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《28.4表示一组数据波动程度的量》讲义初中沪教版(上海)九年级第二学期第二十八章统计初步第二节基本的统计量之28.4表示一组数据波动程度的量讲义一、知识简介同学们,今天咱们来学习表示一组数据波动程度的量。在生活中,我们常常会遇到各种各样的数据,这些数据有时候不是固定不变的,而是会有波动的。那怎么去衡量这种波动程度呢?这就需要用到我们今天要学的知识啦。1、方差方差是用来衡量一组数据波动大小的量。对于一组数据\(x_1,x_2,\cdots,x_n\),它们的平均数是\(\overline{x}\),方差的计算公式就是\(s^2=\frac{1}{n}(x_1\overline{x})^2+(x_2\overline{x})^2+\cdots+(x_n\overline{x})^2\)。这个公式看起来有点复杂,但是咱们一步一步来理解。首先呢,\((x_i\overline{x})\)表示的是每个数据与平均数的差,这个差的平方就是为了避免正负相互抵消,因为我们只关心数据偏离平均数的距离,不管是比平均数大还是小。然后把所有这些差的平方加起来,再除以数据的个数\(n\),就得到了方差\(s^2\)。方差越大,说明这组数据的波动越大;方差越小,说明这组数据越稳定,波动越小。2、标准差标准差就是方差的算术平方根,用\(s\)表示,即\(s=\sqrt{s^2}\)。标准差的意义和方差是类似的,也是用来衡量数据波动程度的,只不过标准差的单位和数据的单位是一样的,有时候在实际应用中更方便理解。二、精讲精练例1:有一组数据\(3,4,5,6,7\),咱们来求这组数据的方差和标准差。1、首先求平均数\(\overline{x}\)\(\overline{x}=(3+4+5+6+7)\div5\)\(=(7+11+7)\div5\)\(=(18+7)\div5\)\(=25\div5\)\(=5\)2、然后求方差\(s^2\)\(s^2=\frac{1}{5}(35)^2+(45)^2+(55)^2+(65)^2+(75)^2\)\(=\frac{1}{5}(-2)^2+(-1)^2+0^2+1^2+2^2\)\(=\frac{1}{5}(4+1+0+1+4)\)\(=\frac{1}{5}\times10\)\(=2\)3、最后求标准差\(s\)\(s=\sqrt{2}\)同学们,现在咱们来互动一下。谁能告诉我,从这个方差和标准差能看出这组数据有什么特点吗?(让学生回答,然后总结)对啦,因为方差\(2\)不是很大,标准差\(\sqrt{2}\)也不是很大,所以这组数据的波动不是很大,相对比较稳定。仿真练习:11、求数据\(2,4,6,8,10\)的方差和标准差。例2:两组数据\(A:1,2,3,4,5\)和\(B:3,3,3,3,3\),比较它们的方差大小。1、先求数据\(A\)的平均数\(\overline{x_A}\)\(\overline{x_A}=(1+2+3+4+5)\div5\)\(=(3+7+5)\div5\)\(=(10+5)\div5\)\(=15\div5\)\(=3\)2、求数据\(A\)的方差\(s_A^2\)\(s_A^2=\frac{1}{5}(13)^2+(23)^2+(33)^2+(43)^2+(53)^2\)\(=\frac{1}{5}(-2)^2+(-1)^2+0^2+1^2+2^2\)\(=\frac{1}{5}(4+1+0+1+4)\)\(=\frac{1}{5}\times10\)\(=2\)3、数据\(B\)的平均数\(\overline{x_B}=3\)4、求数据\(B\)的方差\(s_B^2\)\(s_B^2=\frac{1}{5}(33)^2+(33)^2+(33)^2+(33)^2+(33)^2\)\(=\frac{1}{5}(0+0+0+0+0)\)\(=0\)所以\(s_A^2>s_B^2\),这说明数据\(A\)的波动比数据\(B\)的波动大,数据\(B\)是一组常数,没有波动,所以方差为\(0\)。同学们,那你们想想,如果一组数据的方差为\(0\),这组数据有什么特点呢?(引导学生回答)对,这组数据都是一样的。仿真练习:21、比较数据\(C:2,2,3,3,4,4\)和\(D:1,1,5,5,5,5\)的方差大小。三、课后作业1、求数据\(1,3,5,7,9\)的方差和标准差。2、有两组数据\(E:4,4,4,4,4\)和\(F:1,3,5,7,9\),比较它们的方差大小,并说明哪组数据波动更大。参考答案仿真练习:11、平均数\(\overline{x}=(2+4+6+8+10)\div5=6\)方差\(s^2=\frac{1}{5}(26)^2+(46)^2+(66)^2+(86)^2+(106)^2\)\(=\frac{1}{5}(-4)^2+(-2)^2+0^2+2^2+4^2\)\(=\frac{1}{5}(16+4+0+4+16)\)\(=\frac{1}{5}\times40=8\)标准差\(s=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)21、先求数据\(C\)的平均数\(\overline{x_C}=(2+2+3+3+4+4)\div6=3\)方差\(s_C^2=\frac{1}{6}(23)^2+(23)^2+(33)^2+(33)^2+(43)^2+(43)^2\)\(=\frac{1}{6}(-1)^2+(-1)^2+0^2+0^2+1^2+1^2\)\(=\frac{1}{6}(1+1+0+0+1+1)\)\(=\frac{1}{6}\times4=\frac{2}{3}\)再求数据\(D\)的平均数\(\overline{x_D}=(1+1+5+5+5+5)\div6=4\)方差\(s_D^2=\frac{1}{6}(14)^2+(14)^2+(54)^2+(54)^2+(54)^2+(54)^2\)\(=\frac{1}{6}(-3)^2+(-3)^2+1^2+1^2+1^2+1^2\)\(=\frac{1}{6}(9+9+1+1+1+1)\)\(=\frac{1}{6}\times22=\frac{11}{3}\)因为\(\frac{2}{3}<\frac{11}{3}\),所以\(s_C^2<s_D^2\),数据\(D\)的波动更大。课后作业:1、平均数\(\overline{x}=(1+3+5+7+9)\div5=5\)方差\(s^2=\frac{1}{5}(15)^2+(35)^2+(55)^2+(75)^2+(95)^2\)\(=\frac{1}{5}(-4)^2+(-2)^2+0^2+2^2+4^2\)\(=\frac{1}{5}(16+4+0+4+16)\)\(=\fr
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