广东省广州市第四中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷

20222023学年广东省广州四中九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分，答案填在答题卡上）1．（3分）下面图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线 C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线2．（3分）下列事件是必然事件的为（）A．购买一张体育彩票，中奖 B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C．2022年元旦是晴天 D．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下3．（3分）抛物线y＝2（x﹣1）2+6的顶点坐标是（）A．（1，﹣6） B．（﹣1，﹣6） C．（1，6） D．（﹣1，6）4．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两实数根分别为x1，x2，则x1x2+x1+x2的值为（）A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣55．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ABC＝129°，则∠AOC的度数为（）A．129° B．120° C．102° D．51°6．（3分）平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为5，则点P（0，4）与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定7．（3分）在函数y=a2+1x的图象上有两点（﹣3，y1），（﹣1，y2），则y1与A．y2＜y1＜0 B．y1＜y2＜0 C．y2＞y1＞0 D．y1＞y2＞08．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，分别以点B，C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB，BC，AC于点D，E，F，则图中阴影部分的面积是（）A．16﹣2π B．8﹣4π C．8﹣2π D．4﹣π9．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2（m﹣1）x+1＝0有两个相等的实数根，则m的值是（）A．0 B．1 C．2 D．1或210．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为4，D为AB的中点，E为AC边上的动点，DE⊥DF交BC于点F，P为EF的中点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值是（）A．3 B．2 C．25 D．二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分，注意答案写在答卷上）11．（3分）已知点A（1，m）与A'（n，﹣3）关于原点对称，则mn＝．12．（3分）在一个不透明的袋子里装有红球6个，黄球若干个，这些球除颜色外都相同，小明每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.3，则袋子中黄球的个数可能是个．13．（3分）把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为．14．（3分）在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx的部分图象如图所示，AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若△ABP的面积为2，则k的值为15．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝75°，将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△ADE，若点C落在△ADE的边上，则α的度数是．16．（3分）如图，函数y＝ax2+bx+c经过点（3，0），对称轴为直线x＝1：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③9a﹣3b+c＝0；④5a+b+c＝0；⑤若点A（a+1，y1）、B（a+2，y2）在抛物线上，则y1＞y2；⑥am2+bm≥a+b（m为任意实数），其中结论正确的有．三、解答题（本题有9个小题，共72分，注意答案写在答卷上）17．（4分）用适当的方法解下列方程：（1）（x﹣1）2＝4；（2）x2﹣3x﹣4＝0．18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A（﹣3，1），B（﹣1，3）．（1）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°得到的三角形△OA1B1，A的对应点为A1；（2）求点B在上述运动过程中的路径的长度．19．（6分）小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为：1，2，3，4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．（请用列表法或画树状图的方法）（1）求两次数字之积为奇数的概率；（2）若两次数字之积为奇数，则小颖胜；两次数字之积为偶数，则小丽胜．试分析这个游戏是否公平？请说明理由．20．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作AD的垂线交AB于点E．（1）请画出△ADE的外接圆⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：BC是⊙O的切线；21．（8分）如图，已知CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，点P是AB上一点，且∠BPC＝60°．（1）证明△ABC是等边三角形；（2）若DM＝2，求⊙O的半径．22．