2025届高中数学一轮复习专题训练 基本图形位置关系（含解析）

2025届高中数学一轮复习专题训练基本图形位置关系

一、选择题1．已知,是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,能使成立的一组条件是()A.,, B.,,C.,, D.,,2．如图,AB是圆O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,平面ABC,则四面体的四个面中,直角三角形的个数为()A.1 B.2 C.3 D.43．已知两条不同的直线m,n,两个不同的平面,则()A.若,,,则B.若,,,则C.若,则D.若,,则4．已知某圆锥的侧面积为,轴截面面积为1,则该圆锥的母线与底面所成的角为()A. B. C. D.5．已知m是直线，，是两个不同的平面，下列正确的命题是()A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则6．已知直线平面，直线平面，则()A.若l与m垂直，则l与一定垂直B.若l与m所成的角为，则l与所成的角也为C.是的充分不必要条件D.若l与相交，则l为m一定是异面直线7．如图,在长方体中,若E,F,G,H分别是棱,,,上的动点,且,则必有()A. B.C.平面平面EFGH D.平面平面EFGH8．如图,在长方体中,若E,F,G,H分别是棱,,,上的动点,且,则必有()A. B.C.平面平面EFGH D.平面平面EFGH二、多项选择题9．下列命题中是假命题的为()A.若向量，则与，共面B.若与，共面，则C.若，则P，M，A，B四点共面D.若P，M，A，B四点共面，则10．已知m,n为两条不同的直线,,为两个不同的平面,则下列结论错误的是()A.,,则B.,,,,则C.,,,则D.,,,则11．在长方体中，，，点P在线段上，则直线与平面所成角的正弦值可能为()A. B. C. D.三、填空题12．如图,已知平面ABC,,,E,F分别为棱BD,AC上的动点（含端点）,则线段EF长度的最小值为________.13．在《九章算术》中,将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图,四棱锥为阳马,侧棱底面ABCD,,,E为棱的中点,则直线CE与平面PAB所成角的余弦值为________.14．在正方体中,点E,F分别是,AB上的点,,,,则点到直线EF的距离为__________.四、解答题15．如图，在多面体DABCE中，是等边三角形，，.(1)求证：；(2)若二面角为，求直线DE与平面ACD所成角的正弦值.16．如图1,在中,,,E为BC的中点,F为AB上一点,,且.现将沿EF翻折到,如图2.（1）证明:.（2）已知二面角为,在棱AC上是否存在点M,使得直线BC与平面所成角的正弦值为?若存在,确定M的位置;若不存在,请说明理由.17．如下图，在正方体中，棱长为2，M，N，P分别是，，的中点.（1）画出过M，N，P三点的平面与平面、平面的交线；（2）设过M，N，P三点的平面与交于点Q，求的长.18．如图，在多面体ABCDEF中，梯形ADEF与平行四边形ABCD所在平面互相垂直，，，，，.（1）求证：平面CDE.（2）求二面角的余弦值.（3）判断线段BE上是否存在点Q，使得平面平面BEF？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.19．如图，四棱锥的底面是正方形，设平面PAD与平面PBC相交于直线l.（1）证明：.（2）若平面平面，，，求直线PC与平面PAD所成角的正弦值.

