(1)小明用方案一购书更划算；计算见解析；(2)；(3)见解析．【分析】（1）当时，根据方案一和方案二计算出实际花费，然后比较即可；（2）根据题意给出的等量关系即可求出答案；（3）根据y关于x的函数解析式，求出两种方案所需费用相同时的书本数量，从而可判断哪家书店省钱．【详解】（1）解：当时，方案一：（元），方案二：（元），∵，∴小明用方案一购书更划算；（2）解：由题意得：方案一：；方案二：；∴与x的函数关系式为；与x的函数关系式为；（3）解：当时，即，解得；当时，即，解得；当时，即，解得．∴当时，方案一更划算，当时，方案二更划算，当时，方案一和方案二一样划算．【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．2.（2023春·河南南阳·八年级统考阶段练习）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为（元），且；按照方案二所需费用为（元），且．其函数图象如图所示．

(1)求k1和b的值，并说明它们的实际意义；(2)求打折前的每次健身费用和的值；(3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身7次，应选择哪种方案所需费用更少？请说明理由．【答案】(1)k1的实际意义是：打六折后的每次健身费用为15元．b的实际意义是：每张学生暑期专享卡的价格为30元(2)打折前的每次健身费用为25（元），(3)选择方案一所需费用更少．理由见解析【分析】(1)直接根据函数的图象结合实际意义进行解答；(2)根据方案一打折后每次健身费用是15元，因为是打六折，故可求打折前的费用；然后根据方案二再打八折即可求得k2；(3)根据（1）（2）即可得到，当时，解得：．即可得到答案．【详解】（1）解：的图象过点和点，∴∴．k1的实际意义是：打六折后的每次健身费用为15元．b的实际意义是：每张学生暑期专享卡的价格为30元．（2）打折前的每次健身费用为（元）．（3）选择方案一所需费用更少．理由如下：由（1）知，∴．由（2）知，∴．当时，，解得：．结合函数图象可知，小华暑期前往该俱乐部健身7次，选择方案一所需费用更少．【点睛】本题考查了一次函数的应用，看懂图象，理解题意，理解两种优惠方案之间的关键是解题的关键．【考点二一次函数的应用——最大利润问题】例题：（2023春·贵州黔南·八年级统考期末）某地允许市场经营主体在规范有序的条件下，采取“店铺外摆”“露天市场”方式进行销售．个体业主小王响应号召，采取“店铺外摆”方式销售甲、乙两种特价商品，两种商品的进价与售价如表所示：甲商品乙商品进价（元/件）4010售价（元/件）5015小王计划购进甲、乙两种商品共100件进行销售，设小王购进甲商品x件，甲、乙两种商品全部销售完后获得的利润为y元．(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)若购进乙商品的件数不少于甲商品件数的4倍，当购进甲、乙两种商品各多少件时，可使得甲、乙两种商品全部销售完后获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)(2)当购进甲种商品20件，乙种商品70件时，可使得甲、乙商品全部销售完后获得的利润最大为600元【分析】(1)设购进甲商品x件，则购进乙商品件，根据题意即可列出y与x之间的函数关系式；(2)根据购进乙商品的件数不少于甲商品件数的4倍，可得当时，y取得最大值，即可求解．【详解】（1）解：由题意可得：，∴y与x之间的函数关系式为；（2）解：由题意，得，解得．∵，∴，∴y随x增大而增大，∴当时，y的值最大，，此时，答：当购进甲种商品20件，乙种商品70件时，可使得甲、乙商品全部销售完后获得的利润最大为600元．【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键．【变式训练】1.（2023春·广西南宁·八年级校考期末）小冬在某网店选中，两款玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：款玩偶款玩偶进货价（元/个）2015销售价（元/个）2820(1)第一次小冬用550元购进了，两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个；(2)第二次小冬进货时，网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共45个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？【答案】(1)款玩偶购进20个，款玩偶购进10个(2)按照款玩偶购进15个、款玩偶购进30个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是270元【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可；（2）根据题意，可以写出利润与购进款玩偶数量的函数关系式，再根据网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半，可以得到款玩偶数量的取值范围，然后根据一次函数的增减性分析，即可得到答案．【详解】（1）解：设款玩偶购进个，款玩偶购进个，由题意得：，解得：，（个），答：款玩偶购进20个，款玩偶购进10个；（2）解：设款玩偶购进个，款玩偶购进个，获利元，由题意得：，款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．，解得，，由，可知随的增大而增大，当时，（元），款玩偶为：（个），答：按照款玩偶购进15个、款玩偶购进30个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是270元．【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值．2.（2023·河南洛阳·统考二模）俄乌战争仍在继续，人们对各种军用装备倍感兴趣，某商家购进坦克模型（记作A）和导弹（记作B）两种模型，若购进A种模型10件，B种模型5件，需要1000元；若购进A种模型4件，B种模型3件，需要550元．(1)求购进A，B两种模型每件分别需多少元？(2)若销售每件A种模型可获利润20元．每件B种模型可获利润30元．商店用1万元购进模型，且购进A种模型的数量不超过B种模型数量的8倍，设总盈利为W元，购买B种模型b件，请求出W关于b的函数关系式，并求出当b为何值时，销售利润最大，并求出最大值．【答案】(1)A、B两种模型每件分别需要25元，150元(2)，购进A模型226件，B模型29件利润最大为5390元【分析】（1）设购进A，B两种模型每件分别需要x元，y元，列方程组求解即可．（2）设购买A种模型a件，购买B种模型b件，由题意列出方程组，求出b的范围，再列出W与b的函数关系式，求最值即可．【详解】（1）设购进A、B两种模型每件分别需要x元，y元，由题意得：解得答：A、B两种模型每件分别需要25元，150元．（2）设购买A种模型a件，B种模型b件，，解得则购买A种模型为件，即件，则，即∵，∴当b取最小值时总利润最大，由（2）得，b为整数，∴当时，，∴购进A模型226件，B模型29件利润最大为5390元【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出方程组，函数关系式，不等式组是解题的关键．【考点三一次函数的应用——行程问题】例题：（2023春·山东淄博·七年级统考期中）甲、乙两地相距千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发开往乙地．如图，线段表示货车离甲地距离千米与时间小时之间的函数关系；折线表示轿车离甲地距离千米与小时之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：

