2023-2024-深圳某中学初二年级上册数学期末测试卷

深圳高级中学2023-2024学年第一学期期末测试

初二数学

选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）

1.已知点P（4,-3）,则点P到x轴的距离为（）

A.4B.5C.3D.-3

2.点P(3-a,a+1)在第四象限，则a的取值范围是()

A.a>3B.-l<a<2C.A<-1D.A<1

3.某青年排球队10名队员的年龄如下：20,20,18,19,19,19,21,21,22,22,该队队员年龄的

众数与中位数分别是（）

A.20岁，19岁B.19岁，19岁C.19岁，20.5岁

4.一次函数丫=1«+1）的图象如图所示，那么下列推断正确的是（）

A.k>0,b>0B.k<0,b>0C.k>0,b<0

5.若单项式n?Xny+5与4m2由的是同类项，则下列哪项正确（）

A.x=l,y=2B.x=2,y=-lC.x=0,y=2D.x=3,y=l

3x-l>2

6.不等式组4的解集在数轴上表示为（）

8—4x40

01201?012

7.如下图所示，D在AB上，E在AC上，且NB=NC,那么补充下

列一个条件后，仍无法判定△ABEV△ACD的是（）

A.AD=AEB.NAEB=NADCC.BE=CD

8.某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，打算加工上市销售.该公司的加工实力是：每天可以精加工6

吨或粗加工16吨.现支配用15天完成加工任务，该公司应按排几天精加工，几天粗加工？设支配x

天精加工，y天粗加工.为解决这个问题，所列方程组正确的是（）

A.fx+y=140B.（x+y=140

116x+6y=1516x+16y=15

C.（x+y=15D.（x+y=15

\16x+6y=140l6x+16y=140

2x+3y-k

9.关于x、y的方程组《-'的解x、y的和为4,则k的值为（）

]3x+2y=k+2

A.16B.17C.18

10.一次函数的图象如图所示，当-3<yV3时的取值范围是（

A.x>4B.0<x<2C.0<x<4

11.如图所示，在矩形ABCD中，AB=16,BC=8,将矩形沿对角

线AC折叠，点D落在E点处，且CE与AB交于点F,则AF的

长度为（）

A.6B.8C.10

12.如图，边长为2的等边△ABC的顶点A,B分别在x轴正半轴和y轴

正半轴上运动，则动点C到原点。的距离的最大值是（）

A.V3-1B-百+1C-V6-1D，V6+1

填空题(共4小题，满分12分，每小题3分)

13.如图，已知直线ABIICD,FH平分NEFD,FGJLFH,NAEF=62。，则NGFC=度.

14.已知函数y=(l+2m)x-3是一次函数，要使函数值y随自变量x的增大而减小，那么m的取值

范围是.

15.已知关于x的不等式组J“一“>°的整数解共有6个，则a的取值范围是

2-2x>0

16.如图，已知/BDA=45°,BD=4,AD=3,且三角形ABC是等腰

直角三角形，则CD=.

三.解答题(17题10分，18、19、20题各6分，21、22、23题各8小题)

2x+3y=28

17.(1)解方程组《

6x-y=4

5x+12>6-3x

（2）解不等式组：,4+x1-x-

----------1>-------

33

18.将一副三角板拼成如图所示的图形,过点C作CF平分NDCE交DE于点F.

(1)求证：CFIIAB；

(2)求NDFC的度数.

19.如图，在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,延长AB至点D,使DB=AB,连接CD,以CD为直

角边作等腰三角形CDE,其中NDCE=90。，连接BE.

(1)求证：△ACD2△BCE；

(2)若AC=3cm,求BE的长.

20.某校课外小组为了解同学们对学校"阳光跑操”活动的喜爱程度，抽取部分学生进行调查，被调查的

每个学生按A（特别喜爱）、B（比较喜爱）、C（一般）、D（不喜爱）四个等级对活动评价，图1和图

2是该小组采集数据后绘制的两幅统计图，经确认扇形统计图是正确的，而条形统计图尚有一处错误且

并不完整.请你依据统计图供应的信息.解答下列问题：

图1图2

（1）此次调查的学生人数为；

（2）条形统计图中存在错误的是（填A、B、C、D中的一个），并在图中加以改正;

（3）在图2中补画条形统计图中不完整的部分；

（4）假如该校有600名学生，那么对此活动“特别喜爱"和"比较喜爱”的学生共有多少人？

21.某商场确定购进甲，乙两种纪念品，若购进甲种纪念品1件，乙种纪念品2件，须要160元；购进

甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，须要280元.

