河南省多校2023-2024学年高一下学期4月期中联考试题数学

绝密★启用前试卷类型：A2023—2024学年（下）高一年级期中考试数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则复数（）A.B.C.D.2.一个圆柱的侧面展开图是长为4，宽为2的矩形，则该圆柱的轴截面的面积为（）A.32B.C.D.3.若在已知和的条件下，有两个解，则的取值范围是（）A.B.C.D.4.如图所示，水平放置的用斜二测画法画出的直观图为，其中，，那么为（）A.等边三角形B.等腰直角三角形C.钝角三角形D.三边互不相等的三角形5.已知平面向量，则在上的投影向量为（）A.B.C.D.6.在中，边上的中线为，点满足，则（）A.B.C.D.7.一个高为的圆锥形容器（容器壁厚度忽略不计）内部能完全容纳的最大球的半径为，若，则这个圆锥的体积与这个最大球的体积之比为（）A.B.C.D.8.在中，已知为锐角，，若的最小值为，则（）A.B.C.D.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.存在只有三个面的多面体B.平行六面体的六个面都是平行四边形C.长方体是直四棱柱D.棱台的侧面都是梯形10.如图，已知长方形中，，则（）A.的最小值为2B.当时，与的夹角余弦值为C.当时，D.对任意的11.已知锐角三角形的内角所对的边分别是，且的外接圆半径为，，则（）A.B.C.D.面积的最大值为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知一个正四棱锥的底面边长为1，高为，则该正四棱锥的表面积为__________.13.已知复数，若为纯虚数，则实数__________.14.如图，在多面体中，已知是边长为2的正方形，且均为正三角形，则该多面体的体积为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）（1）已知复数在复平面内对应的点在第一象限，，且，求；（2）已知复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围.16.（15分）如图，已知在中，是边的中点，且，设与交于点.记，（1）用表示向量；（2）若，且，求.17.（15分）如图（1）所示，四边形为水平放置的四边形的斜二测直观图，其中.（1）在图（2）所示的直角坐标系中画出四边形，并求四边形的面积；（2）若将四边形以直线为轴旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积.18.（17分）如图，已知四面体的棱长均为6，棱的中点分别为，用平面截四面体，得到三棱台.（1）求三棱台的体积；（2）若为棱上的动点，求的最小值，并求取最小值时线段的长度.19.（17分）在中，内角所对的边分别为，已知.（1）求的外接圆面积；（2）若为的内心，求周长的最大值.2023—2024学年（下）高一年级期中考试数学（A卷）答案一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.答案A命题意图本题考查复数的基本运算.解析.2.答案D命题意图本题考查圆柱的基本性质.解析若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆柱的底面直径为，其轴截面的面积为；若2为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为，其轴截面的面积为.3.答案C命题意图本题考查解三角形的应用.解析因为三角形有两个解，所以，所以，即.4.答案B命题意图本题考查斜二测画法的概念.解析根据斜二测画法还原，则，且，所以为等腰直角三角形.5.答案A命题意图本题考查平面向量的投影向量以及向量的坐标运算.解析因为，所以，所以在上的投影向量为.6.答案A命题意图本题考查平面向量的线性运算.解析为的中点，7.答案D命题意图本题考查球与圆锥的基本结构和相关计算.解析作圆锥的轴截面，如图，由题可知，圆锥的底面半径，则，所以8.答案C命题意图本题考查平面向量的综合运算.解析设的内角的对边分别为.因为，所以当时，取得最小值，则，所以，又为锐角，故.因为，所以，所以，所以，所以.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.答案BCD命题意图本题考查空间几何体的相关概念.解析面数最少的多面体是三棱锥，它有四个面，故A错误；由平行六面体的定义知，平行六面体的六个面都是平行四边形，故B正确；长方体的侧棱都和底面垂直，所以是直四棱柱，故C正确；由棱台的结构特征知，棱台的侧面都是梯形，故D正确.10.答案AC命题意图本题考查平面向量的综合运算.解析以为坐标原点，分别以向量的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，则.对于，因为，所以，当，即时，有最小值，且最小值为2，故A正确；对于，当时，与的夹角余弦值为，故B错误；对于C，当时，，而，故C正确；对于，当时，有最小值，且最小值为，当或1时，的值为1，所以对任意的，故D错误.11.答案BC命题意图本题考查正弦定理与余弦定理的应用.解析由正弦定理可得，又，所以，结合条件可知，故C正确.因为，所以，因为是锐角三角形，所以，故错误，正确.由余弦定理，得，所以，又，所以，解得，当且仅当时，等号成立，所以，则面积的最大值为，故D错误.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.答案4命题意图本题考查棱锥的基本结构.解析如图，四棱锥为正四棱锥，高，底面边长.过点作，垂足为，连接，则斜高.所以正四棱锥的表面积.13.答案8命题意图本题考查复数的相关概念和四则运算.解析因为为纯虚数，所以且，得.14.答案命题意图本题考查简单的组合体的体积计算.解析如图，分别过点作的垂线，垂足分别为，连接，则平面将多面体分成两个同样的三棱锥和一个直三棱柱，容易求得，取的中点，连接，易得多面体的体积四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.命题意图本题考查复数的四则运算､几何意义.解析（1）设，由题意得解得.复数在复平面内对应的点在第一象限，..（2），依题意可得解得.实数的取值范围是.16.命题意图本题考查平面向量在几何问题中的应用.解析（1），，.（2）三点共线，由得，，即，，.另解：.17.命题意图本题考查斜二测画法的概念以及旋转体的有关计算.解析（1）在直观图中，则在四边形中，所以四边形如图所示：由图可知，四边形为直角梯形，所以面积为.（2）直角梯形以直线为轴，旋转一周形成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，由（1）可知几何体的底面圆半径，圆柱的高，圆锥的高，母线长.所以该几何体的体积.表面积.18.命题意图本题考查棱锥与棱台的结构特征以及相关计算.解析（1）作点在平面内的射影，连接.根据题意可知，是等边三角形的中心，则，，即四面体的高为.所以，所以.（2）如图所示，将平面与展开到同一平面，可知.在中，，由余弦定理得，即.由已知得点到的距离是点到的距离的2倍，所以，所以，在中，设，由