（10分）某商城将每件成本为50元的工艺品，以60元的单价出售时，每天的销售量是400件，已知在每件涨价幅度不超过14元的情况下，若每件涨价1元，则每天就会少售出10件．（1）若商城想每天获得6000元的利润，应涨价多少元？（2）求商城销售工艺品所获得的最大利润．23．（10分）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y=k2x的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4（1）根据图象，直接写出满足k1x+b＞k2x（2）求这两个函数的表达式；（3）点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：2，求点P的坐标．24．（12分）已知，如图1，正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在边AB、AD的延长线上，且BE＝DF，连接EF．（1）证明：EF⊥AC；（2）将△AEF绕点A顺时针方向旋转，当旋转角α满足0°＜α＜45°时，设EF与射线AB交于点G，与AC交于点H，如图所示，试判断线段FH、HG、GE的数量关系，并说明理由．（3）若将△AEF绕点A旋转一周，连接DF、BE，并延长EB交直线DF于点P，连接PC，试说明点P的运动路径并求线段PC的取值范围．25．（12分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3的最大值为4，且该抛物线与y轴的交点为C，顶点为D．（Ⅰ）求该二次函数的解析式及点C，D的坐标．（Ⅱ）点P（t，0）是x轴上的动点，①求PD﹣PC的最大值及对应的点P的坐标；②设Q（0，2t）是y轴上的动点，若线段PQ与函数y＝a|x|2﹣2a|x|+3的图象只有一个公共点，求t的取值范围．

20222023学年广东省广州四中九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分，答案填在答题卡上）1．（3分）下面图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线 C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线【解答】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A．2．（3分）下列事件是必然事件的为（）A．购买一张体育彩票，中奖 B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C．2022年元旦是晴天 D．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下【解答】解：A、购买一张体育彩票，中奖，是随机事件，不符合题意；B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；C、2022年元旦是晴天，是随机事件，不符合题意；D、在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下，必然事件，符合题意；故选：D．3．（3分）抛物线y＝2（x﹣1）2+6的顶点坐标是（）A．（1，﹣6） B．（﹣1，﹣6） C．（1，6） D．（﹣1，6）【解答】解：∵抛物线y＝2（x﹣1）2+6，∴该抛物线的顶点坐标为（1，6），故选：C．4．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两实数根分别为x1，x2，则x1x2+x1+x2的值为（）A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5【解答】解：x2﹣3x﹣2＝0，根据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，所以x1x2+x1+x2＝﹣2+3＝1．故选：B．5．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ABC＝129°，则∠AOC的度数为（）A．129° B．120° C．102° D．51°【解答】解：∵∠D+∠ABC＝180°，∴∠D＝180°﹣129°＝51°，∴∠AOC＝2∠D＝102°，故选：C．6．（3分）平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为5，则点P（0，4）与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定【解答】解：由题意可作图，如下图所示：∵d＝4＜5，∴点P在⊙O内．故A正确，B、C、D错误，故选：A．7．（3分）在函数y=a2+1x的图象上有两点（﹣3，y1），（﹣1，y2），则y1A．y2＜y1＜0 B．y1＜y2＜0 C．y2＞y1＞0 D．y1＞y2＞0【解答】解：∵反比例函数y=a2+1x中的a2∴该函数图象经过第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．∵函数y=a2+1x的图象上有两点（﹣3，y1），（﹣1∴两点（﹣3，y1），（﹣1，y2）在第三象限，且﹣3＜﹣1，∴y2＜y1＜0，故选：A．8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，分别以点B，C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB，BC，AC于点D，E，F，则图中阴影部分的面积是（）A．16﹣2π B．8﹣4π C．8﹣2π D．4﹣π【解答】解：等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，∴∠B＝∠C＝45°，BC=2AB＝42∵E为BC中点，∴BE＝CE=12BC＝2∴阴影部分的面积S＝S△ABC﹣S扇形BDE﹣S扇形CEF=12×4×4-45π×(22故选：C．9．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2（m﹣1）x+1＝0有两个相等的实数根，则m的值是（）A．0 B．1 C．2 D．1或2【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2（m﹣1）x+1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4（m﹣1）＝0，且m﹣1≠0，解得，m＝2．