2022年山西省运城市绛县高级职业中学高三数学理月考试题含解析

2022年山西省运城市绛县高级职业中学高三数学理月

考试题含解析

一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.如图，是函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象，则下面判断正确的是()

A.在区间(-2,1)上f(x)是增函数B.在(1,3)±f(x)是减函数

C.在(4,5)±f(x)是增函数D.当x=4时，f(x)取极大值

参考答案：

C

【考点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性.

【专题】计算题.

【分析】由于f'(x)，0?函数f(x)d单调递增；f'(x)W0?单调f(x)单调递

减，观察f'(x)的图象可知，通过观察f'(x)的符号判定函数的单调性即可

【解答】解：由于f'(x)》0?函数f(x)d单调递增；f(x)W0?单调f(x)单调

递减

观察f'(x)的图象可知，

当xG(-2,1)时，函数先递减，后递增，故A错误

当xe(1,3)时，函数先增后减，故B错误

当xd(4,5)时函数递增，故C正确

由函数的图象可知函数在4处取得函数的极小值，故D错误

故选：C

【点评】本题主要考查了导数的应用：通过导数的符号判定函数单调性，要注意不能直接

看导函数的单调性，而是通过导函数的正负判定原函数的单调性

2.右图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数

与中位数分别是

A.12.512.5B.1313

D.13.513

参考答案:

B

3.要得到函数,一曲工下的图象，只需将函数事="4%的图象(

)

HX

A.向左平移正个单位B.向右平移记个单位

KH

C.向左平移a个单位D.向右平移7个单位

参考答案：

B

jr=sin(4x—=sin4(x-.4—

试题分析：416,因此可把事==4工的图象向右平移16个单

位，故选B.

考点：三角函数的图象平移.

4设集合0={°工2345}以={12}*={女2|'—5无+4<0}则q(幺|JA)=

()

A.ML23}B.{斗

&{LZ4}D.MM

参考答案：

D

【解析】

试题分析：由，-5x+4<0,得解得:l<x<4-3={Z3}/;/={L2},

二NU3={1,2.3},因为集合U={0,LZ345}.：.CU(A\JB)={0,4.5),故选D.

考点：1、集合的表示；2、集合的并集及补集.

..7T.44方.

sin(a+—)+sina=--------,—<cu<0,

5.已知3，52则

.2"、

cos(ad-----)

3'等于()

43

A.5B.5

34

C.5D.5

参考答案：

D

1+2/

6.在复平面内，复数一i(i为虚数单位)对应的点所在的象限为()

A.第一象限B.第二象限C.第三象

限D.第四象限

参考答案：

D

l+2i

7i-2对应的点为(2,-1),所在的象限为第四象限，选D

7.已知集合A={x|xW0},且AUB=A,则集合B不可能是()

A.?B.{x|xW0}C.{x|xWl}D.{-2}

参考答案：

C

【考点】并集及其运算.

【专题】计算题.

【分析】由AUB=A,得到B为A的子集，根据A,对各项判断即可.

【解答】解:VAUB=A,

；.B?A,

VA={xxWO},

B=?,B={x|xWO},B={-2},BW{xixWl}.

故选C

【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键.

a>2

<

8.已知a,h是实数，贝ij“9>3”是“a+力>5”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

参考答案：

A

略

9.设锐角的三内角/、B、C所对边的边长分别为。、匕、。,

且a=l,B=2A,则占的取值范围为.....（）.

（⑷第，⑸⑸（1,⑻,©（72,2）.（D）（0,2）

参考答案：

A

10.已知等差数列{a}的前n项和为S”,且Sw=12,则as+陪（）

12g

A.5B.12C.6D.5

参考答案：

A

【考点】等差数列的性质.

【分析】利用等差数列｛4｝的前n项和公式及其性质即可得出.

【解答】解：•••等差数列｛aj的前10项和为S『12,

10(+3g)

/.2=12,

12

则a$+a6=5.

故选：A.

【点评】本题考查了等差数列｛aj的前n项和公式及其性质，属于基础题.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.设aABC的三个内角A,B,C所对应的边为a,b,c,若A,B,C依次成等差数列且

a2+c2=kb2,则实数k的取值范围是—.

参考答案：

(1,2]

【考点】HR：余弦定理.

兀2_

【分析】利用角A、B、C成等差数列B=7,利用£+1=相，可得k=5sin(2A-

九_4

T)+?,即可利用正弦函数的性质求得实数k的取值范围.

【解答】解：•••A+B+C=n，且角A、B、C成等差数列，

，B=n-(A+C)=n-2B,解之得B=W,

,.,a2+c2=kb2,

3k

/.sin'A+sin2C=ksin2B=4,

_4_45^3_返22L1

k=3=3[4sin2A+4cos2A+2sinAcosA)]=3sin(2A-6)+3,

2兀

V0<A<3,

兀冗771

6<2A-6<6,

1匹

/.-'2<sin（2A-V）Wl,

22LA

.\l<3sin（2A-V）+3^2,

•••实数k的取值范围是（1,2].