（1）购进甲乙两种纪念品每件各须要多少元？

（2）该商场确定购进甲乙两种纪念品100件，并且考虑市场需求和资金周转，用于购买这些纪念品的

资金不少于6000元，同时又不能超过6430元，则该商场共有几种进货方案？

（3）若销售每件甲种纪念品可获利30元，每件乙种纪念品可获利12元，在第（2）问中的各种进货方

案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？

22.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数二-2升2与x

3

轴、y轴分别相交于点A和点B,直线y2=kx+b(kM)经过点C(1,0)

且与线段AB交于点P,并把AABO分成两部分.

(1)求^ABO的面积；

(2)若△ABO被直线CP分成的两部分的面积相等，求点P的坐

标及直线CP的函数表达式.

23.请阅读下列材料：

问题：如图1,△ABC中，NACB=90。，AC=BC,MN是过点A的直线，DB_LMN于点D,联结CD.求

证：BD+AD=V2CD.

小明的思索过程如下：要证BD+AD=J^CD,须要将BD,AD转化到同一条直线上，可以在MN上截

取AE=BD,并联结EC,可证△ACE和4BCD全等，得至ljCE=CD,且NACE=NBCD,由此推出4CDE

为等腰直角三角形，可知DE=&CD,于是结论得证.

小聪的思索过程如下：要证BD+AD=J^CD,须要构造以CD为腰的等腰直角三角形，可以过点C作

CE_LCD交MN于点E,可证△ACE和△BCD全等，得至I」CE=CD,且AE=BD,由此推出△CDE为等

腰直角三角形，可知DE=«CD,于是结论得证.

请你参考小明或小聪的思索过程解决下面的问题：

(1)将图1中的直线MN绕点A旋转到图2和图3的两种位置时，其它条件不变，猜想BD,AD,

CD之间的数量关系，并选择其中一个图形加以证明；_

(2)在直线MN绕点A旋转的过程中，当ZBCD=30。，BD=J^时，求CD的长度.

参考答案与试题解析

一.选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）

1.己知点P（4,-3）,则点P到x轴的距离为（）

A.4B.-4C.3D.-3

考点：点的坐标.

分析：求得-3的肯定值即为点P到x轴的距离.

解答：解：•・・点P到x轴的距离为其纵坐标的肯定值即|-3|=3,

二点P到x轴的距离为3.

故选C.

点评：用到的学问点为：点到x轴的距离为点的纵坐标的肯定值.

2.点P（3-a,a+1）在第四象限，则a的取值范围是（）

A.a>3B.-l<a<2C.A<-1D.A<1

考点：点的坐标.

分析：依据第四象限点的坐标特征，使点的横坐标大于0,纵坐标小于0,列式求值即可.

解答：解：.・・点P（3-a,a+1）在第四象限，

3-a>0,a+l<0,

解得a<-l,故选C.

点评：坐标平面被两条坐标轴分成了四个象限，每个象限内的点的坐标符号各有特点，该学问点是中

考的常考点，常与不等式、方程结合起来求一些字母的取值范围，比如本题中求a的取值范围.

3.某青年排球队10名队员的年龄如下：20,20,18,19,19,19,21,21,22,22,该队队员年龄的

众数与中位数分别是（）

A.20岁，19岁B.19岁，19岁C.19岁，20.5岁D.19岁，20岁

考点：众数；中位数.

分析：依据中位数和众数的定义求解.

解答：解：视察可知：人数最多的年龄是19岁，故众数是19.

共10人，中位数是第5,6个人平均年龄，因而中位数是20.5.

故选C.

点评：本题考查了众数与中位数的意义.中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，

最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数.众数是数据中出现最多的

一个数.

4.一次函数丫=1«+5的图象如图所示，那么下列推断正确的是（)

A.k>0,b>0B.k<0,b>0C.k>0,b<0D.k<0,b<0

考点：一次函数图象与系数的关系.