故选：C．10．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为4，D为AB的中点，E为AC边上的动点，DE⊥DF交BC于点F，P为EF的中点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值是（）A．3 B．2 C．25 D．【解答】解：连接PC，PD，∵在Rt△CEF中，P为EF的中点，∴CP=12在Rt△EDF中，DP=1∴CP＝DP，∴点P在CD的垂直平分线上运动，作A关于CD垂直平分线的对称点A'，∴PA+PB的最小值为A'B，在Rt△AA'B中，A'B=42+故选：C．二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分，注意答案写在答卷上）11．（3分）已知点A（1，m）与A'（n，﹣3）关于原点对称，则mn＝﹣3．【解答】解：∵点A（1，m）与A'（n，﹣3）关于坐标原点对称，∴n＝﹣1，m＝3，∴mn＝3×（﹣1）＝﹣3．故答案为：﹣3．12．（3分）在一个不透明的袋子里装有红球6个，黄球若干个，这些球除颜色外都相同，小明每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.3，则袋子中黄球的个数可能是14个．【解答】解：设袋中黄球有x个，根据题意，得：66+x解得：x＝14，经检验：x＝14是分式方程的解，所以袋中红球有14个，故答案为：14．13．（3分）把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝2x2+4x．【解答】解：把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2+1﹣3，即y＝2x2+4x故答案为y＝2x2+4x．14．（3分）在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx的部分图象如图所示，AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若△ABP的面积为2，则k的值为﹣【解答】解：∵AB⊥y轴，∴AB∥x轴，∴S△AOB＝S△ABP＝2，∵S△AOB=12|k∴|k|＝4，∵反比例函数y=k∴k＝﹣4，故答案为：﹣4．15．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝75°，将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△ADE，若点C落在△ADE的边上，则α的度数是30°或45°．【解答】解：当点C在边AD上，如图1，∵∠B＝60°，∠ACB＝75°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∵将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△ADE，∴∠DAE＝∠BAC＝α＝45°，如图2，当点C在边DE上，∵将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△ADE，∴AC＝AE，∠E＝∠ACB＝75°，∴∠E＝∠ACE＝75°，∴∠EAC＝α＝180°﹣75°﹣75°＝30°．综合以上可得α的度数是30°或45°．故答案为：30°或45°．16．（3分）如图，函数y＝ax2+bx+c经过点（3，0），对称轴为直线x＝1：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③9a﹣3b+c＝0；④5a+b+c＝0；⑤若点A（a+1，y1）、B（a+2，y2）在抛物线上，则y1＞y2；⑥am2+bm≥a+b（m为任意实数），其中结论正确的有①④⑥．【解答】解：①∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＞0，∴b2﹣4ac＞0，∴①正确；②∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴b与a异号，即b＜0，∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，∴②错误；③∵抛物线对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∵抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x增大而减小，∴当x＝﹣3时，y＞0，∴9a﹣3b+c＞0，∴③错误；④∵抛物线与x轴的一个交点为（3，0），∴9a+3b+c＝0，∵抛物线对称轴为x＝1，∴-b2∴b＝﹣2a，∴5a+b+c＝0，∴④正确；⑤∵a＞0，∴1＜a+1＜a+2，∵抛物线对称轴为x＝1，抛物线开口向上，在对称轴右侧y随x增大而增大，∴y1＜y2，∴y1﹣y2＜0，∴⑤错误；⑥抛物线对称轴为x＝1，抛物线开口向上，∴x＝1，y有最小值，∴am2+bm≥a+b（m为任意实数），∴⑥正确；综上所述，①④⑥正确；故答案为：①④⑥．三、解答题（本题有9个小题，共72分，注意答案写在答卷上）17．（4分）用适当的方法解下列方程：（1）（x﹣1）2＝4；（2）x2﹣3x﹣4＝0．【解答】解：（1）（x﹣1）2＝4，x﹣1＝±2，∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，∴x1＝3，x2＝﹣1；（2）x2﹣3x﹣4＝0，（x﹣4）（x+1）＝0，∴x﹣4＝0或x+1＝0，∴x1＝4，x2＝﹣1．18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A（﹣3，1），B（﹣1，3）．（1）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°得到的三角形△OA1B1，A的对应点为A1；（2）求点B在上述运动过程中的路径的长度．【解答】解：（1）如图所示，△OA1B1即为所求；点A1的坐标为（1，3），（3）OB=∴点B的运动路径长为：90×π19．（6分）小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为：1，2，3，4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．