新高考2025届高考数学小题必练11函数的图像与性质

2024年高考“2024年高考“最终三十天”专题透析好教化云平台——教化因你我而变．描点法作图方法步骤：（1）确定函数的定义域；（2）化简函数的解析式；（3）探讨函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至改变趋势)；（4）描点连线，画出函数的图象．2．图象变换（1）平移变换（2）对称变换①eq\o(―――――→,\s\up7(关于x轴对称))；②eq\o(―――――→,\s\up7(关于y轴对称))；③eq\o(―――――→,\s\up7(关于原点对称))；④(且)eq\o(―――――→,\s\up7(关于y＝x对称))(且)．（3）伸缩变换．②eq\o(―――――――――――――――――――→,\s\up11(a>1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变),\s\do4(0<a<1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变))．（4）翻折变换①eq\o(―――――――――→,\s\up11(保留x轴上方图象),\s\do4(将x轴下方图象翻折上去))．②eq\o(――――――――――→,\s\up11(保留y轴右边图象，并作其),\s\do4(关于y轴对称的图象))．1．【2024北京卷理14】设函数．①若，则的最大值为__________；②若无最大值，则实数的取值范围是__________．【答案】2，【解析】两个函数的图像如图所示，当时，有图像可知的最大值为2；当时，没有最大值；当时，在处取得最大值2．【点睛】画出图形，可以通过图形的改变而得．2．【2024天津卷8】已知函数．给出下列结论：①的最小正周期为；②是的最大值；③把函数的图象上全部点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．其中正确结论的选项是（）A．① B．①③ C．②③ D．①②③【答案】AB【解析】①，正确；②，取最大值，错误；③依据图像左加右减原则，正确．【点睛】对于函数的相关性质，要会把当做整体，由的相关性质可得．一、单选题．1．函数的单调递增区间是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题可得，解得或，由二次函数的性质和复合函数的单调性可得函数的单调递增区间为，故选A．2．设函数则满意的的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由或，∴满意的的取值范围是，故选D．3．已知函数为偶函数，当时，，且为奇函数，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵函数为偶函数，∴．又为奇函数，图象关于点对称，∴函数的图象关于点对称，∴，∴，∴，∴函数的周期4，∴，故选C．4．已知函数，则的大致图象为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】∵，∴函数为奇函数，解除B选项，求导：，∴函数单调递增，故解除C选项，令，则，故解除D，故选A．5．函数与在同始终角坐标系中的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A、B两图，，而的两根为0和，且两根之和为，由图知，得，冲突；对于C、D两图，，在C图中两根之和，即冲突，C错，D正确，故选D．6．函数在上单调递增，且函数是偶函数，则下列结论成立的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】函数是偶函数，则其图象关于轴对称，∴函数的图像关于对称，则，，函数在上单调递增，则有，∴．故选C．7．函数的图象大致为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题将原式化简得，，∴函数是奇函数，故解除选项A；又在区间时，，故解除选项B；当时，，故解除选项C，故选D．8．已知函数满意和，且当时，，则（）A．0 B．2 C．4 D．5【答案】C【解析】函数满意和，可函数是以4为周期的周期函数，且关于对称，又由当时，，∴，故选C．9．若定义在上的偶函数，满意且时，，则方程的实根个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．6个【答案】C【解析】由可得函数的周期为2，又函数为偶函数且当时，，故可作出函数得图象，∴方程的解个数等价于与图象的交点，由图象可得它们有4个交点，故方程的解个数为4．故选C．二、多选题．10．【2024全国1卷文9】已知函数，则（）A．在单调递增 B．在单调递减C．的图像关于直线对称 D．的图像关于点对称【答案】ABC【解析】利用对数的运算法则，则，依据同增异减法则，知A、B正确；留意到函数的定义域为，利用二次函数的对称性，知C正确．11．在实数集中定义一种运算“”，，，为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对随意，；（2）对随意，，．关于函数的性质，有如下说法：①函数的最小值为3；②函数为偶函数；③函数的单调递增区间为．其中正确说法的选项为（）A．① B．② C．③ D．②③【答案】AB【解析】由于对随意，，，则由对随意，，可得，则有，对于①，由于定义域为，则，，当且仅当，即有，取最小值3，故①对；对于②，由于定义域为，关于原点对称，且，则为偶函数，故②对；对于③，，令，则，即的单调递增区间为，故③错．三、填空题．12．函数在区间上的值域是，则的最小值是________．【答案】【解析】函数的图象如图所示：∵，∴依据图可知，，∴当，，取得最小值为．故答案为．13．【2024浙江卷文11】已知，则，．【答案】，【解析】，，，故答案为，．14．函数，定义函数，给出下列命题：①；②函数是偶函数；③当时，若，则有成立；④当时，函数有4个零点．其中正确命题的序号为__________．【答案】②③④【解析】对于①，∵函数，函数，∴，∴，故①不正确；对于②，∵，∴函数是偶函数，故②正确；对于③，由，得，又，∴，即，∴成立．故③正确