数列通项公式的求解策略解题模板-高中数学解题模板

数列通项公式的解题模板

【考点综述】

在高考中数列部分的考查既是重点又是难点，不论是选择题或填空题中对基础知识的考查，

还是压轴题中与其他章节知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键和解决数列难

题的瓶颈.求通项公式也是学习数列时的一个难点.由于求通项公式时渗透多种数学思想方

法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强.

【解题方法思维导图预览】

.第•步:利用又满足条件p,

写出当2时,S-1的表达式

.第二步:利用厮=S”一Sn_i(n>2),

解题方法模板一：..求出质或者转化为厮的递推公式的形式

S“法

第三步:根据5=&求出5,并代入｛an｝

的通项公式进行验证，若成立，则合并；

G若不成立，则写出分段形式或根据5和｛Qn｝

D的递推公式求Hm”

、第•步:将递推公式H成a“+i-a“=f(n)

4第二步:依次弓fl|a—a”-i,,•,,。2—Qi，并

・将它们累加起来M

解题方法模板二.

累加法

•第二步闱到0n—田的值，解出所

G第四步:检验方是杳满足所求通项公式，

若成仁则合并;若不成。则写出分段形式

“第一步:将递推公式乌成盟=〃n)

第二步:依次写出言二,・・・，宾，并

,将它们累乘起来’

解题方法模板三.

累乘法••第三步:得到案的值，解Ula“

G笫四步:检脸Q1是否满足所求通项公式，

P若成立，则合并:若不成立，则写出分段形式

4第•步:假设将递推公式改写为

%+1+t=p(a”+t)

.第一步:山待定系数法，解得t=号

解题方法模板四

构造法一

第二步:写出数列｛a“+号｝的通项公式

◎第四步:写出数列｛%｝通项公式.

数列通项公式卜■第一步：假设将递推公式改写为

On+1+X(n+1)4-1/=p(a„+an+y)

.第一步：由待定系数法，求小工,？的值

解题方法模板五

构造法二一•第三步:导出数列｛a“+M+y｝的通项公式

第四步:写出数列｛。“｝通项公式

.第•步:在递推公式两边同除以qn+1,

得和="+:

解题方法模板六..第二步:利用方法四，求数列｛崇｝的通项公式

构造法三

一。第-：步:写出数列｛<!”｝通项公式

4第•步:假设将递推公式改写成

On+1+san=t(an+SQn-1)

.第二步:利用待定系数法，求Ills"的值

解题方法模板七.

构造法四-―第一:步:求数列｛a“+i+"“｝的通项公式

G第四步:根据数列｛。的1+8。力的通项公式，求出

U｛Q“｝通项公式

4笫一步:将递推公式两边取倒数得

・

y-L-=工_L+1夕

0t»一pP

解题方法模板八..第二步:利用方法五，求出数列｛^;｝的通项公式

构造法五

②第；步:求出数列｛a,J通项公式

.3第一步：

对递推公式两边取对数转化为如+i=pb“+q

解题方法模板九.

,第二步:利用方法五，求出数列｛｝的通项公式

构造法六b,,

©第三步:求出数列｛而｝通项公式

【解题方法】

解题方法模板一：S“法

使用情景:已知S"=/(4)或S"=f(n)

解题模板：第一步利用S“满足条件P,写出当“22时，S,-的表达式；

第二步利用册=Sn-Sn_](n>2),求出an或者转化为a”的递推公式的形式；

第三步根据q=E求出q,并代入｛%｝的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成

立，则写出分段形式或根据«)和｛«„｝的递推公式求出

解题模板应用：

例1在数列｛«,｝中，已知其前〃项和为S“=2"+3,则a,,=.

5,n=1

a=

【答案】"^2"-',n>2

【解析】

解题模板选择：

本题中涉及S“=/(〃)，故选取解题方法模板一法进行解答.

解题模板应用：

第一步利用S“满足条件。，写出当〃22时，Si的表达式；

当〃之2时，S“T=2"T+3：

第二步利用%=S,-S,i(〃N2),求出a“或者转化为a,,的递推公式的形式；

n>24=S„-S„_,=(2"+3)-(2"-'+3)=2小

第三步得出结论：

5,〃=1

%=2"<2'

练习

1.已知数列｛a〃｝的前〃项和S〃满足则加=()

_321、385

0，五D.—

64

【答案】B

【解析】

【分析】由Sn+an=2n,可得当n>2时,多-什a〃一1=2"—2,两式相减可得出一

2｝是首项为力一2,公比为J的等比数列,从而可得结果.

