沪科版八年级数学上册第15章轴对称图形与等腰三角形15-3等腰三角形第2课时等腰三角形的判定定理及其推论课件

第15章轴对称图形与等腰三角形15.3等腰三角形第2课时等腰三角形的判定定理及其推论知识点4等腰三角形的判定定理基础过关全练1.(2023安徽六安舒城联考)在如图所示的4个三角形中,均有

AB=AC,则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三

角形分成两个小等腰三角形的是()A.①③

B.①②④

C.①②③④

D.①③④D解析①中的三角形能被分成两个小等腰三角形,其内角度

数分别为36°,36°,108°和36°,72°,72°;②不能;③原等腰直角三角形的斜边上的高能把它分为两个小等腰直角三角形;④中的三角形能分成两个小等腰三角形,其内角度数分别为36°,72°,72°和36°,36°,108°.2.(2023浙江丽水中考)如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交

BC于点D,交AC于点E,∠B=∠ADB.若AB=4,则DC的长是

.4解析∵∠B=∠ADB,AB=4,∴AD=AB=4.∵DE是AC的垂直

平分线,∴DC=AD=4.知识点5等腰三角形判定定理的推论3.(2024广东肇庆德庆期末)在△ABC中,AB=BC=6,∠B=60°,

则AC等于()A.4

B.6

C.8

D.10B解析∵AB=BC=6,∠B=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AC=

6.故选B.4.如图,在一村庄旁有一池塘,两旁分别有一段笔直的小路BC

和一棵小树A,小明测得∠ABC=60°,∠ACB=60°,BC=50米,则

小树A到B点的距离即AB的长度为()

A.40米

B.45米C.50米

D.55米C解析∵∠ABC=60°,∠ACB=60°,∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=

60°,∴△ABC是等边三角形,∴AB=BC=50米,故选C.知识点6含30°角的直角三角形的性质定理5.(2024河南商丘虞城期末)如图,在△ABC中,∠BCA=90°,CD

⊥AB,垂足为点D,∠BCD=30°,BD=2,则AB的长为

()A.2

B.4

C.8

D.16C解析∵CD⊥AB,∴∠CDB=90°.∵∠BCD=30°,BD=2,∴BC

=2BD=4,∠B=90°-∠BCD=60°.∵∠BCA=90°,∴∠A=90°-∠B=30°,∴AB=2BC=8,故选C.6.在Rt△ABC中,∠C=90°,若∠A=30°,AB=8,则BC的长为

.4解析如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=8,∴BC=

AB=4.能力提升全练7.(2023贵州中考,7,★☆☆)5月26日,“2023中国国际大数据

产业博览会”在贵阳开幕,在“自动化立体库”中有许多几

何元素,其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示),它的

顶角为120°,腰长为12m,则底边上的高是

()A.4m

B.6m

C.10m

D.12mB解析如图,过点A作AD⊥BC于点D,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC,∴∠B=∠C=

(180°-∠BAC)=30°.又∵AD⊥BC,∴AD=

AB=

×12=6(m),故选B.方法点拨

通过过点A作AD⊥BC于点D,构造直角三角形.根据等

腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠B=30°,再根据

含30°角的直角三角形的性质即可得出答案.8.(2023江西中考,10,★☆☆)将含30°角的直角三角板和直尺

按如图所示的方式放置,已知∠α=60°,点B,C表示的刻度分别

为1cm,3cm,则线段AB的长为

cm.2解析∵直尺的两对边相互平行,∴∠ACB=∠α=60°.∵∠A

=60°,∴∠ABC=180°-∠ACB-∠A=180°-60°-60°=60°,∴∠A=∠ABC=∠ACB,∴△ABC是等边三角形,∴AB=BC=3-1=2(cm).9.(一题多解)(2020广东中考,20,★☆☆)如图,在△ABC中,点

D,E分别是AB,AC边上的点,BD=CE,∠ABE=∠ACD,BE与CD

相交于点F.求证:△ABC是等腰三角形.证明证法一:在△BDF和△CEF中,

∴△BDF≌△CEF(AAS),∴BF=CF,DF=EF,∴BF+EF=CF+DF,即BE=CD.在△ABE和△ACD中,

∴△ABE≌△ACD(AAS),∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.证法二:在△BDF和△CEF中,

