向量的数量积与三角恒等变换 2024-2025学年高中数学一轮复习专题训练（含答案）

向量的数量积与三角恒等变换--2025届高中数学一轮复习专题训练

一、选择题1．已知向量,满足,且,则()A. B. C. D.2．若，且，则()A. B. C. D.3．已知点是角终边上一点,则()A. B. C. D.4．对任意向量，，下列关系式中恒成立的序号是()①；②；③；④A.③，④； B.②，③，④； C.①，③，④； D.①，④.5．已知空间向量，满足，，，则的值为()A.1 B. C.2 D.46．已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线上，则()A. B. C. D.7．已知向量，满足，且，则()A. B. C. D.8．已知向量,,若,则()A.10 B.5 C. D.9．已知角的始边与x轴非负半轴重合,终边过点,则()A. B. C. D.10．已知,,,则在上的投影向量为()A. B. C. D.二、填空题11．已知平面向量,,,,则的最小值为________.12．《易经》是中华民族智慧的结晶,易有太极,太极生两仪,两仪生四象,四象生八卦,易经包含了深刻的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形ABCDEFGH,其中,O为正八边形的中心,则________.13．已知向量,,,则x的值为____________.14．已知向量,,且,则向是在向量上的投影向量坐标是_______.三、解答题15．对于一组向量（且），令，如果存在，使得，那么称，是该向量组的“H向量”．(1)设，若是向量组，，的“H向量”，求实数x的取值范围；(2)若，向量组，，，，是否存在“H向量”？若存在求出所有的“H向量”，若不存在说明理由；(3)已知，，均是向量组，，的“H向量”，其中，，求证：可以写成一个关于的二次多项式与一个关于的二次多项式的乘积．

参考答案1．答案：A解析：由得,,两式相减得,,所以,则.故选:A.2．答案：D解析：因为，又，即，则，所以，，故.故选：D3．答案：B解析：点是角终边上一点,则,所以.故选:B.4．答案：C解析：对于①，，当且仅当，共线时，等号成立，①正确；对于②，，，其中，故，即，当且仅当，反向共线时，等号成立，②错误；对于③，，③正确；对于④，，④正确.故选：C5．答案：C解析：因为，，，所以，所以.故选：C6．答案：B解析：根据题意可知：，所以，则.故选B7．答案：A解析：由得，两式相减得，，所以，则.故选：A.8．答案：C解析：由,则,即,,,故选:C.9．答案：D解析：因为角的始边与x轴非负半轴重合,终边过点,所以,所以.故选：D.10．答案：C解析：由得,,设与夹角为,则,解得,所以在上的投影向量为,故选：C．11．答案：4解析：因为,,,则,当且仅当时,等号成立,所以的最小值为16,即的最小值为4.故答案为:4.12．答案：/解析：在正八边形ABCDEFGH中,连接HC,则,而,即,于是,在等腰梯形ABCH中,,所以.故答案为:13．答案：5解析：因为,,所以,又,所以,解得.故答案为：5.14．答案：解析：由题意知,因为,可得,解得,所以在上的投影向量为.15．答案：(1)(2)存在“H向量”，分别为，，(3)答案见解析解析：(1)由题意可得：，因为，则，，则，即，整理得，解得，所以实数x的取值范围为.(2)存在，理由如下：假设存在“H向量”，因为，且，则由题意，只需要使得，又因为，则，可得，由，即，整理得，解得，又因为，即，6，10满足上式，所以存在“H向量”，分别为，，