【详解】当时，Sn-i+an-i=2n-2,又Sn+an=2n,

所以2a〃-8"-i=2,所以2(8〃-2)=/-i—2,

故｛为一2｝是首项为团一2,公比为｝的等比数列,

又$+仇=2,故为=1,所以为=一(；)+2,

44r1127

故<57=2———--,

6464

故选:B.

【点睛】本题主要考查利用推关系求数列通项公式，考查了等比数列通项公式，考查

计算推理能力，是基础题

2.设正数数列｛4｝的前“项和为s,,数列｛SJ的前〃项之积为7；,且S,+7；=l,

则数列｛4“｝的通项公式是.

【答案】an~~77

n(n+\)

【解析】

【分析】令〃=1可得q=E=7；=:，利用7；的定义，S“=?(〃N2),可得7,的

递推关系，从而得是等差数列，求出，后可得S“，从而可得见.

【详解】4=$=6，=1,4=；，即5=(=；,

S.=，(〃N2)

即｛1』是以2为首项，1为公差

%

的等差数列,

11A71n

故〒=2+〃-1=〃+1,(=—S〃=-也符合此式，S〃=-J

/”〃+1〃+12〃+1

nn-\_1又・1

・•・当〃22时，。―“而q=g,..%

n〃(〃+1)

1

故答案为：an~

71(77+1)

【点睛】本题考查求数列的通项公式，解题中注意数列的和、数列的积与项的关系，

进行相应的转化.

如对积T.有5,,=/（〃22）,对和s“有a“=S"-S“T（〃N2）,另外这种关系中常常

/"-I

不包括〃=1的情形，需讨论以确定是否一致.

3.设数列｛4｝的前.〃项和为S”，若q=g且当〃之2时，an=-Sn-Sn_｝,则｛4｝的

通项公式«„=.

—n-1

2

【答案】.

«>2

【解析】

【分析】根据5“与4的关系，当〃N2时，可得q,=S“-S,T，从而可得

S,-S,T=—S,JS“T，从而可得!一3=1,进而求出S“，再根据S,与%的关系即

可求解.

【详解】当〃22时，

则S"-S“T=—S,JS.T，

J____1_

5F=i

4=」，:.S]=1,即1=2,

22E

—=2+(n-l)xl=/?+l,

S”

所以S“二—二

〃+1

cc11-1

所以当力22时，O〃=S“-S,I=F--=,

及+ln+

当"二1时，a=—不满足上式，

]2f

故4="

」一n>2

n(n+1)

,2

故答案为：][

n>2

n(n+l)

【点睛】本题主要考查了S“与。，的关系、等差数列的通项公式，需熟记公式，属于

中档题.

4—n

4.已知数列出｝的前〃项和为T“，2b“=T“+2,凡=；,数列｛4｝的

也,，〃为偶数

前"项和为S“，若使得白恰好为数列｛%｝中的某个奇数项，则数列论,｝的通项

公式b„=,所有正整数m组成的集合为.

【答案】(1).2"(2).｛2｝

【解析】

【分析】先利用勿与7“的关系求出｛"｝的通项公式，然后再分别求出邑，”和S2“I的

,n+1

2,4-4

&-m+4/71H----------

表达式，从而A=----------------最后讨论求值即可.

S-'一/+4加+上

3

【详解】当〃=1时，24=(+2=4+2,所以4=2,

当〃“时，2么=7；+2①，2%=7；i+2②，①一②得：2bn-2bn_t=Tn-Tn_{=b„,

化简得"=2〃i，即3=2,

“n-l

所以数列也“｝是以2为首项，2为公比的等比数列，所以々=2-2"T=2"；

$2,"=S奇+S斛

=[3+l+---+(5-2rn)]+(22+2*4+---22m)

加(3+5—2加)4(1—4")

F+1-4

4m+l2，4

----m"+4m——)

33

4™,4

52»>-l=S2m~a2m=7一一+4加一§，

4”用42"4”向—4

-----〃广+4m——-m+4mH-------

・Sc2m=33二_____________3=4k

一%「4，〃244-244ZM-4-，

~n-1---m+4m———m+4机+-----

333

假设为第攵项，攵为奇数，

-3w2+12/n-4

所以人=—1二―>且为奇数，

-m~+4"?+

3

只有当加=2,攵=1满足题意.

