江西省景德镇市一中2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题2

2023~2024年景德镇一中高二年级第二学期期中数学试题卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．等差数列中，，则的值为（）A．5 B．10 C．14 D．352．记事件A为“抛一枚硬币正面向上”，事件B为“掷一颗骰子点数为6”，则条件概率为（）A． B． C． D．3．随机变量X服从正态分布，若，则为（）A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.84．等比数列的前n项和为，，则公比q为（）A．2 B．3 C． D．5．数列的前n项和为，，则的值为（）A．20 B．25 C．30 D．356．先后投掷两个完全相同的骰子，已知两个骰子的点数之和为10，则第一个骰子掷出的点数为5的概率为（）A． B． C． D．7．给定两个随机变量X和Y的5组数据如下表所示，利用最小二乘法得到Y关于X的线性回归方程为，则表中值为（）X12345Y2478A．3 B．4 C．5 D．68．记集合，中元素的个数为，数列的前n项和为，则为（）A．15 B．20 C．47 D．52二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．随机变量X和Y的相关系数为r，则下列说法正确的是（）A．当时，X和Y具有正线性相关性 B．随着r值减小，X和Y的相关性也减小C．当时，X和Y不具有相关性 D．当时，X和Y具有较强的线性相关性10．已知某曲线方程为，其中a，，a与b可以相等，则下列说法正确的是（）A．该曲线为圆的概率为 B．该曲线为椭圆的概率为C．该曲线为双曲线的概率为 D．该曲线为抛物线的概率为11．袋中有除颜色外完全相同的2个白球和3个黑球，现从袋中每次抽取一个球，抽后不放回、直到取出所有的白球，则下列说法正确的是（）A．抽取次数为两次的概率为 B．抽取次数为三次的概率为C．抽取次数为四次的概率为 D．抽取次数为五次的概率为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若数列的前n项和，则数列的通项公式为______．13．若随机变量，则其方差______．14．数列满足，，则数列的前n项和为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）新高考“”模式最大的特点就是取消了文理分科，除语文、数学、外语3门必考科目外，从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门中自主选择3门作为选考科目，为了了解学生对全文（政治、历史、地理）的选择是否与性别有关，某学校从高一年级的学生中随机抽取男、女生各25人进行模拟选科．经统计，选择全文的男生有10人，在随机抽取的50人中选择全文的比不选全文的多10人．（1）请完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为选择全文与性别有关；（2）将样本的频率视作概率，估计在高一年级全体女生中随机抽取两人，恰好一人选择全文的概率．选择全文不选择全文总计男生女生总计附表：0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参公式：，其中16．（15分）已知公差大于0的等差数列和公比大于0的等比数列满足，，．（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前n项和．17．（15分）某省2023年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分：思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A、B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省部分学校联合组织了一次高二年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．（1）其中一所学校某班生物学科获得A等级的共有10名学生，其原始分及转换赋分如表：原始分97959190898785848483赋分99979595949291909090现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物的赋分不低于95分的人数为X，求X的分布列和数学期望：（2）假设此次高二学生生物学科原始分Y近似服从正态分布．现随机抽取了100名高二学生的此次生物学科的原始分，后经调查发现其中有一名学生舞弊，剔除掉这名学生成绩后，记ξ为其他被抽到的原始分不低于80分的学生人数，预测当取得最大值时k的值．附，若，则，．18．（17分）近年来，共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚．某公司计划对未开通共享单车的A县城进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他县城的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量x（单位；千辆）与年使用人次y（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量x与年使用人次y的散点图如图所示．x1234567y516283864108196拟用模型①或模型②对两个变量的关系进行拟合，令，可得，，，，，变量y与t的标准差分别为，．（1）根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程；（结果保留小数点后两位）（2）计算并比较两种模型的相关系数r（结果保留小数点后三位），求哪种模型预测值精度更高、更可靠；（3）已知每辆单车的购入成本为200元，年调度费以及维修等的使用成本为每人次0.2元，按用户每使用一次，收费1元计算，若投入8000辆单车，利用（2）中更可靠的模型，预测几年后开始实现盈利．（结果保留整数）附，样本点的线性回归方程最小二乘估计公式为，，相关系数参考数据：．19．（17分）已知数列满足，，且，（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）已知对于恒成立．求证：．

2023~2024年景德镇一中高二年级第二学期期中数学试题答案单选1~8BBDA CCBD 多选9AD10BC11ACD1．由得2．由，，得3．4．5．代入，2得，两式相减得解得，故6．记X为第一个骰子点数，Y为两次点数和则两次点数和为10的概率为因此所求概率为7．代入，得8．代入得9．略10．ba－112－1双曲线双曲线1双曲线圆椭圆2双曲线椭圆圆11．B中故不正确12．当时，；当时，对于时也成立．综上所述，13．14．由，，…，累乘可得，而，得对于时也成立，故15（1）据题意可知选择全文不选择全文总计男生101525女生20525总计302050则因此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为选择全文与性别有关（2）用样本的频率视作概率，则高一年级女生选择全文的概率为抽到两人中恰好一人选择全文的概率为16．（1）设数列的公差为，数列Jb，的公比为则由①式平方除②式得：得（舍）或所以通项公式分别为（2）记数列的前n项和为则，两式相减可得故：17．（1）解：一据题意可知：X服从参数为10，4，3的超几何分布因此X的分布列为X0123PX的数学期望为解二X可取0，1，2，3，则 所以X的分布列为X0123PX的数学期望为（2）据题意可知那么有要使取最大值，只需得：且故：当或16时，取得最大值18．（1）据题意可知 故：模型②中y关于x的回归方程为（2）因为且所以模型①的相关系数模型②的相关系