(1)求线段对应的函数解析式．(2)货车从甲地出发后多长时间被轿车追上？此时离甲地的距离是多少千米？(3)轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米．【答案】(1)线段对应的函数解析式为(2)货车从甲地出发后小时被轿车追上，此时离甲地的距离是千米(3)轿车到达乙地后，货车距乙地千米【分析】（1）设线段对应的函数解析式为，由待定系数法求出其解即可；（2）设的解析式为，由待定系数法求出解析式，由一次函数与一元一次方程的关系建立方程求出其解即可．（3）先由函数图象求出货车在轿车到达乙地是时需要的时间，由路程速度时间就可以求出结论．【详解】（1）解：设线段对应的函数解析式为，由题意，得，解得：．则．答：线段对应的函数解析式为；（2）设的解析式为，由题意，得，解得：，．当时，，解得：．离甲地的距离是：千米．答：货车从甲地出发后小时被轿车追上，此时离甲地的距离是千米；（3）由题意，得千米．答：轿车到达乙地后，货车距乙地千米．【点睛】本题考查了一次函数的图象的性质的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键．【变式训练】1.（2023·河北沧州·校考模拟预测）航模兴趣小组在操场上进行航模试验，甲型航模从距离地面20米处出发，以a米/分的速度匀速上升，乙型航模从距离地面50米处同时出发，以15米/分的速度匀速上升，经过6分钟，两架航模距离地面高度都是b米，两架航模距离地面的高度y米与时间x分钟的关系如图．两架航模都飞行了20分钟．

(1)直接写出a、b的值；(2)求出两架航模距离地面高度y甲、y乙（米）与飞行时间x（分钟）的函数关系式；(3)直接写出飞行多长时间，两架航模飞行高度相差25米？【答案】(1)，；(2)，；(3)飞行1分钟或者11分钟时，两架航模飞行高度相差25米【分析】（1）利用速度、路程、时间的关系直接计算即可．（2）根据一次函数中一次项系数和常数项的实际意义直接列函数关系式即可．（3）令，解方程得到的值，即可得到答案．【详解】（1）6分钟时，乙型航模距离地面高度为：（米，．．，．（2）由题意可得：，设，把代入得，，解得，．（3），令，则，或，解得，或．答：飞行1分钟或者11分钟时，两架航模飞行高度相差25米．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，理解函数图象表示的意义是解题的关键．2.（2023春·江苏淮安·九年级校考期中）如图1，甲、乙两车分别从相距的、两地相向而行，乙车比甲车先出发小时，并以各自的速度匀速行驶，甲车到达地后因有事立刻按原路原速返回地．乙车从地直达地，两车同时到达地．甲、乙两车距各自出发地的路程（千米）与甲车出发所用的时间（小时）的关系如图，结合图像信息解答下列问题：