专题：探究型.

分析：依据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可.

解答：解：••・一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限，

k<0,b>0.

故选B.

点评：本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y=kx+b（kxO）中，当k<0,b>0时

图象在一、二、四象限.

5.若单项式n?Xny+5与4m24'n2x是同类项，则下列哪项正确（）

A.x=l,y=2B.x=2,y=-lC.x=0,y=2D.x=3,y=l

考点：同类项.

分析：依据同类项是字母相同，且相同的字母的指数也相同，可得X、y的值，依据有理数的加法，可

得答案案.

解答：解：•.・>1^俨5与4m2对於是同类项，

3x=2-4y,y+5-2x,

x=2,y=-l

故选：B.

点评：本题考查了同类项，同类项是字母相同，且相同的字母的指数也相同，是解题关键.

3x-l>2

6.不等式组4的解集在数轴上表示为（）

8—4x40

考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集.

专题：计算题.

分析：本题应当先对不等式组进行化简,然后在数轴上分别表示出x的取值范围.

解答:

3x-l>2

解:不等式组《

8-4x<0

由①得，X>1,

由②得，x>2,

故不等式组的解集为：x>2,

在数轴上可表示为：012

故选：A.

点评：本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目经常要结合数轴来推断.要留意x是否取得

到，若取得到则X在该点是实心的.反之X在该点是空心的.

7.如下图所示，D在AB上，且NB=NC,那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE合△ACD的

A.AD=AEB.NAEB=NADCC.BE=CDD.AB=AC

考点：全等三角形的判定.

分析：三角形中NB=NC,NA=NA,由全等三角形判定定理对选项一一分析，解除错误答案.

解答：解：添加A选项中条件可用AAS判定两个三角形全等；

添加B选项以后是AAA,无法证明三角形全等：

添加C选项中条件可用AAS判定两个三角形全等；

添加D选项中条件可用ASA判定两个三角形全等：

故选B.

点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，一般两个三角形全等共有四个定理，即AAS.ASA、

SAS、SSS,直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA,无法证明三角形全等，本题是一道较为

简洁的题目.

8.某蔬菜公司收购到某种蔬菜14()吨，打算加工上市销售.该公司的加工实力是：每天可以精加工6

吨或粗加工16吨.现支配用15天完成加工任务，该公司应按排几天精加工，几天粗加工？设支配x

天精加工，y天粗加工.为解决这个问题，所列方程组正确的是()

A.(x+y=140B.Jx+y=140

16x+6y=156x+16y=15

C.jx+y=15D.(x+y=15

|16x+6y=140l6x+16y=140

考点：由实际问题抽象出二元一次方程组.

分析：两个定量为：加工天数，蔬菜吨数.

等量关系为：精加工天数+粗加工天数=15；6x精加工天数+16、粗加工天数=140.

解答：解：设支配x天精加工，y天粗加工，列方程组：

fx+y=15

I6x+l6y=l40'

故选D.

点评：要留意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组.依据定量来找等量关系是

常用的方法.

2x+3y=k

9.关于x、y的方程组＜的解x、y的和为4,则k的值为()

3x+2y=Z+2

A.16B.17C.18D.19

考点：解三元一次方程组.

分析：解关于x、y的方程组，x,y即可用k表示出来，再依据x、y的和为12,即可得到关于k的方

程，从而求得k的值.

解：解方程得I

k+6k-4

依据题意得：上？+二：=4

55

解得:k=18.

故选C.

点评：正确解关于x,y的不等式组是解决本题的关键.

10.一次函数的图象如图所示，当-3VyV3时的取值范围是（)

C.0<x<4D.2<x<4

考点：一次函数与一元一次不等式.

分析：函数经过点（0,3）和（4,-3）,依据一次函数是直线，且这个函数y随x的增大而减小，即

可确定.

解答：解：函数经过点（0,3）和（4,-3）,则当-3<y<3时，x的取值范围是：0<x<4.

故选C.

点评：仔细体会一次函数与一元一次不等式（组）之间的内在联系.理解一次函数的增减性是解决本

题的关键.

11.如图所示，在矩形ABCD中，AB=16,BC=8,将矩形沿对角线AC折叠，点D落在E点处，且

CE与AB交于点F,则AF的长度为（）

V

F.

