高考物理一轮练习高考必考题突破讲座9带电粒子在有界磁场中的临界极值问题

第九章高考必考题突破讲座(九)1如图所示圆形区域内，有垂直于纸面方向的匀强磁场．一束质量和电荷量都相同的带电粒子，以不同的速率，沿着相同的方向，对准圆心O射入匀强磁场，又都从该磁场中射出．这些粒子在磁场中的运动时间有的较长，有的较短．若带电粒子在磁场中只受磁场力的作用，则在磁场中运动的带电粒子(D)A．速率越大的运动时间越长B．运动时间越长的周期越大C．速率越小的速度方向变化的角度越小D．运动时间越长的半径越小2．如图所示，半径为R的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面(纸面)，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，一电荷量为q、质量为m的负离子沿平行于直径ab的方向射入磁场区域，射入点与ab的距离为eq\f(R,2).已知离子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°，则离子的速率为(不计重力)(D)A．eq\f(qBR,2m) B．eq\f(qBR,m)C．eq\f(3qBR,2m) D．eq\f(2qBR,m)解析设带负电离子在匀强磁场中运动轨迹的半径为r，速率为v.根据题述，带负电离子射出磁场与射入磁场时速度方向之间的夹角为60°，可知带电离子运动轨迹所对的圆心角为60°，rsin30°＝R.如图所示．由qvB＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\f(2qBR,m)，选项D正确．3．如图所示，边界OA与OC之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA上有一粒子源S.某一时刻，从S平行于纸面向各个方向以某一速率发射出大量比荷为eq\f(q,m)的同种正电粒子，经过一段时间有大量粒子从边界OC射出磁场，已知磁场的磁感应强度大小为B，∠AOC＝60°，O、S两点间的距离为L，从OC边界射出的粒子在磁场中运动的最短时间t＝eq\f(2πm,3qB)，忽略重力的影响和粒子间的相互作用，则粒子的速率为(A)A．eq\f(qBL,2m) B．eq\f(qBL,m)C．eq\f(\r(3)qBL,2m) D．eq\f(\r(3)qBL,m)解析由于粒子速率一定，带电粒子在磁场中运动时间最短时，轨迹所对应弦长最短，即弦长d＝Lsin60°＝eq\f(\r(3),2)L，由最短时间t＝eq\f(2πm,3qB)知粒子运动轨迹所对应圆心角为120°，由几何关系知Rsin60°＝eq\f(1,2)d，由洛伦兹力提供向心力，得qvB＝meq\f(v2,R)，解得v＝eq\f(qBL,2m)，选项A正确．4．空间有一圆柱形匀强磁场区域，O为圆心，磁场方向垂直于纸面向外．一带正电的粒子从A点沿图示箭头方向以速率v射入磁场，θ＝30°，粒子在纸面内运动，经过时间t离开磁场时速度方向与半径OA垂直．不计粒子重力．若粒子速率变为eq\f(v,2)，其他条件不变，粒子在圆柱形磁场中运动的时间为(C)A．eq\f(t,2) B．tC．eq\f(3t,2) D．2t解析粒子以速度v进入磁场时，根据几何关系，四边形AOBO′为菱形，O、O′分别在两圆的圆周上，如图所示．粒子在磁场中运动的圆心角为∠AO′B＝eq\f(2π,3)；粒子以速度eq\f(v,2)进入磁场时，根据几何关系，粒子在磁场中运动的圆心角为π，两次粒子做圆周运动的周期相同，运动时间之比就等于圆心角之比，所以第二次粒子在磁场运动时间为eq\f(3,2)t.故选项C正确．5．(2017·全国卷Ⅰ)如图，空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上(与纸面平行)，磁场方向垂且于纸面向里．三个带正电的微粒a、b、c电荷量相等，质量分别为ma、mb、mc.已知在该区域内，a在纸面内做匀速圆周运动，b在纸面内向右做匀速直线运动，c在纸面内向左做匀速直线运动．下列选项正确的是(B)A．ma>mb>mc B．mb>ma>mcC．mc>ma>mb D．mc>mb>ma解析该空间区域为匀强电场、匀强磁场和重力场的叠加场，a在纸面内做匀速圆周运动，可知其重力与所受到的电场力平衡，洛伦兹力提供其做匀速圆周运动的向心力，有mag＝qE，解得ma＝eq\f(qE,g).b在纸面内向右做匀速直线运动，由左手定则可判断出其所受洛伦兹力方向竖直向上，可知mbg＝qE＋qvbB，解得mb＝eq\f(qE,g)＋eq\f(qvbB,g).c在纸面内向左做匀速直线运动，由左手定则可判断出其所受洛伦兹力方向竖直向下，可知mcg＋qvcB＝qE，解得mc＝eq\f(qE,g)－eq\f(qvcB,g).综上所述，可知mb>ma>mc，选项B正确．6．(2017·全国卷Ⅱ)如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点．大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同方向射入磁场．若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上．不计重力及带电粒子之间的相互作用．则v2：v1为(C)A．eq\r(3)∶2 B．eq\r(2)∶1C．eq\r(3)∶1 D．3∶eq\r(2)解析由于是相同的粒子，粒子进入磁场时的速度大小相同，由qvB＝meq\f(v2,R)可知，R＝eq\f(mv,qB)，即粒子在磁场中做圆周运动的半径相同．若粒子运动的速度大小为v1，如图所示，通过旋转圆可知，当粒子的磁场出射点A离P点最远时，则AP＝2R1；同样，若粒子运动的速度大小为v2，粒子的磁场出射点B离P点最远时，则BP＝2R2，由几何关系可知，R1＝eq\f(R,2)，R2＝Rcos30°＝eq\f(\r(3),2)R，则eq\f(v2,v1)＝eq\f(R2,R1)＝eq\r(3)，故选项C正确．7．如图所示，在0≤x≤a、0≤y≤eq\f(a,2)范围内有垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，坐标原点O处有一个粒子源．在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～90°范围内．已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于eq\f(a,2)到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一．求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时：(1)速度的大小；(2)速度方向与y轴正方向夹角的正弦值.解析设粒子的发射速度为v，粒子做圆周运动的轨道半径为R，由牛顿第二定律和洛伦兹力公式，得qvB＝meq\f(v2,R)．解得R＝eq\f(mv,qB)，当eq\f(a,2)<R<a时，在磁场中运动时间最长的粒子，其对应圆心角最大，其轨迹是圆心为C的圆弧，圆弧与磁场的边界相切，如图所示．设粒子在磁场中运动的时间为t，依题意．t＝eq\f(T,4)，∠OCA＝eq\f(π,2)，设最后离开磁场的粒子的发射方向与y轴正方向的夹角为α，由几何关系可得Rsinα＝R－eq\f(a,2)，Rsinα＝a－Rcosα，又