备战2025年高考数学压轴题训练专题07一元函数的导数及其应用(利用导函数研究不等式恒成立问题)(全题型压轴题)(学生版+解析)

专题07一元函数的导数及其应用（利用导函数研究不等式恒成立问题）目录TOC\o"1-1"\h\u一、已知函数在区间上单调 1二、变量分离法 2三、最值法 4四、变更主元法 5五、双变量问题型 6一、已知函数在区间上单调1．（23-24高二下·福建宁德·阶段练习）函数(1)当时，求的单调区间；(2)若在上为单调函数，求的取值范围2．（23-24高二下·四川自贡·期末）已知函数．(1)若的单调递减区间为，求实数的值；(2)若函数在单调递减，求实数的取值范围．3．（23-24高二·全国·课后作业）已知函数，，．(1)若函数在上单调递减，求实数a的取值范围；(2)若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围．4．（23-24高二·全国·单元测试）已知函数（为自然数对数的底数）.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在上单调递增，求的取值范围.二、变量分离法1．（23-24高二下·天津静海·阶段练习）已知，(1)若对于任意的，都有成立，求的取值范围；(2)若存在，使得成立，求的取值范围；(3)若函数，若存在，使得成立，求的取值范围.2．（2024·安徽池州·模拟预测）设函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，若恒成立，求实数的取值范围．3．（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知函数．(1)求的最小值；(2)若对所有都有，求实数的取值范围；4．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数．(1)若，求的单调区间；(2)讨论函数的单调性；(3)若函数在处取得极值，且对，恒成立，求实数的取值范围．4．（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数的最小值为，不等式在上恒成立，求实数的取值范围．四、变更主元法1．（2024高三·全国·专题练习）已知二次函数（，为实数）(1)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围；(2)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围；2．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知(1)在上恒成立，求x的范围．3．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）已知函数.(1)，不等式恒成立，求实数的范围；4．（2023高一·上海·专题练习）已知(1)在上恒成立，求的范围．五、双变量问题型1．（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）已知函数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)（），若对任意，均存在，使得，求实数a的取值范围．2．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函数．(1)当时，求函数的最小值；(2)若，且对，都，使得成立，求实数的取值范围．3．（2023高三·全国·专题练习）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)设．当时，若对，，使，求实数的取值范围．4．（23-24高二下·重庆綦江·期中）已知函数（），（）．(1)若函数在处的切线方程为，求实数与的值；(2)当时，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．专题07一元函数的导数及其应用（利用导函数研究不等式恒成立问题）目录TOC\o"1-1"\h\u一、已知函数在区间上单调 1二、变量分离法 4三、最值法 9四、变更主元法 13五、双变量问题型 15一、已知函数在区间上单调1．（23-24高二下·福建宁德·阶段练习）函数(1)当时，求的单调区间；(2)若在上为单调函数，求的取值范围【答案】(1)增区间为和，减区间为(2)【优尖升-分析】（1）先求出函数的导数，解不等式求出单调区间即可；（2）将问题转化为在恒成立，利用二次函数的图象与性质即可求解.【详解】（1）当时，,令，得或，所以的增区间为，，令，得，所以的减区间为故当时，的增区间为和，减区间为.（2）由题可得，要使在上为单调函数，则在恒成立，则，即，解得：,所以的取值范围为2．（23-24高二下·四川自贡·期末）已知函数．(1)若的单调递减区间为，求实数的值；(2)若函数在单调递减，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【优尖升-分析】（1）求出函数的导数，根据的单调递减区间为，可得是的两根，即可求得答案；（2）由函数在单调递减，可得在上恒成立，即可推出在上恒成立，从而求得答案.【详解】（1）由题意得，因为的单调递减区间为，即的解集为，故是的两根，即，当时，，由，解得，等号仅在时取得，即的单调递减区间为，符合题意，故.（2）函数在单调递减，即在上恒成立，即在上恒成立，此时，即在上恒成立，而，故,经验证当时,即，等号仅在时取得，此时函数在单调递减，符合题意，故.3．（23-24高二·全国·课后作业）已知函数，，．