∴△BDF≌△CEF(AAS),∴BF=CF,∴∠FBC=∠FCB.∵∠ABE=∠ACD,∴∠ABE+∠FBC=∠ACD+∠FCB.∴∠ABC=∠ACB.∴AB=

AC,∴△ABC是等腰三角形.素养探究全练10.(推理能力)(创新意识)(2024安徽亳州利辛期末)在△ABC

中,∠BAC=75°,∠ACB=35°,∠ABC的平分线BD交边AC于点D.(1)如图1,求证:△BCD为等腰三角形;(2)如图2,若∠BAC的平分线AE交边BC于点E,在AC上截取

AH=AB,连接EH,求证:BD+AD=BE+AB;(3)如图3,∠HAB为△ABC的外角,若∠HAB的平分线AE交CB

延长线于点E,则(2)中的结论是否仍然成立?若不成立,请写

出正确的结论,并说明理由.解析(1)证明:∵∠BAC=75°,∠ACB=35°,∴∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=70°.∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=

∠ABC=35°,∴∠DBC=∠ACB,∴BD=CD,∴△BCD为等腰三角形.(2)证明:由(1)得,△BCD为等腰三角形,∴BD=CD,∴BD+AD=

CD+AD=AC.∵AE平分∠BAC,∴∠EAB=∠EAH.在△ABE和△AHE中,

∴△ABE≌△AHE(SAS),∴BE=EH,∠AHE=∠ABE=70°,∴∠HEC=∠AHE-∠ACB=35°,∴EH=

HC,∴AB+BE=AH+HC=AC,∴BD+AD=AB+BE.(3)(2)中的结论不成立,正确结论为BD+AD=BE-AB.理由:如图,在BE上截取BF=AB,连接AF,

∵BA=BF,∴∠BAF=∠BFA,∵∠ABC=70°,∠ABC=∠AFB+

∠BAF,∴∠AFB=∠BAF=35°.∵∠BAC=75°,∴∠HAB=180°-75°=105°.∵AE平分∠HAB,∴∠EAB=

∠HAB=52.5°,∴∠EAF=52.5°-35°=17.5°,∴∠AEF=∠ABC-∠EAB=70°-52.5°=17.5°,∴∠EAF=∠AEF,∴AF=EF.∵∠AFC=∠C=35°,∴AF=AC=EF,∴BE-AB=BE-BF=EF=

AC=AD+CD=AD+BD.∴BD+AD=BE-AB.微专题(七)

等边三角形中的“手拉手”模型1.(2024安徽淮南寿县月考)如图,D是等边△ABC的边AC上的

一点,E是等边△ABC外一点,若BD=CE,∠1=∠2,则△ADE的

形状是

()A.等腰三角形

B.直角三角形C.等边三角形

D.钝角三角形C解析∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC,∠BAD=60°,在△ABD和△ACE中,

∴△ABD≌△ACE(SAS),∴AD=AE,∠BAD=∠CAE=60°,∴△ADE是等边三角形.2.(2024安徽合肥庐江月考)如图,已知△ABC与△CDE都是等

边三角形,点B、C、D在同一条直线上,AD与BE相交于点G,

BE与AC相交于点F,AD与CE相交于点H,连接FH.下列结论:①△ACD≌△BCE;②∠AGB=60°;③BF=AH;④△CFH

是等边三角形.其中正确结论的个数是

()A.1

B.2

C.3

D.4D解析∵△ABC和△DCE是等边三角形,∴∠BCA=∠DCE=

60°,AC=BC,CE=CD,∴∠BCA+∠ACE=∠DCE+∠ACE,即∠

BCE=∠ACD.在△ACD和△BCE中,

∴△ACD≌△BCE(SAS),故①正确.∵△ACD≌△BCE,∴∠CBF=∠

CAH.∵∠BFC=∠AFG,∴∠AGB=∠ACB=60°,故②正确.∵

∠BCA=∠DCE=60°,∴∠ACH=60°.在△BCF和△ACH中,

∴△BCF≌△ACH(ASA),∴CF=CH,BF=AH,故③正确.∵CF=CH,∠ACH=60°,∴△CFH是等边三角形,故

④正确.故选D.3.(2024上海杨浦期末)如图,已知O是等边三角形ABC内一点,

D是线段BO延长线上一点,且OD=OA,∠AOB=120°,则∠BDC

=

.60°解析∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=60