A.6B.8C.10D.12

考点：翻折变换(折叠问题).

分析：由在矩形ABCD中，AB=16,BC=8,依据矩形的性质，可得CD=AB=8,ABIICD,ZB=90°,

又由折叠的性质，易得△ACF是等腰三角形，即AF=CF,然后在Rt^BCF中，利用勾股定理,

即可得方程x2=(16-x)2+82,解此方程即可求得答案.

解答：解：・在矩形ABCD中，AB=16,BC=8,

CD=AB=16,ABIICD,ZB=90",

/.ZDCA=ZBAC,

由折叠的性质可得：ZDCA=ZECA,CE=CD=16,

ZBAC=ZECA,

/.CF=AF,

设AF=x,则CF=x,BF=AB-AF=16-x,

在RtABCF中，CF2=BF2+BC2,

即x2=(16-x)2+82,

解得：x=10,

AF=10.

故选C.

点评：此题考查了折叠的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理.此题难度适中,

留意驾驭折叠前后图形的对应关系，留意驾驭数形结合思想与方程思想的应用.

12.如图，边长为2的等边△ABC的顶点A,B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动，则动点C到

原点O的距离的最大值是()

CV6-1D，

考点：直角三角形斜边上的中线；坐标与图形性质；三角形三边关系；等边三角形的性质.

专题：计算题.

分析：由题意得到当OA=OB,即三角形AOB为等腰直角三角形时，OC最大，画出相应的图形，连接

OC,交AB与点D,由对称性得到OC垂直于AB,利用三线合一得到D为AB的中点，利用斜

边上的中线等于斜边的一半表示出0D的长，在直角三角形BCD中，利用勾股定理表示出CD

的长，由OD+DC即可求出0C的长.

解答：解：由题意得：当OA=OB时，连接0C,可得0C最大，如图所示，

由对称性可得OCJ_AB,

•••△AOB为等腰直角三角形，AB=2,

OD=』AB=,

21

在RtABCD中，BC=2,BD=I,

依据勾股定理得：CD=G，

贝|JOC=OD+DC=J^+1.

故选B.

点评：此题考查了直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的性质，以及勾股定理，娴熟驾驭性质

及定理是解本题的关键.

二.填空题（共2小题，满分6分，每小题3分）

13.如图，已知直线ABIICD,FH平分NEFD,FG_LFH,NAEF=62。，则NGFC=59度.

考点：平行线的性质.

分析：先依据平行线的性质得出NEFC与NEFD的度数，再依据FH平分NEFD得出NEFH的度数,

再依据FG±FH可得出NGFE的度数，依据NGFC=ZCFE-ZGFE即可得出结论.

解答：解：•••ABIICD,NAEF=62°,

ZEFD=ZAEF=62°,ZCFE=1800-ZAEF=180°-62°=118°；

•••FH平分NEFD,

ZEFH=lzEFD=lx62o=31°；

22

又FG_LFH,

ZGFE=90°-ZEFH=90°-31°=59°,

ZGFC=ZCFE-ZGFE=118°-59°=59°.

故答案为：59.

点评：本题考查的是平行线的性质，用到的学问点为：两直线平行内错角相等，同旁内角互补.

14.已知函数y=(l+2m)x-3是一次函数，要使函数值y随自变量x的增大而减小，那么m的取值

范围是m<--.

2—

考点：一次函数图象与系数的关系.

专题：函数思想.

分析：依据已知条件"函数值y随自变量x的增大而减小"推知自变量x的系数1+2m<0,然后通过解

该不等式求得m的取值范围.

解答：解：・.・函数y=(l+2m)x-3是一次函数，要使函数值y随自变量x的增大而减小，

l+2m<0,

解得m<--.

2

故答案是：m<-A.

2

点评：此题考查了一次函数图象与系数的关系.解答本题留意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b

的符号有干脆的关系.k>0时，直线必经过一、三象限.k<0时，直线必经过二、四象限.b

>0时，直线与y轴正半轴相交.b=0时，直线过原点；b<0时，直线与y轴负半轴相交.

15.已知关于x的不等式组1的整数解共有6个，则a的取值范围是-6分<-5..

