2024-2025学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.4.1对数函数的概念课时跟踪训练含解析新人教A版必修第一册

PAGE对数函数的概念一、复习巩固1．下列函数是对数函数的是()A．y＝loga(2x) B．y＝log22xC．y＝log2x＋1 D．y＝lgx答案：D2．下列给出的函数：①y＝log5x＋1；②y＝logax2(a＞0且a≠1)；③y＝log(eq\r(3)－1)x；④y＝eq\f(1,3)log3x；⑤y＝logxeq\r(3)(x＞0且x≠1)；⑥y＝logeq\f(2,π)x.其中是对数函数的有()A．③④⑤ B．②④⑥C．①③⑤⑥ D．③⑥解析：依据对数函数的定义可知③⑥为对数函数．答案：D3．函数y＝lg(x－2)的定义域为()A．(0，＋∞) B．(2，＋∞)C．[0，＋∞) D．[2，＋∞)解析：要使函数有意义，必需满意x－2＞0，即x＞2.故函数y＝lg(x－2)的定义域为(2，＋∞)．答案：B4．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log3x，x＞0，3x，x≤0，))则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))))的值是()A．9 B.eq\f(1,9)C．－9 D．－eq\f(1,9)解析：∵eq\f(1,9)＞0，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))＝log3eq\f(1,9)＝－2，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))))＝f(－2)＝3－2＝eq\f(1,9).答案：B5．下列各组函数中，定义域相同的一组是()A．y＝ax与y＝logax(a＞0，且a≠1)B．y＝2lnx与y＝lnx2C．y＝lgx与y＝lgeq\r(x)D．y＝x2与y＝lgx2解析：A项中，函数y＝ax的定义域为R，y＝logax(a＞0，且a≠1)的定义域为(0，＋∞)；B项中，y＝2lnx的定义域是(0，＋∞)，y＝lnx2的定义域是{x|x∈R，x≠0}；C项中，两个函数的定义域均为(0，＋∞)；D项中y＝x2的定义域为R，y＝lgx2的定义域是{x|x∈R，x≠0}．答案：C6．若f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2xx≤0,log3xx＞0))，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,27)))))为()A．－eq\f(1,8) B.eq\f(1,8)C．8 D．－8解析：feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,27)))＝log3eq\f(1,27)＝－3，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,27)))))＝f(－3)＝2－3＝eq\f(1,8).答案：B7．函数f(x)＝eq\r(2－x)－lg(x－1)的定义域是()A．(－∞，2] B．(2，＋∞)C．(1,2] D．(1，＋∞)解析：由题意得2－x≥0且x－1＞0，解得1＜x≤2，则函数的定义域为(1,2]．答案：C8．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(eq\r(a)，a)，则f(x)＝()A．log2x B．logeq\f(1,2)xC.eq\f(1,2x) D．x2解析：因为函数y＝f(x)图象经过点(eq\r(a)，a)，所以函数y＝ax(a＞0，且a≠1)过点(a，eq\r(a))，所以eq\r(a)＝aa，即a＝eq\f(1,2)，故f(x)＝logeq\f(1,2)x.答案：B9．对数函数的图象过点(16,2)，则对数函数的解析式为________．解析：设对数函数为y＝logax(a＞0且a≠1)，由已知有2＝loga16，∴a2＝16.∵a＞0，∴a＝4.故函数解析式为y＝log4x.答案：y＝log4x.10．若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a解析：由对数函数的概念知a满意的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1＞0，,2a－1≠1，,a2－5a＋4＝0，))∴a＝4.答案：4二、综合应用11．函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是()A．[－3,1]B．(－3,1)C．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析：由题意，得x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．答案：D12．函数f(x)＝eq\r(4－|x|)＋lgeq\f(x2－5x＋6,x－3)的定义域为()A．(2,3) B．(2,4]C．(2,3)∪(3,4] D．(－1,3)∪(3,6]解析：依题意知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－|x|≥0，,\f(x2－5x＋6,x－3)＞0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4≤x≤4，,x＞2且x≠3，))即函数的定义域为(2,3)∪(3,4]．答案：C13．已知函数f(x)＝ln(eq\r(1＋9x2)－3x)＋1，则f(lg2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,2)))＝()A．－1 B．0C．1 D．2解析：f(x)＋f(－x)＝ln(eq\r(1＋9x2)－3x)＋ln(eq\r(1＋9x2)＋3x)＋2＝ln(1＋9x2－9x2)＋2＝ln1＋2＝2，由上式关系知f(lg2)＋f(lgeq\f(1,2))＝f(lg2)＋f(－lg2)＝2.答案：D14．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2ex－1，x＜2，,log3x2－1，x≥2，))则f[f(2)]的值为________．解析：由已知条件可知f(2)＝log3(22－1)＝log33＝1，所以f[f(2)]＝f(1)＝2e1－1＝2.答案：215．函数f(x)＝lg(x2－1)的定义域为________．解析：要使函数有意义，必需满意x2－1＞0，即x＞1或x＜－1.故函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)16．已知函数f(x)＝log2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ax2＋a－1x＋\f(1,4))).(1)若定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若值域为R，求实数a的取值范围．解析：(1)要使f(x)的定义域为R，则对随意实数x都有t＝ax2＋(a－1)x＋eq\f(1,4)＞0恒成立．当a＝0时，不合题意；当a≠0时，由二次函数图象可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，Δ＝a－12－a＜0.))解得eq\f(3－\r(5),2)＜a＜eq\f(3＋\r(5),2).(2)要使f(x)的值域为R，则有t＝ax2＋(a－1)x＋eq\f(1,4)的值域必需包含(0，＋∞)．当a＝0时，明显成立；当a≠0时，由二次函数图