2024-2025学年湖北省武汉十七中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖北省武汉十七中高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.从装有十个红球和十个白球的罐子里任取2球，下列情况中互斥而不对立的两个事件是(

)A.至少有一个红球，至少有一个白球 B.恰有一个红球，都是白球

C.至少有一个红球，都是白球 D.至多有一个红球，都是红球2.对空间任意一点O和不共线三点A，B，C，能得到A，B，C，D四点共面的是(

)A.OD=OA+2OB−3OC B.OD3.向量{a,b,c}是空间的一个单位正交基底，向量p在基底a，b，c下的坐标为(−1,2,3)，则pA.(12,−32,3) B.(−14.如图，四面体OABC中，点E为OA中点，F为BE中点，G为CF中点，设OA=a,OB=b,A.14a+14b+125.在▵ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且▵ABC的面积S▵ABC=3，S▵ABCA.3 B.−3 C.26.如图，某电子元件由A，B，C三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，A，B，C三种部件不能正常工作的概率分别为15，14，13，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是(

)

A.1825 B.725 C.64757.已知二面角α−l−β的棱上两点A，C，线段AB与CD分别在这个二面角内的两个半平面内，并且都垂直于棱l.若AB=6，CD=8，AC=2，BD=12.则这两个平面的夹角的余弦值为(

)A.512 B.45 C.358.在空间直角坐标系Oxyz中，定义：经过点P(x0,y0,z0)且一个方向向量为m=(a,b,c)(abc≠0)的直线l方程为x−x0a=y−y0b=z−z0c，经过点P(x0,A.16 B.15 C.56二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设A，B为古典概率模型中的两个随机事件，以下命题正确的为(

)A.若P(A)=13，P(B)=12，则当且仅当P(A+B)=56时，A，B是互斥事件

B.若P(A)=13，P(B)=23，则A+B是必然事件

C.若P(A)=13，P(B)=23，则P(A+B)=7910.已知空间三点A(1,3,2)，B(0,2,4)，C(3,4,5)，则下列说法正确的是(

)A.AB⋅AC=3

B.AC在AB方向上的投影向量为(12,12,−1)

C.点C到直线11.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，N为底面ABCD的中心，P为线段A1D1上的动点A.CM与PN是异面直线

B.平面PAN⊥平面BDD1B1

C.存在P点使得PN⊥AN

D.当P为线段A1D1中点时，过A三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在用随机数(整数)模拟“有5个男生和5个女生，从中抽选4人，求选出2个男生2个女生的概率”时，可让计算机产生0～9的随机整数，并且0∼4代表男生，用5∼9代表女生.因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组.通过模拟试验产生了20组随机数：68303215705664317840452378342604534609526837981657344725657859249768605191386754由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为______．13.已知平面α内一点P(8,9,5)，点Q(1,2,2)在平面α外，若α的一个法向量为n=(4,3,−12)，则Q到平面α的距离为______．14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3asinC−a−b=a2−b2−四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD//BC，BC=12AD，PA=AB=2，E为棱PD的中点．

(1)求证：EC//平面PAB；

(2)当PC=3时，求直线PC与平面BCE16.(本小题12分)

2023年，某省实行新高考，数学设有4个多选题，在给出的A，B，C，D四个选项中，有两项或三项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.现正在进行数学学科期中考试．

(1)根据以往经验，小李同学做对第一个多选的概率为34，做对第二个多选题的概率为12，对第三个多选题的概率为16.求小李同学前三个多选题错一个的概率．

(2)若最后一道数学多选题有三个正确的选项，而小智和小博同学完全不会做，只能对这道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的，若小智打算从中随机选择一个选项，小博打算从中随机选择两个选项．

(i)求小博得2分的概率；

17.(本小题12分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中底面为正三角形，AA1=4，AB=2，∠A1AB=∠A118.(本小题12分)

2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，航天员翟志刚、王亚平、叶光富完成在轨驻留半年的太空飞行任务，标志着中国空间站关键技术验证阶段圆满完成.并将进入建造阶段，洪山区为了激发市民对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分100分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有m人，这m人按年龄分成5组，其中第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．

(1)根据频率分布直方图，估计这m人的第60百分位数；(精确到0.1)

(2)现从第四组和第五组用分层随机抽样的方法抽取6人，担任“党章党史”宣传使者．

①有甲(年龄36)，乙(年龄42)，且甲、乙确定入选，从6人中要选择两个人担任组长，求甲、乙两人至少有一人被选上组长的概率；

②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄平均数和方差．19.(本小题12分)