(1)乙车的速度是千米/时，乙车行驶小时到达地；(2)求甲车从地按原路原速返回地的过程中，甲车距它出发地的路程与它出发的时间的函数关系式；(3)求甲车出发多长时间两车相距千米？【答案】(1)，(2)(3)甲车出发经过，，，两车相距千米．【分析】（1）结合题意，利用速度=路程÷时间，可得乙的速度、行驶时间；（2）找到甲车到达地和返回地时与的对应值，利用待定系数法可求出函数解析式；（3）分三种情况，甲和乙相距前，甲和乙相距后，甲返回A地时，根据甲、乙两车相距千米分情况讨论即可求解．【详解】（1）∵乙车比甲车先出发小时，由图象可知乙行驶了千米，∴乙车速度为：千米/时，乙车行驶全程的时间（小时）；故答案为：，；（2）根据题意可知甲从出发到返回地需小时，∵甲车到达地后因立即按原路原速返回地，∴结合函数图象可知，当时，；当时，；设甲车从地按原路原速返回地时，即，甲车距它出发地的路程与它出发的时间的函数关系式为：，将函数关系式得：，解得：，故甲车从地按原路原速返回地时，甲车距它出发地的路程与它出发的时间的函数关系式为：；（3）由题意可知甲车的速度为：（千米/时），设甲出发经过小时两车相距60千米，有以下三种情况：①，解得②，解得③，解得综上，甲车出发经过，，，两车相距千米，【点睛】本题主要考查了一次函数的应用问题，解答此题的关键是要理解分段函数图象所表示的实际意义，准确找到等量关系．【考点四一次函数的应用——几何问题】例题：（2023春·河南南阳·八年级校考阶段练习）如图，正方形的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（

）A．B． C． D．【答案】B【分析】根据动点从点出发，首先向点运动，此时随的增加而增大，当点在上运动时，不变，当点在上运动时，随着的增大而减小，据此作出选择即可．【详解】解：当点由点向点运动，即时，；当点在上运动，即时，，是一个定值；当点在上运动，即时，随的增大而减小．故选：B．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现随的变化而变化的趋势．【变式训练】1.（2021春·福建漳州·七年级福建省漳州第一中学校考期中）如图，已知动点P从B点出发，以每秒的速度在图①的边（相邻两边互相垂直）上按的路线移动，相应的的面积与点P的运动时间的图象如图②所示，且．当时，．

【答案】或【分析】从图象上分析可知，由于速度是，图中的过程为点在线段上，故，为，为，为，10到为，，，根据的面积为，底边可知高为，也就是点距离的距离是，从数据上可知，在线段上有一个符合条件的点，在线段上有一个符合条件的点，求出对应的值．【详解】解：由图可知，点的运动速度为，，，，，，，，点到的距离为，故可知在线段上和线段上各有一个点满足条件，

当在线段上时：，，，当在线段上时：，，，故答案为：或．【点睛】本题考查了动点问题的图象，一次函数和动点问题的应用，三角形的面积公式．2.（2023春·安徽宿州·七年级校考期中）如图，在长方形中，，，点E为边上一动点，连接，随着点E的运动，的面积也发生变化．

(1)写出的面积y与的长之间的关系式；(2)当时，求y的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）可求，由即可求解；（2）将代入解析式即可求解．【详解】（1）解：由题意得：，．答：的面积y与的长之间的关系式为．（2）解：当时，，答：当时，．【点睛】本题主要考查了一次函数在动点问题中的应用，掌握“化动为静”的方法解决动点问题的方法是解题的关键．【过关检测】一、单选题1．（2023秋·安徽亳州·八年级校考阶段练习）甲，乙两车在笔直的公路上行驶，乙车从之间的地出发，到达终点地停止行驶，甲车从起点A地与乙车同时出发到达地休息半小时后立即以另一速度返回地并停止行驶，在行驶过程中，两车均保持匀速，甲、乙两车相距的路程千米与乙车行驶的时间小时之间的关系如图所示，下列说法中正确的有（

