《28.4表示一组数据波动程度的量》讲义VIP

《28.4表示一组数据波动程度的量》讲义初中沪教版（上海）九年级第二学期第二十八章统计初步第二节基本的统计量之28.4表示一组数据波动程度的量讲义一、知识简介同学们，今天咱们来学习表示一组数据波动程度的量。在生活中，我们常常会遇到各种各样的数据，这些数据有时候不是固定不变的，而是会有波动的。那怎么去衡量这种波动程度呢？这就需要用到我们今天要学的知识啦。1、方差方差是用来衡量一组数据波动大小的量。对于一组数据\（x_1,x_2,＼cdots,x_n\），它们的平均数是\（＼overline{x}＼），方差的计算公式就是\（s^2＝＼frac{1}｛n}（x_1＼overline{x}）＾2+（x_2＼overline{x}）＾2+＼cdots+（x_n＼overline{x}）＾2\）。这个公式看起来有点复杂，但是咱们一步一步来理解。首先呢，＼（（x_i＼overline{x}）＼）表示的是每个数据与平均数的差，这个差的平方就是为了避免正负相互抵消，因为我们只关心数据偏离平均数的距离，不管是比平均数大还是小。然后把所有这些差的平方加起来，再除以数据的个数\（n\），就得到了方差\（s^2\）。方差越大，说明这组数据的波动越大；方差越小，说明这组数据越稳定，波动越小。2、标准差标准差就是方差的算术平方根，用\（s\）表示，即\（s=＼sqrt{s^2}＼）。标准差的意义和方差是类似的，也是用来衡量数据波动程度的，只不过标准差的单位和数据的单位是一样的，有时候在实际应用中更方便理解。二、精讲精练例1：有一组数据\（3,4,5,6,7\），咱们来求这组数据的方差和标准差。1、首先求平均数\（＼overline{x}＼）＼（＼overline{x}＝（3＋4＋5＋6＋7)＼div5\）＼（＝（7＋11＋7)＼div5\）＼（＝（18＋7)＼div5\）＼（＝25\div5\）＼（＝5\）2、然后求方差\（s^2\）＼（s^2=＼frac{1}｛5}（35)＾2+（45)＾2+（55)＾2+（65)＾2+（75)＾2\）＼（＝＼frac{1}｛5}（－2)＾2+（－1)＾2+0^2+1^2+2^2\）＼（＝＼frac{1}｛5}（4＋1＋0＋1＋4)＼）＼（＝＼frac{1}｛5}＼times10\）＼（＝2\）3、最后求标准差\（s\）＼（s＝＼sqrt{2}＼）同学们，现在咱们来互动一下。谁能告诉我，从这个方差和标准差能看出这组数据有什么特点吗？（让学生回答，然后总结）对啦，因为方差\（2\）不是很大，标准差\（＼sqrt{2}＼）也不是很大，所以这组数据的波动不是很大，相对比较稳定。仿真练习：11、求数据\（2,4,6,8,10\）的方差和标准差。例2：两组数据\（A:1,2,3,4,5\）和\（B:3,3,3,3,3\），比较它们的方差大小。1、先求数据\（A\）的平均数\（＼overline{x_A}＼）＼（＼overline{x_A}＝（1＋2＋3＋4＋5)＼div5\）＼（＝（3＋7＋5)＼div5\）＼（＝（10＋5)＼div5\）＼（＝15\div5\）＼（＝3\）2、求数据\（A\）的方差\（s_A^2\）＼（s_A^2=＼frac{1}｛5}（13)＾2+（23)＾2+（33)＾2+（43)＾2+（53)＾2\）＼（＝＼frac{1}｛5}（－2)＾2+（－1)＾2+0^2+1^2+2^2\）＼（＝＼frac{1}｛5}（4＋1＋0＋1＋4)＼）＼（＝＼frac{1}｛5}＼times10\）＼（＝2\）3、数据\（B\）的平均数\（＼overline{x_B}＝3\）4、求数据\（B\）的方差\（s_B^2\）＼（s_B^2=＼frac{1}｛5}（33)＾2+（33)＾2+（33)＾2+（33)＾2+（33)＾2\）＼（＝＼frac{1}｛5}（0＋0＋0＋0＋0)＼）＼（＝0\）所以\（s_A^2>s_B^2\），这说明数据\（A\）的波动比数据\（B\）的波动大，数据\（B\）是一组常数，没有波动，所以方差为\（0\）。同学们，那你们想想，如果一组数据的方差为\（0\），这组数据有什么特点呢？（引导学生回答）对，这组数据都是一样的。仿真练习：21、比较数据\（C:2,2,3,3,4,4\）和\（D:1,1,5,5,5,5\）的方差大小。三、课后作业1、求数据\（1,3,5,7,9\）的方差和标准差。2、有两组数据\（E:4,4,4,4,4\）和\（F:1,3,5,7,9\），比较它们的方差大小，并说明哪组数据波动更大。参考答案仿真练习：11、平均数\（＼overline{x}＝（2＋4＋6＋8＋10)＼div5＝6\）方差\（s^2=＼frac{1}｛5}（26)＾2+（46)＾2+（66)＾2+（86)＾2+（106)＾2\）＼（＝＼frac{1}｛5}（－4)＾2+（－2)＾2+0^2+2^2+4^2\）＼（＝＼frac{1}｛5}（16＋4＋0＋4＋16)＼）＼（＝＼frac{1}｛5}＼times40＝8\）标准差\（s=＼sqrt{8}＝2\sqrt{2}＼）21、先求数据\（C\）的平均数\（＼overline{x_C}＝（2＋2＋3＋3＋4＋4)＼div6＝3\）方差\（s_C^2=＼frac{1}｛6}（23)＾2+（23)＾2+（33)＾2+（33)＾2+（43)＾2+（43)＾2\）＼（＝＼frac{1}｛6}（－1)＾2+（－1)＾2+0^2+0^2+1^2+1^2\）＼（＝＼frac{1}｛6}（1＋1＋0＋0＋1＋1)＼）＼（＝＼frac{1}｛6}＼times4=＼frac{2}｛3}＼）再求数据\（D\）的平均数\（＼overline{x_D}＝（1＋1＋5＋5＋5＋5)＼div6＝4\）方差\（s_D^2=＼frac{1}｛6}（14)＾2+（14)＾2+（54)＾2+（54)＾2+（54)＾2+（54)＾2\）＼（＝＼frac{1}｛6}（－3)＾2+（－3)＾2+1^2+1^2+1^2+1^2\）＼（＝＼frac{1}｛6}（9＋9＋1＋1＋1＋1)＼）＼（＝＼frac{1}｛6}＼times22=＼frac{11}｛3}＼）因为\（＼frac{2}｛3}＜＼frac{11}｛3}＼），所以\（s_C^2<s_D^2\），数据\（D\）的波动更大。课后作业：1、平均数\（＼overline{x}＝（1＋3＋5＋7＋9)＼div5＝5\）方差\（s^2=＼frac{1}｛5}（15)＾2+（35)＾2+（55)＾2+（75)＾2+（95)＾2\）＼（＝＼frac{1}｛5}（－4)＾2+（－2)＾2+0^2+2^2+4^2\）＼（＝＼frac{1}｛5}（16＋4＋0＋4＋16)＼）＼（＝＼fr