高考数学一轮复习专练51两条直线的位置关系

五十一两条直线的位置关系(时间:45分钟分值:95分)【基础落实练】1.(5分)(2024·潍坊模拟)已知三角形的三个顶点A(2,4),B(3,6),C(5,2),则BC边上中线的长为()A.210 B.10 C.112 D.310【解析】选A.设BC的中点为D(x,y),由中点坐标公式得x=3+52=4y所以AD=(4-2)22.(5分)已知直线l1:2xy+1=0,l2:x+ay1=0,且l1⊥l2,则点P(1,2)到直线l2的距离d等于()A.55 B.255 C.3【解析】选D.由l1⊥l2可得2×11·a=0,即a=2,故d=|1+2×2-1【加练备选】(2024·深圳模拟)直线l1:mxy+1=0,l2:(3m2)x+my2=0,若l1⊥l2,则实数m的值为()A.0 B.1C.0或1 D.13或【解析】选C.l1⊥l2⇔m(3m2)m=0,即m2m=0,解得m=0或m=1.3.(5分)(2024·南昌模拟)已知直线l1:x+ay2=0,l2:(a+1)xay+1=0,若p:l1∥l2;q:a=2,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.若l1∥l2,则1×(a)a(a+1)=0,解得a=0或a=2,经检验,符合题意.所以pq,q⇒p,所以p是q的必要不充分条件.4.(5分)直线ax+y+3a1=0恒过定点N,则直线2x+3y6=0关于点N对称的直线方程为()A.2x+3y12=0 B.2x+3y+12=0C.2x3y+12=0 D.2x3y12=0【解析】选B.由ax+y+3a1=0可得a(x+3)+y1=0.令x+3=0,y-1=0,所以N(3,1).设直线2x+3y6=0关于点N对称的直线方程为2x+3y+c=0(c≠6),则|-6+3-6解得c=12或c=6(舍去).故所求直线方程为2x+3y+12=0.5.(5分)(多选题)已知A(2,4)与B(3,3)到直线l的距离相等,则直线l的方程为()A.x+y=0 B.xy=0C.x+y6=0 D.xy+1=0【解析】选ACD.因为A(2,4)与B(3,3)的中点为(52,72),且kAB=4-32-3=1,所以使得点A(2,4)一类是过A,B的中点的直线,另一类是与AB平行的直线,显然x+y6=0、xy+1=0过点(52,72),故C,D直线x+y=0的斜率为1与AB平行,故A正确;直线xy=0的斜率为1与AB垂直,且不过点(52,72),故B6.(5分)(多选题)已知直线l1:4x3y+4=0,l2:(m+2)x(m+1)y+2m+5=0(m∈R),则()A.直线l2过定点(3,1)B.当m=1时,l1⊥l2C.当m=2时,l1∥l2D.当l1∥l2时,两直线l1,l2之间的距离为1【解析】选ACD.因为(m+2)x(m+1)y+2m+5=0,所以2xy+5+m(xy+2)=0,所以2x-所以直线l2过定点(3,1),选项A正确;当m=1时,直线l2:3x2y+7=0,k2=32又因为l1:4x3y+4=0,所以k1=43,k1k2=2,所以两直线不垂直,选项B错误当m=2时,直线l2:4x3y+9=0,而l1:4x3y+4=0,所以两直线斜率相等,在y轴上的截距不等,所以两直线平行,此时两直线之间的距离d=|9-4|37.(5分)已知两条直线2x+3yk=0和x6y+12=0的交点在y轴上,那么k的值是6.