2-2x>Q

考点：一元一次不等式组的整数解.

专题：计算题.

分析：首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，依据整数解的个数就可以确定有哪些整数

解，依据解的状况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围.

解答：(x-a>0

解：不等式组1得解集为a<x〈l,

2-2x>0

x-a>0

因为不等式组4的整数解共有6个为0,-1,-2,-3,-4,-5

2—2,x>0

所以a的取值范围是-64a<-5.

点评：解答此题要先求出不等式组的解集，求不等式组的解集要遵循以下原则：同大取较大，同小取

较小，小大大小中间找，大大小小解不了.

16.如图，已知/BDA=45°,BD=4,AD=3,且三角形ABC是等

腰直角三角形，则CD=.

BC

考点等腰三角形，三角形全等，勾股定理.

专题计算题.

分析通过构造与CD边相等的直角三角形，然后利用勾股定理即可求出CD的长.

解答如图，过点D和点A分别作BD,AD的垂线，并记它们的交点为E,

贝i」DE_LBD,AE±AD,

DE1BD,ZBDA=45°,；./ADE=45°

又二△ADE为等腰直角三角形。

所以AE=AD=3,

在aBAE和4CAD中，

AE=AD

ZEAD+ZDAB=ZCAB+ZDAB,即NEAB=NDAC

△ABC为等腰直角三角形，；.AB=AC

AABAE^ADAC(SAS)

；.BE=CD

在RtZ\AED中，DE2=AE2+AD2,DE=3&

在RtZ\BED中，BE2=BD2+DE2,BE=V34

，CD=BE=V34

点评：本题难度较大，须要构造新的三角形并证明与原来的三角形全等，对等腰三角形性质的考察很

全面.

三.解答题(共9小题)

“一,2x+3y=28

17.(1)解万程组，-

6x-y=4

考点：解二元一次方程组.

专题：计算题.

分析：方程组利用加减消元法求出解即可.

解答：(2x+3y=28⑴

解：\/,

6x-y=4(2)

①+②*3得：20x=40,即x=2,

将x=2代入①得：y=8,

x=2

则方程组的解为《

y=8

点评：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：加减消元法与代入消元法.

5x+12>6-3x

(2)解不等式组：(4+xl-x-

------1>----

I33

考点:解一元一次不等式组.

分析:本题可依据不等式组分别求出X的取值，然后画出数轴，数轴上相交的点的集合就是该不等式

的解集.若没有交集，则不等式无解.

解答:解：不等式组可以转化为：

3

x>—

4,

x>\

同大取大：.•.不等式组的解集为XN1.

点评:求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小

解不了.

18.将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分NDCE交DE于点F.

(1)求证：CFIIAB；

(2)求NDFC的度数.

考点：平行线的判定；角平分线的定义；三角形内角和定理.

专题:证明题.

分析:(1)首先依据角平分线的性质可得N1=45。，再有N3=45。，再依据内错角相等两直线平行可判

定出ABHCF；

(2)利用三角形内角和定理进行计算即可.

解答:(1)证明：CF平分NDCE,

Z1=Z2=lzDCE,

2

ZDCE=90°,

Z1=45°,

•••Z3=45°,

Z1=N3,

AABIICF(内错角相等，两直线平行)；

（2）ZD=30°,Z1=45°,

ZDFC=180°-30°-45°=105°.

点评：此题主要考查了平行线的判定，以及三角形内角和定理，关键是驾驭内错角相等，两直线平行.

19.如图，在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,延长AB至点D,使DB=AB,连接CD,以CD为直

角边作等腰三角形CDE,其中NDCE=90。，连接BE.

（1）求证：△ACD2△BCE；

（2）若AC=3cm,则BE=_cm.

考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形.

专题：几何图形问题.

分析：（1）求出NACD=NBCE,依据SAS推出两三角形全等即可；

（2）依据全等得出AD=BE,依据勾股定理求出AB,即可求出AD,代入求出即可.