(1)若函数在上单调递减，求实数a的取值范围；(2)若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)【优尖升-分析】（1）由在上单调递减，得到恒成立，用分离参数法求出实数a的取值范围；（2）由在上存在单调递减区间，得到有解，用分离参数法求出实数a的取值范围．【详解】（1）因为在上单调递减，所以当时，恒成立，即恒成立，令，则，而．因为，所以．所以（此时），所以．当时，．因为，所以，即在上为减函数，又，所以实数a的取值范围是．（2）因为，，所以．因为在上存在单调递减区间，所以当时，有解，即有解．设，所以只要即可，而，，所以，此时，所以．又，所以或．所以实数a的取值范围为．4．（23-24高二·全国·单元测试）已知函数（为自然数对数的底数）.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在上单调递增，求的取值范围.【答案】(1)递减区间是和，递增区间是；(2).【优尖升-分析】(1)当时，求出函数的导数，再求出导数值大于0及小于0的x取值区间即可得解；(2)求出函数的导数，由给定条件转化成恒成立的不等式即可求解作答.【详解】(1)当时，，求导得，解得或，解得，所以函数的单调递减区间是和，单调递增区间是；(2)依题意，，因函数在上单调递增，则，令，，显然在上单调递增，于是得时，，则，所以的取值范围是.二、变量分离法1．（23-24高二下·天津静海·阶段练习）已知，(1)若对于任意的，都有成立，求的取值范围；(2)若存在，使得成立，求的取值范围；(3)若函数，若存在，使得成立，求的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【优尖升-分析】（1）恒成立求参问题，先分参后转换成求具体函数的最值问题即可求出结果.（2）有解问题，解法同恒成立求参问题.（3）恒成立和有解问题统一转化成最值问题解决.【详解】（1）对于任意的，都有成立，则恒成立，即恒成立，又，所以当时，恒成立，所以在上单调递减，所以，所以，所以的取值范围为.（2）存在，使得成立，即，使得成立，所以有解，又，所以当时，恒成立，所以在上单调递减，所以，所以，所以的取值范围为.（3）存在，使得成立，即，使得，成立，令，则，所以当时，恒成立，所以在上单调递减，所以，所以，所以的取值范围为.【点睛】方法点睛：有解和恒成立求参问题常转化为最值问题处理：（1）恒成立；有解；（2）恒成立；有解.2．（2024·安徽池州·模拟预测）设函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，若恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【优尖升-分析】（1）直接根据导数的几何意义即得切线方程；（2）先将不等式变形，将条件转化为对恒成立，再通过导数研究的单调性即知的取值范围.【详解】（1）当时，，可得，所以，，所以曲线在点处的切线方程为，即．（2）由条件知，即，即，即，当时，不等式恒成立；当时，我们有．所以命题等价于对恒成立，令，则：，而当时，，故，当时，，故在区间上单调递增；当时，，故在区间上单调递减，所以．综上所述，实数的取值范围为．3．（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知函数．(1)求的最小值；(2)若对所有都有，求实数的取值范围；【答案】(1)(2)【优尖升-分析】（1）利用导数分析函数的单调性，求解最小值即可；（2）对于不等式恒成立求参数的取值范围问题，分离参数转化为利用导数求函数的最小问题即可求解.【详解】（1）的定义域是，，令，解得，令，解得，故在上单调递减，在上单调递增，故f(x)min＝＝．（2）∵，当时，恒成立，等价于在时恒成立，等价于在时恒成立，令，，则即可；

∵，∴当时，恒成立，∴在上单调递增，∴，∴，即实数的取值范围为．4．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数．(1)若，求的单调区间；(2)讨论函数的单调性；(3)若函数在处取得极值，且对，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3).【优尖升-分析】（1）先求出函数的导函数，进而分析导函数的正负区间与单调区间；（2）先求出函数的导函数；再分和两种情况，再每一种情况中借助导数即可解答；（3）先根据函数在处取得极值得出；再将问题“对，恒成立”转化为“对，恒成立”；最后构造函数，并利用导数求出即可解答.【详解】（1）当时，，，令可得，故当时，单调递减；当时，单调递增；故递减区间为，递增区间为.（2）由可得：函数定义域为，.当时，，此时函数在定义域上单调递减；当时，令，解得；令，解得，此时函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.综上可得：当时，函数在定义域上单调递减；当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.（3）因为函数在处取得极值，所以，即，解得.此时，令，解得；令，解得，所以函数在处取得极值，故.所以.因为对，恒成立，所以对，恒成立.令，则.令，解得；令，解得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，则，解得：.所以实数b的取值范围为三、最值法1．（23-24高二下·广东茂名·期中）设函数.(1)当时，求函数的单调区间.(2)求函数的极值.(3)若时，，求的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)【优尖升-分析】（1）由或解出，即可得到函数的单调区间；（2）由或判断的单调性，再由极值的概念即可求出函数的极值.；（3）由函数的单调性，等价于，即可解出的取值范围.