2024-2025学年新教材高中数学第10章概率10.3.1频率的稳定性学案含解析新人教A版必修第二册

PAGE10.3频率与概率10.学习目标核心素养结合实例，会用频率估计概率．(重点、难点)1.通过对频率和概率联系和区分的学习，培育数学抽象素养.2.通过利用随机事务的频率估计其概率，培育数学运算素养.小刚抛掷一枚硬币100次，出现正面朝上48次．问题：(1)你能计算出正面朝上的频率吗？(2)抛掷一枚硬币一次，出现正面朝上的概率是多少？1．频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事务A发生的频率fn(A)会渐渐稳定于事务A发生的概率P(A)，我们称频率的这特性质为频率的稳定性．2．频率稳定性的作用可以用频率fn(A)估计概率P(A)．思索：频率和概率有什么区分和联系？[提示]区分：(1)在相同的条件下重复n次试验，视察某一事务A是否出现，称n次试验中事务A出现的次数nA为事务A出现的频数，称事务A出现的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)为事务A出现的频率．(2)概率是度量随机事务发生的可能性大小的量．(3)频率是一个变量，随着试验次数的改变而改变，概率是一个定值，是某事务的固有属性．联系：对于给定的随机事务A，由于事务A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．1．思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)随机事务的频率和概率不行能相等． ()(2)随机事务的频率和概率都随着试验次数的改变而改变． ()(3)概率能反映随机事务发生可能性的大小，而频率则不能． ()[提示](1)错误．二者可能相等．(2)错误．频率会发生改变，是变量，而概率是不变的，是客观存在的．(3)错误．频率和概率都能反映随机事务发生的可能性的大小．[答案](1)×(2)×(3)×2．某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的状况出现了8次，若用A表示“正面朝上”这一事务，则A的()A．概率为eq\f(4,5) B．频率为eq\f(4,5)C．频率为8 D．概率接近于8B[做n次随机试验，事务A发生了m次，则事务A发生的频率为eq\f(m,n).假如多次进行试验，事务A发生的频率总在某个常数旁边摇摆，那么这个常数才是事务A的概率．故eq\f(8,10)＝eq\f(4,5)为事务A的频率．]3．每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，某次考试共12道选择题，某同学说：“每个选项正确的概率是eq\f(1,4)，若每题都选择第一个选项，则肯定有3道题的选择结果正确”．这句话()A．正确 B．错误C．有肯定道理 D．无法说明B[从四个选项中正确选择选项是一个随机事务，eq\f(1,4)是指这个事务发生的概率，事实上，做12道选择题相当于做12次试验，每次试验的结果是随机的，因此每题都选择第一个选项可能没有一个正确，也可能有1个，2个，3个，…，12个正确．因此该同学的说法是错误的．]4．经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为80%，经调查，某市市场上的食用油大约有80个品牌，则不合格的食用油品牌大约有________个．16[由题意得80×(1－80%)＝80×20%＝16个．]频率和概率的区分和联系【例1】下列说法正确的是()A．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两个小孩，则肯定为一男一女B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，肯定有一张中奖C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1D[一对夫妇生两个小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张、五张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确．]理解概率与频率应关注的三个方面1概率是随机事务发生可能性大小的度量，是随机事务A的本质属性，随机事务A发生的概率是大量重复试验中事务A发生的频率的近似值.2由频率的定义我们可以知道随机事务A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映.3正确理解概率的意义，要清晰概率与频率的区分与联系.对详细的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个详细的事务.eq\o([跟进训练])1．“某彩票的中奖概率为eq\f(1,100)”意味着()A．买100张彩票就肯定能中奖B．买100张彩票能中一次奖C．买100张彩票一次奖也不中D．购买彩票中奖的可能性为eq\f(1,100)D[某彩票的中奖率为eq\f(1,100)，意味着中奖的可能性为eq\f(1,100)，可能中奖，也可能不中奖．]用随机事务的频率估计其概率【例2】某公司在过去几年内运用了某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的运用寿命(单位：时)进行了统计，统计结果如下表所示：分组[0，900)[900，1100)[1100，1300)[1300，1500)[1500，1700)[1700，1900)[1900，＋∞)频数4812120822319316542频率(1)将各组的频率填入表中；(2)依据上述统计结果，估计灯管运用寿命不足1500小时的概率．[思路探究]依据频率的定义计算，并利用频率估计概率．[解](1)频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223，0.193，0.165,0.042.(2)样本中运用寿命不足1500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600.所以样本中运用寿命不足1500小时的频率是eq\f(600,1000)＝0.6，即灯管运用寿命不足1500小时的概率约为0.6.1．频率是事务A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率，频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值旁边摇摆，这个稳定值就是概率．2．解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．eq\o([跟进训练])2．某保险公司利用简洁随机抽样的方法，对投保的车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔偿金额(元)01000200030004000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．