解答：（1）证明：・・•△CDE是等腰直角三角形，NDCE=90。，

CD=CE,

ZACB=90",

ZACB=NDCE,

ZACB+ZBCD=ZDCE+ZBCD,

ZACD=ZBCE,

在^ACD和ABCE中

rAC=BC

<ZACD=ZBCE>

CD=CE

△ACD"△BCE（SAS）；

（2）解：AC=BC=3,ZACB=90°,由勾股定理得：AB=3^,

又.•DB=AB,

AD=2AB=6&,

；△ACD空△BCE；

BE=AD=6M，

故答案为：6,\/2-

点评：本题考查了等腰直角三角形性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生

运用定理进行推理的实力.

20.某校课外小组为了解同学们对学校"阳光跑操”活动的喜爱程度，抽取部分学生进行调查，被调查的

每个学生按A（特别喜爱）、B（比较喜爱）、C（一般）、D（不喜爱）四个等级对活动评价，图1和图

2是该小组采集数据后绘制的两幅统计图，经确认扇形统计图是正确的，而条形统计图尚有一处错误且

并不完整.请你依据统计图供应的信息.解答下列问题：

图2

(1)此次调杳的学生人数为200；

(2)条形统计图中存在错误的是(填A、B、C、D中的一个)，并在图中加以改正;

(3)在图2中补画条形统计图中不完整的部分；

(4)假如该校有600名学生，那么对此活动“特别喜爱"和"比较喜爱”的学生共有多少人？

考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图.

专题：图表型.

分析：(1)依据A、B的人数和所占的百分比求出抽取的学生人数，并推断出条形统计图A、B长方

形是正确的；

(2)依据(1)的计算推断出C的条形高度错误，用调查的学生人数乘以C所占的百分比计算

即可得解；

(3)求出D的人数，然后补全统计图即可；

(4)用总人数乘以A、B所占的百分比计算即可得解.

解答：解：(1)•.•40+20%=200,

80-T40%=200,

此次调查的学生人数为200；

(2)由(1)可知C条形高度错误，

应为：200x(1-20%-40%-15%)=200x25%=50,

即C的条形高度改为50；

故答案为：200；C；

(3)D的人数为：200x15%=30；

(4)600x(20%+40%)=360(人)，

答：该校对此活动“特别喜爱"和"比较喜爱"的学生有360人.

人好

80三三#三三三

60

二『#二口二：二;

40

20■…■■•・■・.…・.・・…・・■・…・・匕・・…1

0

ABCD’类型

点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图，从不同的统计图中得到必要

的信息是解决问题的关键.条形统计图能清晰地表示出每个项目的数据；扇形统计图干脆反映

部分占总体的百分比大小.

21.某商场确定购进甲，乙两种纪念品，若购进甲种纪念品1件，乙种纪念品2件，须要160元：购进

甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，须要280元.

(1)购进甲乙两种纪念品每件各须要多少元？

(2)该商场确定购进甲乙两种纪念品100件，并且考虑市场需求和资金周转，用于购买这些纪念品的

资金不少于6000元，同时又不能超过6430元，则该商场共有几种进货方案？

(3)若销售每件甲种纪念品可获利30元，每件乙种纪念品可获利12元，在第(2)问中的各种进货方

案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？

考点：一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用.

分析：(1)设购进甲乙两种纪念品每件各须要x元和y元，依据购进甲种纪念品1件，乙种纪念品2

件，须要160元；购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，须要280元列出方程，求出x,y的

值即可；

(2)设购进甲种纪念品a件，则乙种纪念品(100-a)件，依据购进甲乙两种纪念品100件和

购买这些纪念品的资金不少于6000元，同时又不能超过6430元列出不等式组，求出a的取值

范围，再依据a只能取整数，得出进货方案；

(3)依据实际状况计算出各种方案的利润，比较即可.

解答：解：(1)设购进甲乙两种纪念品每件各须要x元和y元，依据题意得：

'x+2尸160

2x+3y=280

解得:卜=80,

ly=40

答：购进甲乙两种纪念品每件各须要80元和40元；

(2)设购进甲种纪念品a件，则乙种纪念品(100-a)件，依据题意得：

'80a+40(100-a)>6000

180a+40(100-a)《6430,

解得：50<a<243,

4

「a只能取整数,a=50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,60,

・••共11种进货方案，

方案1：购进甲种纪念品50件，则购进乙种纪念品50件；

方案2：购进甲种纪念品51件,则购进乙种纪念品49件;

方案3：购进甲种纪念品52件,则购进乙种纪念品48件;