）

①甲车行驶的速度为每小时千米；②两地之间的距离为千米；③甲车返回地的速度为每小时千米；④甲车返回地比乙车到地时间晚小时．A．个 B．个C．个 D．个【答案】B【分析】根据第三段函数图象甲车到达B地后休息半小时，求出乙车的速度，然后根据第一段函数图象，求出甲去B地速度；求出甲车从A到B所用的时间，即可求出的长度；根据返回时，两车在小时内行驶的路程为60千米，算出甲返回C的速度，求出间的长度，即可求出返回C地时甲用的时间，算出乙到达目的地B比甲到达B地多用的时间，即可求出甲车返回地比乙车到地时间晚3小时．【详解】解：乙车速度（千米/时），甲车去B地的速度为：（千米/时），甲车去B地时，两车速度差，（千米/时），第一次相遇后甲车到达B地时间，（小时），∴甲车从A地到B地所用时间为（小时），∴两地之间的距离为（千米），故②正确；甲车返回时速度，（千米/时），故①错误，故③正确；∴A、B两地距离420千米，∴B、C两地相距，（千米），甲车返回C地用时，（小时），乙车比甲车晚到达B地时间，（小时），甲车比乙车晚到达目的地时间，（小时），故④错误；综上分析可知，正确的有2个，故选：B．【点睛】本题主要考查了从函数图象中获取信息，解决行程问题，解决问题的关键是熟练掌握甲、乙两车行驶路程与速度、时间的关系．2．（2023·浙江·模拟预测）如图1所示，在直角梯形中，，．动点从点出发，沿梯形的边由运动．设点运动的路程为，的面积为．把看作的函数，函数的图象如图2所示，则面积为(

)

A．10 B．16 C．18 D．20【答案】A【分析】由题意知：，进而根据三角形的面积公式，即可求解．【详解】解：根据图可知当点在上运动时，的面积不变，与面积相等；且不变的面积是在，之间；所以在直角梯形中，，．连接，∴面积为故选：A．【点睛】考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是读懂图意，得到相应的直角梯形中各边之间的关系．此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．3．（2023春·八年级课时练习）如图表示的是某公司一种产品30天的销售情况，其中图①是该产品日销售量y（件）与日期t（日）的函数图象，图②是该产品单件的销售利润w（元）与日期：t（日）的函数图象．下列结论错误的是（）A．第25天的销售量为200件 B．第6天销售一件产品的利润是19元C．第20天和第30天的日销售利润相等 D．第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润【答案】C【分析】根据函数图象分别求出当，一件产品的销售利润w（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为，当时，产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为，根据日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润，即可进行判断．【详解】A、根据图①可得第25天的销售量为200件，故此选项正确，不符合题意；B、设当，一件产品的销售利润w（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为，把代入得：，解得：，∴，当时，，故此选项正确，不符合题意；C、当时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为，把代入得：，解得：，∴，当时，日销售利润为（元）；当时，日销售利润为（元），∴第20天和第30天销售利润不相等，故此选项错误，符合题意；D、当时，日销售利润为（元），当时，日销售利润为（元）．∴第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润，故此选项正确，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求函数解析式．二、填空题4．（2023秋·山东青岛·八年级统考期末）马家沟芹菜是青岛的名优农产品，某公司零售一箱该产品的利润是10元，批发一箱该产品的利润是6元．经营性质规定，该公司零售的数量不能多于300箱．现该公司出售800箱这种产品，最大利润是元．【答案】6000【分析】设该公司当月零售这种农产品m箱，则批发这种农产品箱，该公司获得利润为y元，进而得到y关于m的函数关系式，利用一次函数的性质，即可求解．【详解】解：设该公司当月零售这种农产品m箱，则批发这种农产品箱，依题意得：，设该公司获得利润为y元，依题意得：，即，∵，y随着m的增大而增大，∴当时，y取最大值，此时（元），答：该公司要经营800箱这种农产品，最大利润是6000元．故答案为：6000．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意列出函数表达式，熟练掌握函数性质根据自变量取值范围确定函数值是解决问题的关键．5．（2023秋·安徽蚌埠·八年级统考阶段练习）某公司新产品上市天全部售完，图①表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图②表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是元；已知当时，单件产品的销售利润w与t之间的函数关系式为，则第天的日销售利润为元．