故答案为：2";｛2｝.

【点睛】本题考查数列通项公式的求法，考查等差数列和等比数列的综合应用，考

查逻辑思维能力和计算能力，考查分析和解决问题的能力，属于常考题.

22

5.已知数列｛风｝满足:g+与t--+—-—=n+n(neN+),

23n+i

(1)求｛4｝的通项公式；

119

(2)设"=一，若数列｛2｝的前〃项和为S“，求满足5〃>?的最小正整数

4()

【答案】(1)a„=2n(n+l).(2)20.

【解析】

\Sxn-1

【分析】（1）利用-S,i〃22即可求得;

,11111、

(2)由)=—/n=彳(——77).利用裂项相消法即可得.

an2〃(〃+1)2n〃+1

【详解】(I)幺+"+…+•="+〃①

23«+1

当〃=1时，可得q=4,

当〃22时，幺+幺+・・・+4rL=(n-l)2+n-l,②

23n

①-②可得：

71+1

=2n(n+1),〃=1时也满足,

an=2n(n+1).

可)匕」=—1

"an2〃(〃+1)2〃ZJ+1'

111）=如占，

S=—(1——+——

〃2223n〃+1

191119

又S"＞新'而'解得"19,

所以满足S„>—的最小正整数”为20.

_5〃=i

【点晴】（1）利用“"=1S"—S“T〃N2求通项时要注意〃=1时的情况;

（2）裂项相消法是数列求和常用方法，要注意剩余哪些项.

解题方法模板二：累加法

使用情景：型如见+i-。“=/（〃）或%+i=%+/（〃）

解题模板：第一步将递推公式写成4M-4=/(〃)；

第二步依次写出。“一。,一,…,4一。1，并将它们累加起来;

第三步得到4-q的值，解出见;

第四步检验q是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.

解题模板应用:

例2数列｛4｝满足％=1,对任意〃eN*都有。“+[=%+。“+〃，则

20154032八40342016

A、-----B、-------C、-----D、-------

2016201720172017

【答案】B

【解析】

解题模板选择：

本题中涉及-勺=/(〃)，故选取解题方法模板二累加法进行解答.

解题模板应用：

第一步，将递推公式写成一《,=/(〃)；

；4+1=an+〃+1，%+|-4=〃+1

第二步，依次写出可一%_|,…,。2-4，并将它们累加起来；

%一4=2,。3-«2=3,•­•,«„-an_x=n

第三步，得到4-弓值，解出仆；

所以=2+3+4+…+〃，

cc“，cc/n(n+l)12J11)

a=q+2+3+4+...+〃=1+2+3+4+...+〃=------,——------——2-------

2an«(»+1)n+\)

第四步，检验为是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.

qa2a.a2Ql6I22320162017；2017

故选8.

练习

6.已知数列｛4｝满足q=28,%+i=2,则区的最小值为()

nn

29

A.--B.4^7—1C.

3

【答案】C

【解析】

【分析】运用累和法，结合双钩函数的单调性进行求解即可.

【详解】由《“I一%=2〃知：34=2x1,4-4=2x2,...,an-an_y=2(/?-1),

相加得：%-4=九2一〃，----1,函数=-----1在(0,25/7)上单

nnx

调递减，在(2夕,+8)上单调递增，又xeN*,而5<2g<6,且§=?<?=?，

故选：C

【点睛】本题考查了累和法的应用，双钩函数的应用，考查了数学运算能力.

7.设数列｛。“｝满足乜+1-(〃+1)%=—4=：,aa=__________.