[解](1)设A表示事务“赔付金额为3000元”，B表示事务“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P(A)＝eq\f(150,1000)＝0.15，P(B)＝eq\f(120,1000)＝0.12，由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额的情形是赔付3000元和4000元，A与B互斥，所以所求概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事务“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主是新司机的有0.1×1000＝100(位)，而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120＝24(位)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为eq\f(24,100)＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.嬉戏的公允性[探究问题]1．推断某种嬉戏规则是否公允的标准是什么？[提示]假如参与竞赛的双方获胜(或失败)的概率是一样的，那么就说明这个嬉戏规则是公允的；否则就是不公允的．2．小明和小红通过抓阄确定谁代表班级参与学校实行的演讲竞赛，规则如下：在一个不透亮的盒子里有三个质地完全相同的小卡片，上面分别写有“参与”“不参与”“感谢参与”，小明和小红分别从中摸取一个小卡片，摸到“参与”者代表班级参与学校实行的演讲竞赛．这个嬉戏规则公允吗？请说明理由．[提示]公允．因为每个人摸到“参与”的概率都是eq\f(1,3).【例3】某校高二年级(1)、(2)班打算联合实行晚会，组织者欲使晚会气氛热情、好玩，策划整场晚会以转盘嬉戏的方式进行，每个节目起先时，两班各派一人先进行转盘嬉戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示)，设计了一种嬉戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公允？为什么？[思路探究]计算和为偶数时的概率是否为eq\f(1,2)，概率是eq\f(1,2)就公允，否则不公允．[解]该方案是公允的，理由如下：各种状况如表所示：由表可知该嬉戏可能出现的状况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以(1)班代表获胜的概率P1＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)，(2)班代表获胜的概率P2＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)，即P1＝P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公允的．1．在例3中，若把嬉戏规则改为：两人各自转动转盘一次，转盘停止后，两个指针指向的两个数字相乘，假如是偶数，那么(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．嬉戏规则公允吗？为什么？[解]不公允．因为乘积出现奇数的概率为eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)，而出现偶数的概率为eq\f(8,12)＝eq\f(2,3).2．若在例3中，转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．嬉戏规则如下：两个人参与，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的数字相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下两种方案中选一种：A．猜“是奇数”或“是偶数”；B．猜“不是4的整数倍数”．请回答下列问题：(1)假如你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案？(2)为了保证嬉戏的公允性，你认为应选哪种猜数方案？[解](1)为了尽可能获胜，乙应选择方案B．猜“不是4的整数倍”，这是因为“不是4的整数倍”的概率为eq\f(8,10)＝0.8，超过了0.5，故为了尽可能获胜，选择方案B．(2)为了保证嬉戏的公允性，应当选择方案A，这是因为方案A是猜“是奇数”和“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该嬉戏的公允性．嬉戏公允性的标准及推断方法1嬉戏规则是否公允，要看对嬉戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同.若相同，则规则公允，否则就是不公允的.2详细推断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较.一、学问必备1．概率与频率的区分：频率是一个变量，随着试验次数的改变而改变，概率是一个定值，是某事务的固有属性．2．概率与频率的关系：对于一个事务而言，概率是一个常数，频率则随试验次数的改变而改变，次数越多频率越接近其概率，因此可以用随机事务的频率来估计其概率．二、方法必备由统计定义求概率的一般步骤(1)确定随机事务A的频数nA(n为试验的总次数)；(2)由fn(A)＝eq\f(nA,n)计算频率fn(A)；(3)由频率fn(A)估计概率P(A)．1．下列说法正确的是()A．任何事务的概率总是在(0,1)之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率D．概率是随机的，在试验前不能确定C[必定事务发生的概率为1，不行能事务发生的概率为0，所以任何事务发生的概率总在[0,1]之间，故A错，B，D混淆了频率与概率的概念，故B，D错．]2．给出下列3种说法：①设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是eq\f(3,7)；③随机事务发生的频率就是这个随机事务发生的概率．其中正确说法的个数是()A．0B．1C．2D．3A[由频率与概率之间的联系与区分知，①②③均不正确．]3．设某厂产品的次品率为2%，估算该厂8000件产品中合格品的件数可能为()A．160 B．7840C．7998 D．7800B[次品率为2%，故次品约8000×2%＝160(件)，故合格品的件数可能为7840.]4．在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地匀称的硬币做了100次试验，发觉正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为()