【答案】【分析】设日销售量y与上市时间t之间的函数关系式为，把代入得，解得，则，再求出的b值，然后把代入算得，根据日销售利润＝单件产品的利润×销售量进行计算即可．【详解】解：由题图①知，当天数天时，市场日销售量达到最大件，由题图②知，当天数天时，每件产品销售利润达到最大元，所以当天数天时，市场的日销售利润最大，最大利润为元；设日销售量y与上市时间t之间的函数关系式为，把代入得，解得，∴日销售量y与上市时间t之间的函数关系式为，将点代人，解得，所以当时，单件产品的销售利润w与t之间的函数关系式为，当时，，将时，∴此时日销售利润为（元）．故答案为：，．【点睛】本题考查一次函数的应用，关键是读懂图中信息，利用函数的性质进行解答．6．（2023·北京·九年级专题练习）甲地组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种物资共100吨到乙地．每辆汽车可装运物资的运载量和每吨所需运费如下表．物资种类食品药品生活用品每辆汽车运载量/吨654每吨所需运费/元120160100如果20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满，每种物资至少装运1辆车，那么总运费最少的车辆安排方案为：装运食品、药品、生活用品的汽车辆数依次是，此时总运费为元．【答案】【分析】设辆汽车装运食品，辆汽车装运药品，则装运生活用品的车辆数为，根据三种物资共100吨列出等式，求出，再根据每种物资至少装运1辆车，求出的取值范围，最后列出总费用与的函数关系式，利用函数的性质即可解决问题．【详解】解：设辆汽车装运食品，辆汽车装运药品，则装运生活用品的车辆数为，由题意，得：，∴．∴．∵每种物资至少装运1辆车，∴．解得：，设总费用为，则，∵，∴随的增大而减小．∵，且为整数，∴当时，总费最少，最少费用为元．此时．故答案为：；．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，用两个未知数表示出运送生活用品的车辆数是列出方程的关键，也是解决本题的突破点，利用一次函数的增减性求出最小值是本题的难点．三、应用题7．（2023秋·安徽淮北·八年级校联考阶段练习）如图，在长方形中，，，点P从点B出发，以的速度沿着B→C→D→A的方向移动到点A，设移动过程中三角形的面积为S（），移动时间为t（s）．

(1)写出S与t之间的函数关系式；(2)①当时，求三角形的面积；②当三角形的面积为时，求t的值．【答案】(1)(2)①；②或【分析】（1）根据题意可分当点P在上，当点P在上，当点P在上，然后分别求出函数解析式即可；（2）①由（1）可进行求解；②根据（1）中函数解析式，然后把三角形的面积为代入进行求解即可．【详解】（1）解：由题意可得：①当点P在上，即，∴；②当点P在上，即，此时三角形的面积为长方形面积的一半，即为；③当点P在上，即，此时，∴；综上所述：S与t之间的函数关系式为；（2）解：①当时，则，∴；②由（1）可知：当三角形的面积为时，则有：或，∴或．【点睛】本题主要是考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键．8．（2023秋·山东枣庄·八年级滕州育才中学校考期中）合肥某校有3名教师准备带领部分学生（不少于3人）参观野生动物园．经洽谈，野生动物园的门票价格为教师票每张36元，学生票半价，且有两种购票优惠方案．方案一：购买一张教师票赠送一张学生票；方案二，按全部师生门票总价的80%付款，只能选用其中一种方案购买．假如学生人数为x（人），师生门票总金额为y（元）．(1)分别写出两种优惠方案中y与x的函数表达式；(2)请通过计算回答，选择哪种购票方案师生门票总费用较少；(3)若选择最优惠的方案后，共付款288元，则学生有多少人？【答案】(1)方案一：；方案二：(2)当时，两种方案一样多；当时，方案一更优惠；当时，方案二更优惠(3)学生人数为14人【分析】（1）根据题意可直接进行求解；（2）由（1）中函数关系式及一次函数的性质可进行求解；（3）由（2）可进行求解．【详解】（1）解：方案一：；方案二：；（2）解：由（1）可知：当两种方案的费用一样多时，则有：，解得：，∴当时，两种方案一样多；当时，方案一更优惠；当时，方案二更优惠；（3）解：由（2）可知：当学生人数为9人时，方案一和方案二的费用一样多，费用即为（元），∵，∴应选择方案二更优惠，∴，解得：；答：学生人数为14人．【点睛】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．9．（2023春·河南新乡·九年级校联考开学考试）河南某景区为了发展旅游，吸引游客，推出了两种优惠方案（设购买门票的张数为x张，费用为y元）方案一：充值元购买年卡，每张门票元．方案二：每张门票的单价按图中的折线所表示的函数关系确定．某单位准备组织员工到该景区旅游．