〃+2'，2

【答案】«„=—

"〃+1

【解析】

【分析】对条件用-(〃+l)a“进行化简然后运用累加法和裂项求和法推导

出通项

【详解】+

.AiL=]=J_____]_

n+1n(〃+2)(〃+1)n+1n+2

.^n__411_J__]a2_色=JJ_

nn-\nn+\2123

累加可得”-6j__1

n2〃+1

。〃几

•・・〃]=—1,—=1+---1--=------

2n〃+1〃+1

〃+1

故答案为4=:]

【点睛】本题考查了数列通项的求法，在形如用-（〃+1”“=/3的条件时将其

构造出新的数列，然后运用累积法进行求解，需要学生掌握解题方法

8.设数列｛《,｝满足q,M=4+2（〃+l）,〃eN*,《=2,则数列｛（一1）"。“｝的前40项

和是.

【答案】840

【解析】

【分析】利用累加法可求得数列｛4｝的通项公式4=〃（〃+1）,再并项求和求解前

40项和即可.

【详解】因为4用=%+2（〃+l）,〃eN*,且q=2,

故时，a2-at=4,=6,…。“一。,一=2",累加可得

/n（2+2n）/、

ctfJ=2+4+6+...+2〃—----------=〃（〃+1）,

〃=1,4=2满足上式，即%="（〃+1）,

故｛（一的前40项和S=—lx2+2x3—3x4+4x5.…一39x40+40x41

即S=2*2+2x4….2x40=2x生卫上必=840.

2

故答案为：840

【点睛】本题主要考查了累加法求解数列通项公式、并项求和以及等差数列的求和

公式等.属于中档题.

9.在数列｛q｝中，4=2,%+]=a+ln(l+-),则a=.

nnn

【答案】2+lnn

【解析】

【详解】因为q=2,a,,+|=a“+ln(l+3,

n

•*-a〃=(4一an-\)+(〃〃一i一%-2)+,••+・4)+4

=(In〃-ln(〃-l))+(ln(〃—1)—ln(7t-2))H----F(In2—In1)+2

=2+ln〃.

10.已知在数列｛4｝中，4=11且一(〃-1)4+1=1，设2=一~，neN*，则=

anan+\

，数列也｝前〃项和z,=.

n

【答案】(1).2/?-1(2).-一-

2〃+1

【解析】

【分析】根据递推关系可得4立--一二(〃22),可知数列为常数数列，即

nnn-\n-\

可求出通项公式，根据裂项相消法求出｛〃｝前“项和北.

【详解】vna„-(n-l)an+i=1,

n-\nz?(n-l)n-1n

.•.也」=卫...—(«>2)

nnn-\n-\

b-告鸯-"2)

.\azi=2n-l(n>2),n=l,q=1适合上式.

「.。〃二2〃-1,neN*,

1

bn=—^—=--------?--------=-

citlan+1(2/1-1)(2n+1)212〃-12〃+1

n

2〃+1

故答案为：2〃i狎

【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式，通项公式，裂项相消法求和，属于中

档题.

解题方法模板三：累乘法

使用情景：型如也=/（"）或4+i=%x/（〃）

解题模板：第一步将递推公式写成&"=/（〃）：

第二步依次写出区，…，丝，并将它们累乘起来；

第三步得到区的值，解出凡；

a\

第四步检验为是否满足所求通项公式，若成立，则合并：若不成立，则写出分段形式.

解题模板应用：

例3己知数列｛/｝满足q=］卬m求为

3〃+1

2

【答案】a=—

"3〃

【解析】

解题模板选择：

本题中涉及4川=anx/（〃），故选取解题方法模板三累乘法进行解答.

解题模板应用：

第一步，将递推公式写成也=/（〃）；

4+i=〃

an〃+1

第二步，依次写出2，…，&,并将它们累加起来;

%%

123

“2/4««-XXXx«-l«„_1

a

%a2%n-\234naxn

第三步，得到答的值，解出4;

第四步，检验外是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.

22

:4=耳，an=

练习

11.已知数列为,—,…j,…是首项为1,公比为2的等比数列，则log4=()

an-\2

A.心+1)B.迎aC.她@D.”

422

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，求得上匚，再利用累乘法即可求得《，再结合对数运算，即可

a,,-\

求得结果.

【详解】由题设有&=1X2"T=2"T(〃N2),

%

n(n-l)

而a,=qx&x亥x…x2=lx2"2+fT=2丁(n>2),

4%«„-1

当八=1时，4=1也满足该式，故4=2^—

n(n-l)

所以lOg2《,=--一，

故选：D.

【点睛】本题考查利用累乘法求数列的通项公式，涉及对数运算，属综合基础题.