故答案为：（1,2].

12.一名同学想要报考某大学，他必须从该校的8个不同专业中选出5个，并按第一志

愿、第二志愿、…第五志愿的顺序填写志愿表.若A专业不能作为第一、第二志愿，则他

共有种不同的填法（用数字作答）.

参考答案：

5040

【分析】

分2步进行分析：①从除/之外的7个专业中任选2个，作为第一、第二志愿，②在剩下

的6个专业中任选3个，作为第三、四、五志愿，由分步计数原理计算可得答案.

【详解】解：根据题意，分2步选专业：

①4专业不能作为第一、第二志愿有d=42种选法，

②第三、四、五志愿，有/二120种选法，

则这名同学共有42x120=5040种不同的填报方法，

故答案为：5040

【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理，属于基础题.

13.（几何证明选讲选做题）如图，七4与圆。相切于d,HZ为圆O的割线，并且不过

圆心。，已知加乂=30°,PA=2^3,R=l,则圆O的半径等于

参考答案:

7

【知识点】与圆有关的比例线段.N1

解析：由圆的性质PA^POPB,得PB=12,连接0A并反向延长交圆于点E,在直角三角

形APD中可以求得PD=4,DA=2,故CD=3,DB=8,记圆的半径为R,由于ED•DA=CD•DB

因此(2R-2)x2=3x8,解得R=7.故答案为7.

【思路点拨】连AO并延长，根据切线的性质定理得到RtaPAD,根据切割线定理得到

PA2=PC?PB,根据相交弦定理得到CD?DB=AD?DE,最后即可解得圆0的半径.

14.函数丁=0062r一面‘工的最小正周期等于.

参考答案：

【分析】

T=-

利用降嘉公式整理化简，再由三角函数的最小正周期®求得答案.

“cossbtt?cos2无-上巴在=2coslx-J

【详解】因为函数222

故最小正周期等于工

故答案为：«

【点睛】本题考查求三角函数的最小正周期，属于基础题.

tan(a+jS)=—4-=1=

15,已知‘5,I4)4,那么I4)

参考答案：

3

22

16.某校高一、高二、高三学生共有320()名，其中高三8()()名，如果通过分层抽样

的方法从全体学生中抽取一个160人的样本，那么应当从高三的学生抽取的人数

是一

参考答案：

40

17.直线犷=、后x与圆/+3+3)'=9相交于点力、B,则|48|=.

参考答案：

3、月

略

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

ax+^i-2a+l

18.(本题满分13分)已知函数/&)=X3>0)。

(1)求/①)的单调区间；

(2)若/(X)Nlnx在［1,+8)上恒成立，求实数a的取值范围；

攵■一12-n-ri1

X1n----->/

⑶证明：*~2'+1J2冏(M+1)

参考答案：

解：(1)的定义域为卜卜,可，

、a-1ax2+1-a.-、

f(x)=a——-=——--(a>0)

xx,--------------------1分

当0<a《l时，恒成立，此时，“X)在(一叫0),(0,+8)上是增函数；―2

分

列表如下:

X(-8,X)(6)(。㈤(%,+8)

r(x)+--+

增减减坨

此时，/(功的递增区间是(一8，%),(%，+8)；递减区间是(玉立)，(°，%)。—4

分

-~~--2(34-1-InX,XG[1,+00)

(2)占=ax-\-X9

1心一1)5—9)

以一1

则g(1)=0,g'(x)=a——_x=x2=x2---6分

1\-a

1)当0<a<2时，a>1。

\—a

若ivxv。,贝ijg'(x)<0,g(x)是减函数，所以g(x)<g(1)=0,即f(x)>lnx,

故f(x)工g乂在“，+oo)上不恒成立。---------------7分

212£<1,

2)当a22时，a若*>1,则(x)>o,g(x)是增函数，所以g(x)>g(l)=0,即

f(x)>lnx.故当xMl时，f(x)之Inx.