(1)当购买张门票时，按方案一和方案二分别应花费多少钱？(2)求方案二中y关于x的函数关系式，并写出折线所表示的实际意义．(3)该单位选择哪种购买方案更划算？【答案】(1)按方案一应花费元；按方案二应花费1500元(2)；折线所表示的实际意义见解析(3)见解析【分析】（1）方案一：用每张门票的费用乘以购买的数量再加上年卡的费用计算即可，方案二：根据图象作答即可；（2）当时，设；当时，设．由待定系数法即可求解；（3）分类讨论当和的情况，即可求解．【详解】（1）解：当购买15张门票时，按方案一应花费（元）；按方案二应花费：1500元．（2）解：当时，设．将代入，得．解得．∴．当时，设．将，代入，得，解得．∴．∴方案二中y关于x的函数关系式为折线所表示的实际意义为若购买门票的张数不大于15时，则每张的价格是100元；若购买门票的张数大于15时，则每张的价格是90元．（3）解：方案一中:．当时，．∴选择方案二划算．当时，令，解得．∴时，选择方案二更划算．令，解得．∴时，选择两种购买方案一样划算．令，解得．∴时，选择方案一更划算．∴当购买门票张数时，该单位选择购买方案二更划算；当购买门票张数时，该单位选择两种购买方案一样划算；当购买门票张数时，该单位选择购买方案一更划算．【点睛】本题考查了一次函数的实际应用．建立实际问题与函数的联系是解题关键．10．（2023秋·山东济南·八年级山东省济南稼轩学校校考期中）在、两地之间有服务区，甲车由地驶往服务区，乙车由地驶往地，两车同时出发，匀速行驶，如图是甲、乙两车分别距离服务区的路程、（单位：千米）与乙车行驶时间（单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题：

(1)甲车的速度是________千米/时；(2)求图象中线段的函数解析式；(3)当两车距服务区的路程之和是千米时，直接写出此时乙车的行驶时间．【答案】(1)(2)(3)或小时【分析】（1）根据函数图象，结合路程除以速度，即可求解；（2）先求得乙车的速度，进而得出，待定系数求得解析式，即可求解；（3）分别求得各段解析式，根据题意，列出一元一次方程，解方程，即可求解．【详解】（1）解：依题意，千米/时；故答案为：．（2）解：乙车的速度为千米/时；∴设直线的解析式为∴解得：∴（3）解：依题意，设乙车的行驶小时后，两车距服务区的路程之和是千米，当甲乙未相遇时，解得：当乙经过服务区，（舍）当甲乙相遇之后，答：乙车的行驶或小时后两车距服务区的路程之和是千米．【点睛】本题考查了一次函数的应用，数形结合是解题的关键．11．（2023春·吉林白城·八年级校联考期末）如图，表示振华商场一天的某型电脑销售额与销售量的关系，表示该商场一天的销售成本与电脑销售量的关系．观察图象，解决以下问题：(1)当销售量时，销售额＝______万元，销售成本＝______万元；(2)一天销售______台时，销售额等于销售成本；(3)分别求出和对应的函数表达式；(4)直接写出利润w与销售量x之间的函数表达式，并求出当销售量x是多少时，每天的利润达到5万元？【答案】(1)2；3(2)4(3)，(4)，当销售量x是14台时，每天的利润达到5万元【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以解答本题；（2）根据函数图象中的数据，可以写出一天销售多少台时，销售额等于销售成本；（3）根据函数图象中的数据，可以求出和对应的函数表达式；（4）根据题意和（3）中的结果，可以写出利润与销售量之间的函数表达式，并求出当销售量是多少时，每天的利润达到5万元．【详解】（1）解：由图象可以得出：当销售量时，销售额=2万元，销售成本=3万元；故答案为：2，3；（2）解：由图象可以得出：一天销售4台时，销售额等于销售成本；故答案为：4；（3）解：设的对应表达式为将代入，得，解得，即对应的表达式为，设对应的表达式为，将，分别代入，，解得．即对应的表达式为．（4）解：由题意可得，利润与销售量之间的函数，表达式为．当时，解得，即当销售量是14台时，每天的利润达到5万元．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．12．（2023春·黑龙江绥化·九年级统考期末）某学生用品商店，计划购进A、B两种背包共80件进行销售，购货资金不少于2090元，但不超过2096元，两种背包的成本和售价如下表：种类成本（元/件）售价（元/件）A2530B2835假设所购两种背包可全部售出，请回答下列问题：