参考答案1．答案：B解析：对于A,若,,,则,故A错误,对于B,若,,,则,故B正确,对于C,若,,,则m,n可能相交,平行或异面,故C错误,对于D,若,,,则m,n可能相交,平行或异面,故D错误.故选:B2．答案：D解析：因为平面ABC,平面ABC,平面ABC,平面ABC所以,,,所以,为直角三角形,又因为AB是圆O的直径,所以,为直角三角形因为,平面PAC,平面PAC所以平面PAC又平面PAC,所以,为直角三角形综上,四面体的四个面都是直角三角形.故选:D3．答案：D解析：对于A,若,,,则m,n可能平行,也可能异面,A错误;对于B,若,,,则可能有,也可能有,B错误;对于C,若,则有可能是,也可能,C错误,对于D,根据线面平行的性质定理可知若,,则,正确,故选：D.4．答案：C解析：设圆锥的母线为,底面半径为,高为,由题意可得:,解得,设该圆锥的母线与底面所成的角为,则,可得,所以该圆锥的母线与底面所成的角为.故选:C.5．答案：D解析：选项A：根据给定条件有或；选项B：根据给定条件有或；选项C：根据给定条件有m与的位置可能平行、相交或m在内；选项D：因为，所以存在直线使得，又因为，所以，因为，所以.故选：D.6．答案：C解析：对于A，当l与m垂直时，由线面垂直判定定理可得l与不一定垂直，A错误；对于B选项，由线面角的定义可知，l与所成的角是直线l与平面内所有直线所成角中最小的角，若l与m所成的角为，则l与所成的角满足，B错；对于C选项，若，，，则，即，若，因为，则l与m平行或异面，即，所以，是的充分不必要条件，C对；对于D选项，若l与相交，则l与m相交或异面，D错.7．答案：B解析：若点E与重合,点H与点重合,则与EH的夹角便是与的夹角,显然与的夹角不是,所以错误,A错误;当FG与重合时,由可得,当FG与不重合时,因为,平面,平面,所以平面,平面,平面平面,所以,又,所以,B正确;当平面EFGH与平面重合时,平面与平面不垂直,C错误;当FG与BC重合时,平面与平面EFGH相交,D错误.故选;B.8．答案：B解析：若点E与重合,点H与点重合,则与EH的夹角便是与的夹角,显然与的夹角不是,所以错误,A错误;当FG与重合时,由可得,当FG与不重合时,因为,平面,平面,所以平面,平面,平面平面,所以,又,所以,B正确;当平面EFGH与平面重合时,平面与平面不垂直,C错误;当FG与BC重合时,平面与平面EFGH相交,D错误.故选;B.9．答案：BD解析：AC为真命题.B中需满足，不共线，D中需满足M，A，B三点不共线.10．答案：ABD解析：对于A,若,,则或,A错误;对于B,若,,,,则或,相交,只有加上条件m,n相交,结论才成立,B错误;对于C,若,,则,又因为,所以,C正确;对于D,若,,无法得到,只有加上条件才能得出结论,D错误.故选:ABD.11．答案：AB解析：连结，因为平面，平面，所以平面平面，且平面平面，过点P作，连结，则平面，为与平面所成线面角，因为，，所以四边形是平行四边形，所以，且平面，平面，所以平面，所以，连结，，，因为，当点P是的中点时，，此时最短，，当点P在或时，最长，最大值为5，所以，选项AB在范围内.所以直线与平面所成角的正弦值可能为或.故选：AB12．答案：/解析：过E作交AB于O,连接OF,由于平面ABC,故平面ABC,平面ABC,故,故,设,,,,则,故,当OE长度一定时,此时要使EF最小,则OF最小,故,,则,,故当时,此时EF取最小值,故答案为:13．答案：/解析：因为平面ABCD,平面ABCD,故可得,又,,PA,平面PAB,故平面PAB,连接EB,故即为所求直线CE与平面PAB所成角.由,,故在直角三角形CBE中,,故,则,则直线CE与平面PAD所成角的余弦值为,故答案为:.14．答案：6解析:如图,连接,,,CF,则,,所以,,,在中,,所以,即到直线EF的距离为,长度为6.故答案为:615．答案：(1)证明见解析(2)解析：(1)取BC中点O，连接AO，EO.是等边三角形，O为BC中点，，又，，，平面,平面，又平面AEO，.(2)连接DO，则，由，得，，又，，，又，平面,平面.如图，以O为坐标原点，OA，OB，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，设平面ACD的法向量为，则即取，则.是二面角的平面角，，又，，，则，直线DE与平面ACD所成角的正弦值为.16．答案：（1）证明见解析（2）存在,解析：（1）证明:翻折前,在中,,翻折后,有,,又,AF,平面,所以平面,因为平面,所以.（2）因为二面角为,,,所以,二面角的平面角为,以点F为坐标原点,FE,FA所在直线为x,y轴,过点F且垂直于平面ABC的直线为z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,不妨设,则,,,,.,,,.设,,其中,设平面的法向量为,由得,取,可得,,解得,合乎题意,故当时,直线BC与平面所成角的正弦值为.17．答案：（1）答案见解析（2）解析：（1）如图所示：平面，与底面的交点K必在侧面与底面的交线上，过点M，N，P的平面与平面的交线是，（K在线段的延长线上），与平面的交线是（Q在线段上）.，，，，，.（2）由（1）可知：，，在中，由勾股定理得.18．答案：（1）证明见解析（2）（3）存在点Q，且此时解析：（1）证明：取DE的中点M，连接MF，MC，因为，所以，且，所以四边形ADMF是平行四边形，所以且.又因为且，所以且，所以四边形BCMF是平行四边形，所以.因为平面，平面CDE，所以平面CDE.（2）连接BD，因为平面平面ABCD，平面平面，，平面ADEF，所以平面ABCD，又平面ABCD，则，又，所以.故DA，DB，DE两两垂直.以D为原点，DA，DB，DE所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，为平面DEF的一个法向量.设平面BEF的法向量为，由得令，得.所以.由图可得二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.（3）结论：线段BE上存在点Q，且，使得平面平面BEF.证明如下：设，所以.设平面CDQ的法向量为，又因为，所以即若平面平面BEF，则，即.③联立①②③，解得.所以线段BE上存在点Q，使得平面平面BEF，且此时.19．答案：（1）证明见解析