鲁教版八年级数学上册专项素养综合练(八)旋转中的三种常用模型课件

专项素养综合练(八)旋转中的三种常用模型模型解读此模型可看成是将三角形绕着公共顶点旋转一定角度

所构成的,旋转后的图形与原图形之间存在两种情况.类型一手拉手模型模型示例如图1,△ABD与△ACE为等边三角形,B,A,E三点共线.

图1图2如图2,△ABD和△ACE为等腰三角形,且AB=AD,AC=AE,B,

A,E三点不共线.1.(2023山东烟台招远期末)△ABC和△ADE都是等边三角

形.当△ADE绕点A旋转到图1的位置时,连接BD,CE相交于

点P,连接PA.

图1图2(1)请猜想线段PA,PB,PC之间的数量关系,并加以证明.(2)将△ADE绕点A旋转到图2的位置时,其他条件不变,请直

接写出线段PA,PB,PC之间的数量关系,不需要证明.解析

(1)PB=PA+PC,证明如下:如图,在BP上截取BF=PC,连接AF,

∵△ABC,△ADE都是等边三角形,∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,∴∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE,即∠DAB=∠EAC,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴∠ABD=∠ACE,∵AB=AC,BF=CP,∴△BAF≌△CAP(SAS),∴AF=AP,∠BAF=∠CAP,∴∠BAC=∠PAF=60°,∴△AFP是等边三角形,∴PF=PA,∴PB=BF+PF=PC+PA.(2)PC=PA+PB.类型二半角模型模型解读当一个角包含着这个角的半角,常将半角两边的三角形

通过旋转到一边合并形成新的三角形,从而进行等量代换,然

后证明与半角形成的三角形全等.模型示例等边三角形含半角⇩∠BDC=120°

等腰直角三角形含半角⇩BD2+CE2=DE2

正方形含半角⇩EF=BF+DE

2.(2023山西大同平城校级月考)定义:我们习惯过等腰三角

形顶角的顶点引两条射线,使两条射线的夹角为等腰三角形

顶角的一半,这样的模型称为半角模型.常见的图形为正方

形、正三角形、等腰直角三角形等,在解决“半角模型”的

问题时,旋转是一种常用的方法.已知,如图1,四边形ABCD是正方形,E,F分别在边BC,CD上,

且∠EAF=45°.(1)在图1中,连接EF,为了证明结论“EF=BE+DF”,小亮将△ADF绕点A顺时针旋转90°后解答了这个问题,请按小亮的思(1)在图1中,连接EF,为了证明结论“EF=BE+DF”,小亮将△ADF绕点A顺时针旋转90°后解答了这个问题,请按小亮的思路写出证明过程.(2)如图2,当∠EAF绕点A旋转到图2的位置时,试探究EF与

DF,BE之间有怎样的数量关系.

图1图2解析

(1)证明:由旋转的性质可得GB=DF,AF=AG,∠BAG=

∠DAF,∠ABG=∠ADF,∵四边形ABCD为正方形,∴∠BAD=∠ADF=∠ABC=90°,∴∠ABC+∠ABG=180°,∴G,B,C三点在一条直线上,∵∠EAF=45°,∴∠BAE+∠DAF=45°,∴∠GAE=∠BAG+∠BAE=45°=∠EAF,在△AGE和△AFE中,

∴△AGE≌△AFE(SAS),∴GE=EF,∵GE=GB+BE=BE+DF,∴EF=BE+DF.(2)结论:EF=DF-BE.理由:如图,把△ABE绕点A逆时针旋转90°,得到△ADG,∴△ABE≌△ADG,∴BE=DG,

同(1)可证得△AEF≌△AGF(SAS),∴EF=GF=DF-DG=DF-BE.类型三对角互补模型模型解读(1)如图1,当∠DCE的一边与AO交于点D时,下列结论(知二

推二):①∠1=∠2,②∠AOB+∠DCE=180°,③CD=CE,④OE=2NE+

OD.

图1作法1作法2

(2)如图2,当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时,下列结论(知二推二):①∠1=∠2,②∠AOB+∠DCE=180°,③CD=CE,④OE=2NE-

OD.图2图2作法1作法23.四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角△ABD和直角△CBD,其中∠BAD和∠BCD都是直角,另一条对角线AC的长

度为2,求四边形ABCD的面积.解析如图,将△ABC绕点A旋转90°,得到△ADC',∴∠ADC'=∠ABC,AC=AC',△ABC≌△ADC',∠CAC'=90°,

∴∠CDC'=∠ADC+∠ADC'=∠ADC+