二

综上所述，所求a的取值范围是［5'+8)。------------9分

a=-lnx<-(x--)(x>1)

(3)在(2)中，令2,可得不等式：2X(当且仅当工=1

llix2<X--(X>1)

时等号成立)，进而可得当工(*)..........10分

",k-12-n-n,22-n-n

Zin---->{_一一一<=>ln------->厂-------------

U2幺+1J2«(«+1)+1)J2冏(冏+1)

,n(n+1)n2+n-2

<=>hi------<-------

2J2«(M+1)

—8+1),.一、

x=J—----->1(«>2)

令v2，代入不等式(♦)得：

«(«+1)/«(«+1)I2_冏8+1)2n2+n-2

21'2+1)J2通+1)+1)J2.(.+1)

故不等式得证。......................13分

19.已知函数/(x)：621nx-为x+b.函数y=/③的图象在点(L/①)处的切线方程是

y=2x+l,

(1)求a,b的值。

.g③=A3+X2[—+/'(X)]

(2)问：m在什么范围取值时，对于任意的iwF[1L2],函数2'在区间

©3)上总存在极值？

参考答案：

【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程.B12

49

<W<-13

【答案解析】(1)b=-l(2)3

解析：(1)因为函数了二/③的图象在点(1，/①)处的切线的斜率为2

所以7'。)=2,所以&=_2,则/①=4+匕代入切线可得b=-i-------------6分

g(x)=x3+x2(—+4-—)=x3+(—+4)x2-2x〃、二2,.，6c

(2)2/,g'(x)=3/+(w+8)x-2

因为任意的，€[L2],函数g("='+'在区间&3)上总存在极值，

修⑵<0，

又g'(O)<0,所以只需[g'(3)>0,--------------io分

49

--<加<一13

解得3-------------12分

【思路点拨】(1)函数f(X)的图象在x=l处的切线方程为y=2x+l可知，f'(1)=2,

f(1)=3,可解a、b的值；(2)转化成g'(x)=0在(t,3)上有实数根，列出等价

条件，求出m的取值范围.

20.已知函数/(幻=电工+侬£

⑴求函数了=在X曰°，2汨上的单调递增区间；

(H)在AABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知向量m=(a,b),向量

n=(XC),l)且向量m//n,求B.

参考答案：

16.(本小黝满分12分)

M:(I)ft*)*sin«♦coax-&ain(x+千)............................I分

令2hTwx♦手3"+^.aeZ),2"-Yw*w2Jhr+—&eZ).……2分

令&=0.-♦令k«1.5?Wx〈号守•..........................4分

4444

又［0.2"］.

・••/U)在［0,2"］上的单调递增区间为［0.为2»).................................6分

44

(0)由胸就〃C)=MnC♦<«<?.

•/oxi-C)・6=0.即a=6(♦cotC)....................7分

由正弦定理心■上.

MMAino

sim4»MnS(sinC♦cx»C)rsinBsinC♦sinBcosC......・・・・・・・・・・・・・8分

在AABC中♦媪tri«»in(B+C)msinBcoeC♦cod^inC.

ftinBsinC=cosSiMnC..........10分

又sinC—O.J.ninB=...................................................................11分

tanfl»I.Xv0<B<«=:r-.............................................................12分

•1

略

21.(本题满分12分)设函数f(x)=万•后,其中向量5k=(2cosx,1),=(cosx,

v3sin2x),xWR.

7T7T

(1)若f(x)=l-尚且x£[-3,3],求x；

穴

(2)若函数y=2sin2x的图象按向量"=(m,n)(|m|<2)平移后得到函数y=f(x)的

图象，求实数m、n的值。

参考答案：

(本小题满分12分)

/(x)=2cos*x+"75sin2x=l+cos2x+/sin2x=2sin(2x+—)+1

解：64分

/­/(x)=2sin(2x+£)+l=1-73

(1)依题意6

sin(2x+—)=

62,

7T7f开5TT'

xe2x+—&

6'21~6

.7T———

63,

7T

x=——

48分

⑵函数y=2sin2x的图象平移后为y=2sin2(x-m)+n;

IH„/W=2sin(2x+-)+l

对照6

jr-yr

2m=2k7^--(keZ)H<-

得6;n=l又…12

—;«=1

1212分

略

22.椭圆有两顶点A(-1,0)、B(1,0),过其焦点F(0,1)的直线1与椭圆交于C、

D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.

(I)当|CD|=2、”时,求直线1的方程;

(II)当点P异于A、B两点时，求证：OP・OQ为定值.

参考答案：

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.

【专题】计算题；综合题；压轴题；数形结合；分类讨论；方程思想.

【分析】(I)根据椭圆有两顶点A(-1,0)、B(1,0),焦点F(0,1),可知椭圆

的焦点在y轴上，b=l,c=l,可以求得椭圆的方程，联立直线和椭圆方程，消去y得到关

于x的一元二次方程，利用韦达定理和弦长公式可求出直线1的方程；

(II)根据过其焦点F(0,1)的直线1的方程可求出点P的坐标，该直线与椭圆交于

C、D两点，和直线AC与直线BD交于点Q,求出直线AC与直线BD的方程，解该方程组即

可求得点Q的坐标，代入瓦•夜即可证明结论.

【解答】解：(I)•.•椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为ab"(a>b>

0),

由已知得b=l,c=l,所以a=A/1,

y22,

—+X—1

椭圆的方程为2

当直线1与x轴垂直时与题意不符，

设直线1的方程为y=kx+l,C(X),yt),D(x