【详解】（1）当=1时，，则，令，解得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（2），当时，在上单调递增，无极值，当时，由，得，由0得则在上单调递减，在上单调递增，则当时，取得极小值，无极大值，所以当时，函数无极值，当时，函数有极小值，无极大值；（3）由（2）知当时，在上单调递增，符合题意，当时，在上单调递增，符合题意，当时，在上单调递减，在上单调递增，等价于，得.综上的取值范围是.2．（2024·江苏南通·二模）已知函数，，.(1)求函数的单调区间；(2)若且恒成立，求的最小值.【答案】(1)答案见解析(2).【优尖升-分析】（1）求导后，利用导数与函数单调性的关系，对与分类讨论即可得；（2）结合函数的单调性求出函数的最值，即可得解.【详解】（1）（），当时，由于，所以恒成立，从而在上递增；当时，，；，，从而在上递增，在递减；综上，当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）令，要使恒成立，只要使恒成立，也只要使.，由于，，所以恒成立，当时，，当时，，所以，解得：，所以的最小值为.3．（23-24高二下·北京丰台·阶段练习）已知函数.(1)当时，求函数的零点个数；(2)当时，若对任意都有，求实数的取值范围.【答案】(1)1(2)【优尖升-分析】（1）求出函数的导数，判断函数单调性，求出函数极值，结合零点存在定理，即可得答案；（2）求出函数的导数，判断函数单调性，分类讨论a的取值范围，结合解不等式，即可求得答案【详解】（1）当时，，，当或时，，在上均单调递增，当时，，在上单调递减，而，又，即，故在有一个零点，即在有一个零点，而在上最小值为，此时无零点，故函数的零点个数为1；（2）当时，，当或时，，在上均单调递增，当时，，在上单调递减，当时，在上单调递增，则此时，由题意得解得，与矛盾，不合题意；当时，，此时在上单调递增，在上单调递减，则此时，由题意得，解得，故，综合可得实数的取值范围为.4．（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数的最小值为，不等式在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)【优尖升-分析】（1）求导，即可对进行分类讨论求解导函数的正负求解，（2）将原不等式进行转化，分离参数，从而可构造函数，将问题转化为函数的最值问题进行求解.【详解】（1）由题知的定义域为，．①当时，，则，故单调递增．②当时，，故在上单调递减，在上单调递增．综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）由（1）知，，且，即．令，则，令，解得，故在上单调递增，在上单调递减，所以，所以．由题可得在上恒成立．令，则，令，则，可得在上单调递减，又，故存在，使得，即，因此在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．易知，由于，故，因此，故，即的取值范围为．四、变更主元法1．（2024高三·全国·专题练习）已知二次函数（，为实数）(1)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围；(2)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围；【答案】(1)(2)【优尖升-分析】（1）由已知可得，由，恒成立列出不等式求解即得.（2）由对恒成立，结合一次函数的性质求出答案即可.【详解】（1）依题意，，即，由，恒成立，得，即，整理得，解得.所以实数的取值范围是.（2）由（1）知，，由，得，即，依题意，对恒成立，令，则对，恒成立，于是，解得，所以实数的取值范围是．2．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知(1)在上恒成立，求x的范围．【答案】(1)或；【优尖升-分析】（1）根据在上恒成立，令，由则求解；【详解】（1）解：在上恒成立，令，则，即，即，因为，所以不等式的解为或，所以x的范围是或；3．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）已知函数.(1)，不等式恒成立，求实数的范围；【答案】(1)【优尖升-分析】（1）变换为关于的一次函数，结合一次函数在恒成立，求解即可.【详解】（1）因为，不等式恒成立所以，则有：，得4．（2023高一·上海·专题练习）已知(1)在上恒成立，求的范围．【答案】(1)或．【优尖升-分析】（1）利用更换主元法及一元一次不等式恒成立的解决办法即可求解；【详解】（1）在上恒成立，令,所以，即，解得或．故的范围为或．五、双变量问题型1．（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）已知函数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)（），若对任意，均存在，使得，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)【优尖升-分析】（1）先求出导函数，由得到切线斜率，再根据切点坐标即可得到切线方程；（2）转化问题为，结合二次函数性质可求得的最大值，构造，由的导函数判断的单调性，利用端点值和极值判断的正负，进而判断的单调性，求得，即可求解.【详解】（1）由题意，则，即切线的斜率，且，即切点坐标为，所以曲线在处的切线方程为，即.（2）由题意可知：，因为的图象开口向上，对称轴为直线，则在上单调递减，可得，由（1）可设，则，所以，当时，；当时，，则在区间上单调递减，在区间上单调递增.且，可知在区间上只有一个零点，设为，当时，；当时，，所以在区间上单调递减