12.已知数列｛4』满足％=1,《加:二凡卜6k)，则为=()

A.〃+1B.nC.---D.—

〃+1n

【答案】D

【解析】

【分析】根据递推关系式，利用累乘法求出数列的通项公式，即可求解.

【详解】由题意，数列｛4｝满足a“+i='=a,,(〃wN*),所以4包=一、，

〃+1''ann+\

a,a,,a、a、n-\n-221,1

所以a“=jx3x…x二x」x“=------x--x...x-x-xl=-.

anAan_2a2a,nn-l32n

故选：D.

【点睛】本题主要考查由递推公式求等差数列的通项公式，考查累乘法在求通项公

式中的应用，属于基础题.

13.已知数列｛褊满足组=匕(乌巴一4+1(〃WN*),且力=6,则｛莉的通项公

式为.

【答案】2n2—n

【解析】

【分析】由题意令77=1可得出，当〃22时，转化条件可得〃="+1,进而

n-ln

^!L-1

可得〃_°，即可得解.

n-l

【详解】因为数列｛劣｝满足%=匕1[七_]+i(〃WN*)，所以

nn卜〃+1)

①当/7=1时，％—1=0即ai=l,

②当〃22时，由％-1=巴口(智—。可得1/一1，

n〃["+1)----=------

n-\n

,、

•・.数列上丁从第二项开始是常数列，

n-\

”T"T

又2_=2'，上—二2，

2-1n-1

an=2rT-n(/?>2),

又q=1=2-1满足上式，

2

：.an-2n-n.

故答案为：2〃2—〃.

【点睛】本题考查了利用数列的递推公式求数列的通项公式，考查了构造新数列的

能力与运算求解能力，合理构造新数列是解题的关键，同时要注意〃的取值范围,

属于中档题.

解题方法模板四：构造法一

使用情景：型如。"+|=〃4+9(其中，4为常数，且，4(〃-1)70,)

解题模板：第一步假设将递推公式改写为%+i+f=p(a”+f)；

第二步由待定系数法，解得f=-J；

P-1

第三步写出数列｛r例+3q、｝的通项公式；

第四步写出数列｛%｝通项公式.

解题模板应用：

例4已知数列｛4｝满足q=1,%+产2《,+1(〃eN*)，求数列｛%｝的通项公式.

n

【答案】an=2-l

【解析】

解题模板选择：

本题中涉及4"+i=pan+q,故选取解题方法模板四构造法一进行解答.

解题模板应用：

解题模板：

第一步，假设将递推公式改写为％+i+f=p（a“+f）;

构造新数列｛G“+p｝,其中P为常数，使之成为公比是G“的系数2的等比数列

二•％M+〃=2（%+〃）

第二步，由待定系数法，解得r=—J；

P-1

整理得：+〃使之满足。7=24+1/.p=i[

第三步，写出数列｛《,+g｝的通项公式；

P-1

即E+1）是首项为G]+1=2,q=2的等比数列,•・4+1=2•2在

第四步，写出数列｛4“｝通项公式.

%=2"-1

练习

14.已知数列｛勺｝满足3《用+勺=4（"21）,且q=9,其前n项之和为S“，则满足

不等式|S,-〃-6k*的最小整数n是

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【解析】

【分析】首先分析题目已知3an+i+an=4（n6N*）且ai=9,其前n项和为Sn,求满足

不等式0-n-6|V上的最小整数n.故可以考虑把等式3ae+an=4变形得到

=然后根据数列bn=an-1为等比数列，求出Sn代入绝对值不等式求解

4,-13

即可得到答案.

【详解】对3an+i+an=4变形得：3(an+i-1)="(an-1)

故可以分析得到数列b„=a„-1为首项为8公比为-g的等比数歹U.

所以bn=an-l=8x

解得最小的正整数n=7

故选C.

【点睛】此题主要考查不等式的求解问题,其中涉及到可化为等比数列的数列的求

和问题，属于不等式与数列的综合性问题,判断出数列an-1为等比数列是题目的

关键，有一定的技巧性属于中档题目.

15.若q=1,an=2a“T+\(n>2,neN),则an=.

【答案】r-\

【解析】

【分析】将原式化为%+1=2(%T+1)(H>2),可得｛%+1｝是首项为2,公比为

2的等比数列，由等比数列的通项公式可求得答案.

