鲁教版八年级数学上册第二章分式与分式方程4第一课时分式方程及其解法课件

第二章分式与分式方程4分式方程第一课时分式方程及其解法知识点1分式方程的概念基础过关全练1.(2023山东泰安岱岳十五中月考)下列方程:①x2-2x=

;②

-1=

;③x4-2x2=0;④

x2-1=0.其中是分式方程的是

(

)A.①②③

B.①②

C.①③

D.①②④B解析方程①②是分式方程.故选B.知识点2分式方程的解法2.(2023辽宁大连中考)将方程

+3=

去分母,两边同乘(x-1)后的式子为

(

)A.1+3=3x(1-x)B.1+3(x-1)=-3xC.x-1+3=-3xD.1+3(x-1)=3xB解析分式方程的两边同乘(x-1),得1+3(x-1)=-3x.故选B.3.(2023湖北恩施州中考)分式方程

=

的解是

(

)A.x=3

B.x=-3

C.x=2

D.x=0B解析最简公分母是(x-3)(x-1),去分母得x(x-1)=(x+1)(x-3),解

得x=-3,当x=-3时,(x-3)(x-1)=24≠0,∴原分式方程的解是x=-3,

故选B.4.(2023山东淄博中考)已知x=1是方程

-

=3的解,那么实数m的值为

(

)A.-2

B.2

C.-4

D.4B解析将x=1代入方程,得

-

=3,解得m=2.故选B.5.(2024湖南长沙雨花期末)若关于x的方程

-

=1的解为负数,则m的取值范围是

(

)A.m<2B.m<3C.m<2且m≠-1D.m<3且m≠2D解析去分母得m-2=x+1,解得x=m-3,∵原方程的解为负数,

∴m-3<0,∴m<3,∵x+1≠0,∴m-3+1≠0,∴m≠2,∴m<3且m≠

2,故选D.6.(2021四川宜宾中考)若关于x的分式方程

-3=

有增根,则m的值是

(

)A.1

B.-1

C.2

D.-2C解析方程两边同乘(x-2)得x-3(x-2)=m,解得x=3-

m.∵分式方程有增根,∴x-2=0,∴x=2.∴3-

m=2,∴m=2.故选C.7.(新独家原创)数轴上有两点P

,Q

,当x=

时,点P在点Q的右侧,且两点之间的距离为1.2解析根据题意可得

-

=1,去分母,得x(x+1)-(2x-1)=x2-1,去括号,得x2+x-2x+1=x2-1,移项、合并同类项,得-x=-2,系数化为1,得x=2,检验:当x=2时,x2-1≠0,∴x=2是原分式方程的解.故当x=2时,

点P在点Q的右侧,且两点之间的距离为1.8.式子

被称为二阶行列式,它的运算法则为

=ad-bc.若

=1,则x=

.4解析∵

=1,∴

-

=1,方程两边都乘(x-1),得2+1=x-1,解得x=4,检验:当x=4时,x-1≠0,∴x=4是分式方程的解.9.(教材变式·P40随堂练习T1)解方程:(1)

=

;(2)

-

=1.解析

(1)两边同乘(x+3)(x-1),得2(x-1)=x+3,去括号,得2x-2=x+3,移项、合并同类项,得x=5,检验:当x=5时,(x+3)(x-1)≠0,故原分式方程的解是x=5.(2)方程变形为

-

=1,方程两边都乘(x+1)(x-1),得(x+1)2-4=(x+1)(x-1),解得x=1,检验:当x=1时,(x+1)(x-1)=0,所以x=1是增根,即原分式方程无解.10.(新考法)(2024山东威海荣成期中)小华想复习分式方程,

由于印刷问题,有一道解方程问题中的一个数“?”看不清

楚:

+3=

.小华的妈妈说:“我看到标准答案是方程的增根是x=2,分式方程无解.”则分式方程中“?”代表的数是

多少?解析设“?”代表的数为m,则分式方程为

+3=

.去分母,得m+3(x-2)=-1,把x=2代入,得m+3×(2-2)=-1,∴m=-1.∴原分式方程中“?”代表的数是-1.11.(2024河北秦皇岛期中)对于任意的实数a,b,规定新运算:a

※b=(a+b)÷b.(1)计算:

※

;(2)若

※

+1=

,求m的值.(要求写出解方程的过程)解析

(1)原式=

÷

=

·

=

·

=

.(2)由(1)可得

+1=

,去分母,得3(m-3)+6(m-1)=m-1,去括号,得3m-9+6m-6=m-1,移项、合并同类项,得8m=14,系数化为1,得m=

,经检验,m=

是原分式方程的解,故m的值为

.能力提升全练12.(2023山东聊城中考,7,★★☆)若关于x的分式方程

+1=

的解为非负数,则m的取值范围是

(

)A.m≤1且m≠-1B.m≥-1且m≠1C.m<1且m≠-1D.m>-1且m≠1A解析去分母得x+x-1=-m,移项、合并同类项得2x=1-m,系数化为1得x=