如图，在多面体ABCDEF中，侧面BCDF为菱形，侧面ACDE为直角梯形，AC//DE，AC⊥CD，N为AB的中点，点M为线段DF上一动点，且BC=23，AC=2DE，∠DCB=120°．

(1)若点M为线段DF的中点，证明：MN//平面ACDE；

(2)若平面BCDF⊥平面ACDE，且DE=2，问：线段DF上是否存在点M，使得直线MN与平面ABF所成角的正弦值为310？若存在，求出

参考答案1.B

2.B

3.A

4.B

5.D

6.C

7.A

8.A

9.ACD

10.ACD

11.BD

12.1213.1

14.6+215.解：(1)证明：取PA中点为M，连接ME，MB，如下图所示：

在△PAD中，因为M，E分别为PA，PD的中点，

故ME//AD,ME=12AD，

又AD//BC,BC=12AD，

故ME/​/BC，ME=BC，则四边形MBCE为平行四边形，EC//MB，

又MB⊂面PAB，EC⊄面PAB，

故EC/​/面PAB．

(2)过点P作BM延长线的垂线，垂足为N，连接NC，如下图所示：

由(1)可知，EC//BM，

故平面BCE也即平面NMBCE，

因为AB⊥AD，BC/​/AD，

则BC⊥AB，

又PA⊥面ABCD，BC⊂面ABCD，

故BC⊥PA，

又PA∩AB=A，PA，AB⊂面PAB，

故BC⊥面PAB，

又PN⊂面PAB，则PN⊥BC，又PN⊥BN，

BC∩BN=B，BC，BN⊂面BCE，

故PN⊥面BCE，

则∠PCN即为PC与平面BCE的夹角，

在△ABM中，因为AB=2,AM=12PA=1，

则BM=AB2+AM2=5，sin∠AMB=255，

在△PMN中，因为PM=16.解：(1)根据题意，设事件A=“小李同学前三个多选题错一个”，

则P(A)=(1−34)×12×16+34×(1−12)×16+34×12×(1−16)=1948；

(2)设小博得分为X，小智得分为Y，

(i)根据题意，最后一道数学多选题有三个正确的选项，不妨设正确的选项为ABC，

而小博打算从选项中随机选择两个选项，有AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种情况，

其中得2分的有AB、AC、17.解：(1)证明：因为BC=AC−AB，所以AA1⋅BC=AA1⋅(AC−AB)=AA1⋅AC−AA1⋅AB

=|AA1|⋅|AC|cos<AA1，AC>−|AA1|⋅|AB|cos<AA1，AB>=0，所以AA1⊥BC，即AA1⊥BC；

(2)取AB的中点M，连接AC1交A1C于点O，连接CM、OM，则18.解：(1)设第60百分位数为a，

∵0.01×5+0.07×5=0.4<0.6，0.01×5+0.07×5+0.06×5=0.7>0.6，

∴a位于第三组：[30,35)内，

∴a=30+0.6−0.45×0.06×(35−30)≈33.3；

(2)①由题意得，第四组和第五组抽取人数之比为2：1，即第四组4人，记为A，B，C，甲，

第五组2人，记为D，乙，

对应的样本空间为：AB，AC，A甲，AD，A乙，BC，B甲，BD，B乙，C甲，CD，C乙，甲D，甲乙，D乙，共15个样本点，

设事件M为“甲、乙两人至少一人被选上”，

则有A甲，A乙，B甲，B乙，C甲，C乙，甲D，甲乙，D乙，共有9个样本点，

∴P(M)=915=35；

②设第四组的宣传使者的年龄平均数分为x−=36，方差为s12=52，

设第五组的宣传使者的年龄平均数为y−=42，方差为s22=1，

19.证明：(1)取AC的中点G，连接GN，DG，

因为M，N分别为DF，AB的中点，在菱形BCDF中，所以GN/​/BC，DM//BC，且GN=12BC=DM，

所以四边形MNGD为平行四边形，所以MN//DG，

而MN⊄平面ACDE，DG⊂平面ACDE，

可证得：MN/​/平面ACDE；

(2)因为平面BCDF⊥平面ACDE，∠DCB=120°，取DF的中点H，

由(1)可得CH⊥DF，菱形BCDF中，

即CH⊥BC，平面BCDF∩平面ACDE=BC，HC⊂平面BCDF，

所以HC⊥底面ABC，

所以HC⊥AC，而AC⊥CD，CM∩CD=C，

所以AC⊥平面BCDF，

所以AC⊥BC，

建立以CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，CH所在的直线为z轴的