【详解】原式可化为%+1=2(4_1+1)(«>2),

因为q+l=2,所以｛q,+l｝是首项为2,公比为2的等比数列,

所以4+1=2",即—

故答案为：2,1-1.

【点睛】本题主要由数列的递推公式构造新数列，使之成等差数列或等比数列的问

题，构造是关键，属于中档题.

解题方法模板五：构造法二

使用情景：型如(其中〃目为常数，且〃工0,)

解题模板：第一步假设将递推公式改写为a“+i+x(〃+l)+y=p(a“+x〃+y)；

第二步由待定系数法，求出x，＞的值；

第三步写出数列｛a.+x〃+y｝的通项公式；

第四步写出数列｛%｝通项公式.

解题模板应用：

例5已知数列｛an｝满足an+l=2a“+3/+4〃+5,%=1,求数歹U｛q,｝的通项公式.

【答案】a„=2,,+4-3n2-10«-18

【解析】

解题模板选择：

本题中涉及4+1=pan+qn+r,故选取解题方法模板五构造法二进行解答.

解题模板应用：

解题模板：

第一步，假设将递推公式改写为4+|+*(〃+1)+y=p(an+xn+y).

设a*.+尸(〃+1)+2=2(。凡+必’+)力+z)⑥

%+x(〃+l)，+)G+l)+z=2(a”+m，+yn+z)

将-初+3”'+4”+5代入⑥式，得

2

24+3n+4"+5+M”+l)2+iy("+l)+z=2(。“+必2+y”+z)贝U

1aK+(3+X)M+(2x+y+4)”+(x+y+z+5)=2aK+2XJ^+2yn+2z

等式两边消去2。”,得(3+x)/+(2x+y+4)〃+(x+y+z+5)=2xM，+2jn+2z,

第二步，由待定系数法，求出的值；

3+x=2xx=3

解方程组2x+y+4=2y.则J尸10,RA@S.得

x+y+z+5=2zz=18

第三步，写出数列｛4+w+y｝的通项公式；

4,+3(〃+1)2+10(”+1)+18=2(4+3/+10〃+18)⑨

由q+3xl2+K)xl+18=l+31=32H0及⑨式，^a„+3n2.10n+18-.0

则—+3("+iy+10("+l)+18=2,故朝jg+3M+ic,+i8｝大上

O,+3»*+10?J+18

q+3xF+iOxl+18=l+31=32为首项，以2为公比的等比数列，因此

a“+3〃2+]0〃+i8=32x2"T,

第四步，写出数列｛%｝通项公式.

则=2"4-3〃2-10〃一18.

练习

16.已知数列｛4,｝的首项q=21,且满足(2〃-5)1=(2〃-3)%+4/―16〃+15,

则｛4｝的最小的一项是

A.a5B.6C.%D.%

【答案】A

【解析】

【分析】利用配凑法将题目所给递推公式转化为+即证得

2〃-32n-512/7-5

为首项为-7,公差为1的等差数列，由此求得的表达式，进而求得。”的表达

2/7-5

式，并根据二次函数的对称轴求得当〃=5时有最小值.

【详解】由己知得詈%=;4+1,3=-7,所以数列［詈公］为首项为-7,

2〃-32〃-52-512”5j

公差为1的等差数列，-^-=-7+(/?-1)=/?-8,贝iJ%=(2〃—5)5—8),其对称轴

2〃一5

〃=写=5.25.所以｛4｝的最小的一项是第5项.故选A.

【点睛】本小题考查由数列的递推公式求数列的通项公式，考查二次函数求最值的

方法，属于中档题.

解题方法模板六：构造法三

使用情景：型如%+i=p%+4”(其中P，9为常数,且P4(P—

,a,pa„1

解题模板：第一步在递推公式两边同除以＜?"+'得n*+=彳,才十一；

第二步利用方法四，求数列｛亍｝的通项公式；

第三步写出数列｛%｝通项公式.

解题模板应用：

例6已知数列｛。“｝满足4+1=24+3x2”,4=2,求数列｛/｝的通项公式.

31

【答案】a„=(-n--)2-

【解析】

解题模板选择：

本题涉及问题，故选取解题方法模板六：构造法三进行解答.