【解析】由x6y+12=0可得直线与y轴的交点坐标为(0,2),将点(0,2)代入2x+3yk=0可得k=6.8.(5分)(2024·扬州模拟)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在如图所示的直角坐标系xOy中,设军营所在平面区域为{(x,y)|x2+y2≤1},河岸线所在直线方程为2x+2y5=0,假定将军从点P(1,12)处出发,只要到达军营所在区域即回到军营,当将军选择最短路程时,饮马点A的纵坐标为1514,最短总路程为【解析】设点P(1,12)关于直线2x+2y5=0的对称点P'(a,b则b-12a所以P'2,32,将军从P出发到达直线上点A再到营区,因为PA=P'A,所以本题问题转化为求点P'2,32到营区的最短距离,根据圆的几何特征可知最短距离为|P'O|1=22+3221=32.A点为直线OP'与直线由3x-4y=02故A点的纵坐标为15149.(10分)已知直线l经过直线2x+y5=0与x2y=0的交点.(1)点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程.(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.【解析】(1)经过两条已知直线交点的直线系方程为(2x+y5)+λ(x2y)=0,即(2+λ)x+(12λ)y5=0.所以|10+5λ即2λ25λ+2=0,所以λ=2或12所以l的方程为x=2或4x3y5=0.(2)由2x+y-5=0,x-2y设d为点A到l的距离,则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立,其余距离d与PA构成直角三角形,PA为它们的斜边),所以dmax=|PA|=10.【能力提升练】10.(5分)(2024·福州模拟)已知过点A(2,m)和点B(m,4)的直线为l1,l2:y=2x+1,l3:y=1nx1n.若l1∥l2,l2⊥l3,则m+n的值为(A.10 B.2 C.0 D.8【解析】选A.因为l1∥l2,所以kAB=4-mm+2=2,解得m=8,又l2⊥l3,所以(1解得n=2.所以m+n=10.11.(5分)美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭:将整个脸部按照发际线至眉骨,眉骨至鼻底,鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭,各占脸长的13,五眼:指脸的宽度比例,以眼形长度为单位,把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图,假设三庭中一庭的高度为2cm,五眼中一眼的宽度为1cm,若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘,且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点,则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为(A.524cm B.C.924cm D.【解析】选B.如图,以鼻尖所在位置为原点O,中庭下边界为x轴,垂直中庭下边界且过鼻尖的直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(12,4),B(32,2直线AB的方程:y-42整理为xy+72原点O到直线距离为721+1=712.(5分)数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(2,0),B(0,1),且|AC|=|BC|,则△ABC的欧拉线的方程为()A.2x+4y3=0 B.x2y3=0C.2xy3=0 D.4x2y3=0【解析】选D.由|AC|=|BC|及题意可知△ABC的欧拉线即为线段AB的垂直平分线,因为AB的中点为M(1,12),斜率kAB=12,所以AB垂直平分线的斜率k因此△ABC的欧拉线的方程为y12=2(x1),即4x2y3=013.(5分)在△ABC中,点A(2,1),AB边上中线所在的直线方程为x+3y6=0,∠ABC的内角平分线所在的直线方程为xy+1=0,则点B的坐标为(52,72),△ABC的边BC所在直线的方程为x9y【解析】设点B(x,y),则x-y+1=0,x+22+3×y-1设点A(2,1)关于xy+1=0的对称点A'(m,n),则AA'的中点坐标为(m+22,n-12),k于是n+1m则A'(2,3),所以kA'B=72-3所以直线BC的方程为y72=19(x5即x9y+29=0.14.(10分)(2024·宁波模拟)已知两条直线l1:ax+y+a+1=0,l2:2x+(a1)y+3=0.(1)若l1,l2不重合,且垂直于同一条直线,求a的值.(2)从①直线l过坐标原点,②直线l在y轴上的截距为2,③直线l与坐标轴形成的三角形的面积为1.这三个条件中选择一个补充在下面问题中,并作答.若a=0,直线l与l2垂直,且__________,求直线l的方程.

【解析】(1)因为l1,l2不重合,且垂直于同一条直线,所以l1∥l2,所以a(a-1)=2×1(2)因为a=0,直线l2:2xy+3=0,其斜率为2,又直线l与l2垂直,所以直线l的斜率为12选条件①.由直线l过坐标原点,则直线l的方程为y=12x,即x+2y=0选条件②.由题意设直线l的方程为x+2y+c=0,令x=0,则y=c2,则c2=2,即c所以直线l的方程为x+2y4=0.选条件③.由题意设直线l的方程为x+2y+c=0,令x=0,则y=c2,令y=0,则x=c所以12×|c2|×-c=1,解得c=±2,直线l的方程为x+215.(10分)已知A(4,3),B(2,1)和直线l:4x+3y2=0,若坐标平面内存在一点P,使|PA|=|PB|,且点P到直线l的距离为2,求点P的坐标.【解析】设点P的坐标为(a,b),因为A(4,3),B(2,1),所以线段AB的中点M的坐标为(3,2).而AB所在直线的斜率kAB=-3+14-2=1,所以线段AB的垂直平分线方程为即xy5=0.因为点P(a,b)在直线xy5=0上,所以ab5=0①;又点P(a,b)到直线4x+3y2=0的距离为2,所以|4即4a+3b2=±10②.联立①②,解得a=1,故所求点P的坐标为(1,4)或(277,87【素养创新练】16.(5分)已知M(1,3