,∵原分式方程的解为非负数,∴

≥0,且

≠1,解得m≤1且m≠-1,故选A.13.(易错题)(2023山东泰安泰山期末,9,★★☆)若关于x的分

式方程

+

=2a无解,则a的值为

(

)A.1B.1或

C.-1或

D.以上都不是B解析本题容易出现漏解的情况.方程两边同乘(3-x),得-x+3a=2a(3-x),整理得(2a-1)x=3a.∵原分式方程无解,∴有以下两种情况:①当2a-1=0,即a=

时,整式方程无解,原分式方程无解;②当2a-1≠0,即a≠

时,x=

,令3-x=0,解得x=3,∴当

=3,即a=1时,原分式方程产生增根,无解.综上所述,当a=1或

时,原分式方程无解.故选B.14.(2024山东临沂兰陵期末,12,★★☆)对于两个不相等的实

数a,b,我们规定符号min{a,b}表示a,b中较小的值,如:min{2,4}

=2,按照这个规定,方程min

=

的解的情况为

(

)A.x=-1或2B.x=2C.x=-1D.无解D解析①当x>0时,

>-

,∴min

=-

,由题意得-

=

,解得x=-1(不合题意,舍去);②当x<0时,

<-

,∴min

=

,由题意得

=

,解得x=2(不合题意,舍去).综上所述,方程min

=

无解.故选D.15.(2023北京中考,11,★☆☆)方程

=

的解为

.x=1解析方程两边同乘2x(5x+1),得3×2x=5x+1,解得x=1.检验:当x=1时,2x(5x+1)=12≠0.∴原分式方程的解为x=1.16.(2022山东济南中考,16,★☆☆)若代数式

与代数式

的值相等,则x=

.7解析由题意得

=

,去分母,得3(x-1)=2(x+2),去括号,得3x-3=2x+4,移项,得3x-2x=4+3,解得x=7,经检验,x=7是原方程的解,所以原方程的解为x=7.17.(2024山东淄博桓台期中,20,★★☆)已知关于x的分式方

程

+

+2=0.(1)若分式方程有增根,求m的值;(2)若分式方程的解是负数,求m的取值范围.解析

(1)分式方程有增根,则方程的增根为x=1,原方程去分母并整理得5x-m+2=0,将x=1代入得5-m+2=0,解得m=7.(2)由(1)得5x-m+2=0,解得x=

,∵分式方程的解是负数,∴

<0,且

≠1,解得m<2,∴当m<2时,分式方程的解是负数.18.(2024江西上饶万年期末,22,★★☆)关于x的方程x+

=c+

的解是x=c或x=

;x+

=c+

的解是x=c或x=

;x+

=c+

的解是x=c或x=

;……(1)请观察上述方程与解的特征,猜想关于x的方程x+

=m+

(m≠0,n≠0)的解是什么(直接写出答案),并利用“方程的解”的概念进行验证.(2)请利用这个结论解关于x的方程:x-

=a-

(a≠3).解析

(1)关于x的方程x+

=m+

(m≠0,n≠0)的解是x1=m,x2=

.检验:当x=m时,左边=m+

,右边=m+

,左边=右边,所以x=m是方程的解;当x=

时,左边=

+

=

+m,右边=m+

,左边=右边,所以x=

是方程的解.故关于x的方程x+

=m+

(m≠0,n≠0)的解是x1=m,x2=

.(2)x-

=a-

(a≠3),(x-3)+

=(a-3)+

,所以x-3=a-3或x-3=

,解得x1=a,x2=

.方法指引

解分式方程的关键是去分母,把分式方程转化为

整式方程,但在解分式方程的过程中,有时用去分母的方法会

使运算复杂,计算量加大,因此可以采用特殊的方法进行解

答.换元法解分式方程就是一种特殊、简便的方法.微专题特殊法解分式方程1.(2024上海杨浦期中)已知x为实数,若x2+

-5

+8=0,则x+

的值为

.540°解析设x+

=a,则x2+

=a2-2,∵x2+

-5

+8=0,∴a2-2-5a+8=0,解得a=2或a=3,∴x+

的值为2或3.2.(2024陕西西安新城月考改编)【阅读】解方程:(x-1)2-5(x-1)+4=0.解:设x-1=y,则原方程可化为y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4.当y=1时,x-1=1,解得x=2;当y=4时,x-1=4,解得x=5.所以原方程的解为x1=2,x2=5.上述解法称为“整体换元法”.【应用】(1)若在方程

-

=0中,设y=