解题模板应用：

第一步，在递推公式两边同除以得泼■=彳,/+/；

44=2^+3、2”两边除以22,得翱=*+：,则相一黑=：,故数列｛*｝是以

为百项，以I为公差的等差数列，

2*22

第二步，利用方法五，求数列｛*｝的通项公式;

q

由等差数列的通项公式，得*=1+(”-1)三，

22

第三步，写出数列｛。“｝通项公式.

练习

17.已知数列｛4｝的前“项和S“=2a〃—2"+i,若不等式2/一〃—3<(5-团4,对

V〃eN+恒成立，则整数4的最大值为.

【答案】4

【解析】

【详解】当〃=1时，S[=2%-2?,得q=4,

当”22时，S,,_l=2an-2",

又S“=2a”-2田，

两式相减得=2an-2a,i-2",得a0=24T+2",

所以会-翳=L

又会=2,所以数列]墨｝是以2为首项，1为公差的等差数列,

之=〃+1,即=(〃+1>2".

2〃一3

因为%>0,所以不等式2/一〃—3<(5-田％等价于5-4>二工

2/7-3,1,

记2,a=一］也

2”4

2/?-1

2”“2”-1

〃22时,

hn2〃-34n-6

2"

h

所以〃之3时，片

3

综上，电)2=A=d，

O

所以5-4>3g"<5-3?=37所以整数4的最大值为4.

888

考点：1.数列的通项公式；2.解不等式.

18.已知数列｛风｝满足q=4,a.=2a,i+2”(〃N2,〃eN*),若不等式

2万-“-3<(5-义”“对任意”eM恒成立，则实数力的取值范围是.

【答案】(口,3?7)

O

【解析】

【分析】由数列递推公式，求得。“=(〃+1>2",把不等式2〃2-〃-3<(5-勿风对任

2“一32”一3

意〃cN*恒成立，转化为2<5-与上对任意〃wN*恒成立，设〃〃)=安工求

得了(〃)的单调性与最值，即可求解.

【详解】由题意，数列｛4｝满足q=4,a“=2a,i+2"("N2,〃eN*),

则及=符+1(常数)，所以数列｛%｝是以捺=2为首项，以1为公差的等差数列，

所以2■=2+(〃—1)x1=〃+1,整理得q=(〃+1)-2",

不等式2/-〃-3<(5-"可对任意〃eN*恒成立，

即5-X>力,；,3=与2对任意“e恒成立,

即几<5-善0对任意〃wN*恒成立，

设小)=亨，则仆+1)-4)=咒『一三=,

当〃=1,2时，/(〃+1)一/(〃)>(),此时数列为递增数列；

当“N3,〃eN+时，/(〃+1)二/•(〃)<(),此时数列为递减数列,

13337

又由“2)=T"3)=£所以4<5-丁方，

4OOO

即实数4的取值范围是(-8,3.7).

O

37

故答案为：(―°°,—).

O

【点睛】本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，以及恒成立问

题的求解和数列的单调性的判定及应用，着重考查转化思想，以及推理与运算能力，

属于中档试题.

19.在数列｛%｝中，卬=1,且a,用=3%+(-1)”,则。“=.(用含〃的式子表示)

［答案］3"(一。"

4

【解析】

【分析】将条件变形为1)”"=3%+；(—1)”,即数列卜是首

3

项为:，公比为3的等比数列，然后可算出答案.

4

【详解】因为用=3a“+(—1)",所以%+；(-1户=3%+；(-1)”,

所以数列”是首项为1，公比为3的等比数列，

所以《+；(-1yq

所以4,■一:(一1)“•

故答案为：

4

【点睛】本题考查数列，考查化归与转化的数学思想与运算求解能力，属于中档题.

n

20.已知在数列｛%｝的前〃项之和为S.，若q=2,an+i=an+2-'+1，则几=

【答案】1078

【解析】

【详解】q=2,a“M=a"+2"T+l=a“+「a,,=2"T+l

aa

=>n=3“一n-\）+（。〃_]一。〃一2）---F（%-出）+（。2-=

%=2”-2+2"-3+.・・+2+1+〃—1+4.

1_2〃T

=---------F〃-1+2=2,,_|+n.

1-2

品>=1+2+2?+•.•+29+