方案4：购进甲种纪念品53件,则购进乙种纪念品47件;

方案5：购进甲种纪念品54件,则购进乙种纪念品46件;

方案6：购进甲种纪念品55件,则购进乙种纪念品45件;

方案7：购进甲种纪念品56件,则购进乙种纪念品44件;

方案8：购进甲种纪念品57件,则购进乙种纪念品43件;

方案9：购进甲种纪念品58件,则购进乙种纪念品42件;

方案10：购进甲种纪念品59件，则购进乙种纪念品41件;

方案11：购进甲种纪念品60件，则购进乙种纪念品40件;

(3)因为甲种纪念品获利最高，

所以甲种纪念品的数量越多总利润越高，

因此选择购进甲种纪念品60件，购进乙种纪念品40件利润最高，

总利润=60x30+40x12=2280(元)

则购进甲种纪念品60件，购进乙种纪念品40件时，可获最大利润，最大利润是2280元.

点评：此题考查了一元一次不等式组的应用和二元一次方程组的应用，读懂题意，找到相应的关系,

列出式子是解题的关键，留意其次问应求得整数解.

22.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y「-2x+2与x轴、丫轴分别相交于点A和点B,直

3

线y2=kx+b(kxO)经过点C(1,0)且与线段AB交于点P,并把△ABO分成两部分.

(1)求4ABO的面积；

(2)若△ABO被直线CP分成的两部分的面积相等，求点P的坐标及直线CP的函数表达式.

考点：一次函数综合题.

专题：综合题.

分析：(1)己知直线yi的解析式，分别令x=0,y=0求出A,B的坐标，继而求出SAABO.

(2)由(1)得SAAB。，推出S«APC的面积为旦求出yp=2继而求出点P的坐标，依题意可

22

知点C,P的坐标，联立方程组求出k,b的值后求出函数解析式.

解解：⑴在直线二->1x+2中，令X=O,得yi=2,

B(0,2),

令yi=0,得x=3,

A(3,0),

AOBX3X2=3；

SAABO4'04

⑵聂迎）乂3,，

•・•点P在第一象限，

AC，yXxy=

SAApc4p4（3-1）pf

解得y）

yp2

而点P又在直线yi上，

・••"4+2，

23Xz

解得x/.

X4

p（W,2）,

42

（0=k+b

将点C（1,0）、P（国，卫），代入y=kx+b中，有433,

42|^k+b

*=-6

\b=6

直线CP的函数表达式为y=-6x+6.

点评：本题考查的是一次函数的性质以及三角形面积的综合运用，难度中等.

23.请阅读下列材料:

问题：如图I,AABC中，NACB=90°,AC=BC,MN是过点A的直线，DB_LMN于点D,联结CD.求

证：BD+AD=72CD.

小明的思索过程如下：要证BD+AD=^CD,须要将BD,AD转化到同一条直线上，可以在MN上截

取AE=BD,并联结EC,可证△ACE和4BCD全等，得至UCE=CD,且NACE=NBCD,由此推出仆CDE

为等腰直角三角形，可知DE=J^CD,于是结论得证.

小聪的思索过程如下：要证BD+AD=^CD,须要构造以CD为腰的等腰直角三角形，可以过点C作

CEJ_CD交MN于点E,可证△ACE和△BCD全等，得至ljCE=CD,且AE=BD,由此推出△CDE为等

腰直角三角形，可知DE=«CD,于是结论得证.

请你参考小明或小聪的思索过程解决下面的问题：

(1)将图1中的直线MN绕点A旋转到图2和图3的两种位置时，其它条件不变，猜想BD,AD,

CD之间的数量关系，并选择其中一个图形加以证明；__

(2)在直线MN绕点A旋转的过程中，当NBCD=30。，BD=^时，CD=E±1.

考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理：等腰直角三角形；旋转的性质.

分析：(1)过点C作CE_LCB于点C,与MN交于点E,证明△ACE空△DCB,则△ECB为等腰直角

三角形，据此即可得至ijBE=&CB,依据BE=AB-AE即可证得；

(2)过点B作BH±CD于点H,证明△BDH是等腰直角三角形，求得DH的长，在直角△BCH

中，利用直角三角形