（请用列表法或画树状图的方法）（1）求两次数字之积为奇数的概率；（2）若两次数字之积为奇数，则小颖胜；两次数字之积为偶数，则小丽胜．试分析这个游戏是否公平？请说明理由．【解答】解：（1）根据题意列表如下：12341（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）所有等可能的情况有16种，其中两次数字之积为奇数的有4种，则两次数字之积为奇数的概率为416（2）根据（1）得出的两次数字之积为奇数的概率是14，则两次数字之积为偶数的概率是3∵14∴这个游戏不公平．20．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作AD的垂线交AB于点E．（1）请画出△ADE的外接圆⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：BC是⊙O的切线；【解答】（1）解：如图1所示，⊙O即为所求；（2）证明：如图2，连接OD，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠OAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴OD⊥BC，∵OD为⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线．21．（8分）如图，已知CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，点P是AB上一点，且∠BPC＝60°．（1）证明△ABC是等边三角形；（2）若DM＝2，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵直径CD⊥AB，∴AM＝BM，∴AC＝BC，∵∠CAB＝∠BPC＝60°，∴△ABC是等边三角形；（2）解：连接OA，设⊙O的半径是r，∵△ABC等边三角形，CD⊥AB，∴∠CAB＝∠ACB＝60°，∠ACO=12∠ACB＝∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO＝30°，∴∠OAM＝∠CAB﹣∠OAC＝60°﹣30°＝30°，∴OM=12∴r﹣2=12∴r＝4．22．（10分）某商城将每件成本为50元的工艺品，以60元的单价出售时，每天的销售量是400件，已知在每件涨价幅度不超过14元的情况下，若每件涨价1元，则每天就会少售出10件．（1）若商城想每天获得6000元的利润，应涨价多少元？（2）求商城销售工艺品所获得的最大利润．【解答】解：（1）设每件工艺品涨m元，根据题意得：（60+m﹣50）（400﹣10m）＝6000，解得m＝10或m＝20，∵20＞14，∴m＝20不符合题意，舍去，∴m＝10，答：每件工艺品涨10元；（2）设商城销售工艺品所获得的利润为w元，每件工艺品涨x元，根据题意得：w＝（60+x﹣50）（400﹣10x）＝﹣10x2+300x+4000＝﹣10（x﹣15）2+6250，∵﹣10＜0，x≤14，∴当x＝14时，w取最大值，最大值为﹣10×（14﹣15）2+6250＝6240（元），答：商城销售工艺品所获得的最大利润为6240元．23．（10分）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y=k2x的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4（1）根据图象，直接写出满足k1x+b＞k2x（2）求这两个函数的表达式；（3）点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：2，求点P的坐标．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．由图象可得：k1x+b＞k2x的x的取值范围是x＜﹣1或0＜x（2）∵反比例函数y=k2x的图象过点A（﹣1，4），B（4∴k2＝﹣1×4＝﹣4，k2＝4n，∴n＝﹣1，∴B（4，﹣1），∵一次函数y＝k1x+b的图象过点A，点B，∴-k解得：k1＝﹣1，b＝3，∴一次函数的解析式y＝﹣x+3，反比例函数的解析式为y=-（3）设直线AB与y轴的交点为C，∴C（0，3），∵S△AOC=12×3×∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC=12×3×1+∵S△AOP：S△BOP＝1：2，∴S△AOP=15∴S△AOC＜S△AOP，S△COP=52∴12×3•xP＝∴xP=2∵点P在线段AB上，∴y=-23∴P（23，724．（12分）已知，如图1，正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在边AB、AD的延长线上，且BE＝DF，连接EF．（1）证明：EF⊥AC；（2）将△AEF绕点A顺时针方向旋转，当旋转角α满足0°＜α＜45°时，设EF与射线AB交于点G，与AC交于点H，如图所示，试判断线段FH、HG、GE的数量关系，并说明理由．（3）若将△AEF绕点A旋转一周，连接DF、BE，并延长EB交直线DF于点P，连接PC，试说明点P的运动路径并求线段PC的取值范围．【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAC，∵BE＝DF，∴AD+DF＝AB+BE，即AF＝AE，∴AC⊥EF；（2）解：FH2+GE2＝HG2，理由是：如图2，过A作AK⊥AC，截取AK＝AH，连接GK、EK，∵∠CAB＝45°，∴∠CAB＝∠KAB＝45°，∵AG＝AG，∴△AGH≌△AGK（SAS），∴GH＝GK，由旋转得：∠FAE＝90°，AF＝AE，∵∠HAK＝90°，∴∠FAH＝∠KAE，∴△AFH≌△AEK（SAS），∴∠AEK＝∠AFH＝45°，FH＝EK，∵∠AEH＝45°，∴∠KEG＝45°+45°＝90°，Rt△GKE中，KG2＝EG2+EK2，即：FH2+GE2＝HG2；（3）解：如图3，∵AD＝AB，∠DAF＝∠BAE，AE＝AF，∴△DAF≌△BAE（SAS），∴∠DFA＝∠BEA，∵∠PNF＝∠ANE，∴∠FPE＝∠FAE＝90°，∴将△AEF绕点A旋转一周，总存在直线EB与直线DF垂直，∴点P的运动路径是：以BD为直径的圆，如图4，当P与C重合时，PC最小，PC