集合间的基本关系（解析版）-2021年初升高数学无忧衔接（人教A版2019）

专题16集合间的基本关系

“打目标

1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.

2.在具体情境中，了解空集的含义

3.能使用Venn图表达集合间的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用

知积福讲

高中必备知识点1：Venn图的优点及其表示

(1)优点：形象直观.

(2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合.

高中必备知识点2：子集、真子集、集合相等的相关概念

［知识点拨］(1)”A是8的子集”的含义：集合4中的任何一个元素都是集合8的元素，即有任意xdA能

推出

(2)不能把“AUB”理解为“A是8中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B.

(3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B,或集合B不包含集合A.

(4)对于集合A,B,C,若AU8,BUC,则AUC；任何集合都不是它本身的真子集.

(5)若AUB,且4r8,则4。8.

高中必备知识点3：空集

(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为。.

(2)规定：空集是任何集合的子集.

高中必备知识点4：集合间关系的性质

(1)任何一个集合都是它本身的子集，即AMA.

⑵对于集合A，B,C,

①若ANB,且8UC,则AUC；

②若AUB,BUC,则AUC.

⑶若AUB,AW8,则AUB.

典例制析

高中必会题型1：确定集合的子集、真子集

1.(1)已知集合M满足{1,2氾怵{1,2,3,4.5),写出集合M所有可能情况.

(2)已知非空集合M3{1,2,3,4,5},且当al2M时，有6-al3M,试求M所有可能的结果.

【答案】(1){1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,

2,3,4,5}；(2){3},{1,5},{2,4},{1,3,5},{2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}.

(1)因为{1,2}c/W,所以2GM,

又因为2,3,4,5},

所以M是含有1，2的{1,2,3,4,5}的子集，

故M的所有可能情况是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,

5},{1,2,3,4,5}共8个.

(2)若M只含1个元素，则M={3}；

若M只含2个元素，则乂={1,5},{2,4}；

若M只含3个元素，则乂={1,3,5},{2,3,4}；

若M只含4个元素，则M={1,2,4,5}；

若M含5个元素，则乂={1,2,3,4,5).

所以M可能的结果为：{3},{1,5},{2,4},{1,3,5},{2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共7

个.

2.写出集合{0,1,2}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.

【答案】见解析

集合{0,1,2}的所有子集为0,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}.

真子集为0,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2}.

3.已知A={a,Z?,c},则求：

（1）集合A的子集的个数，并判断0与集合A的关系

（2）请写出集合4的所有非空真子集

【答案】（1）8,0A（2）[a],{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}

（1）A={a,"c}的子集有0,{a},仍},{c},{a,。},{a,c},{b,c},{a,0,c}共8个，

其中0A.

（2）集合4的所有非空真子集有{a},仍},{c},{a,b},{a,c},{b,c}.

4.（1）写出集合{a,b,c,d}的所有子集；

（2）若一个集合有"（虑N）个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？

【答案】（1）见解析；（2）有2"个子集，2"-1个真子集.

（1）集合{a,"c,d}的所有子集有:0、{a}、{"}、{c}、{d}、{a,b},{a,c}、{a,d}、{“c}、{瓦d}、

{c,d}、{a,0,c}、[a,b,d}s{a,c,。}、{b,c,d],[a,b,c,d]；

（2）若一个集合有"（nGN）个元素，则它有2"个子集，2”—1个真子集.

5.举出下列各集合的一个子集：

（1）A={x|x是立德中学的学生};

（2）8={X|X是三角形};

（3）C={0}:

(4)D={xeZ|3cx<30}.

【答案】（1）{x|x是立德中学的女生}

（2）{x|尤是直角三角形}

（3）{0}

（4）{4,5,6}

（1）{x|x是立德中学的女生}

（2）{x|x是直角三角形}

（3）{0}

（4）{4,5,6）

高中必会题型2：集合间关系的判断

1.判断下列集合间的关系：

(l)4={x|x-3>2},8={x|2x-520}；

(2)/\={x0Z|-l<x<3}(B={x\x=\y\,ySA}.

【答案】⑴A❷8(2)8❷A

(1)V4={x|x—3>2}={x|x>5},

5

B={x|2x-5>0}={x|x>-},

2

二利用数轴判断4、8的关系.

如图所示，A❷B.

*

(2)V4={xSZ|-l<x<3}={—1,0,1,2},8={x|x=|y|,yj,..8={0,1,2}>：.B^A.

2.判断下列各组中集合之间的关系：

(1)A={x|x是12的约数},B={x|x是36的约数};

(2)A={x|x是平行四边形},B={x|x是菱形},C={x|x是四边形},D={x|x是正方形};

(3)A={x|-l<x<4},8={x|x<5}.

【答案】(1)A08；(2)D08040C：(3)施B.

(1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以A回B.

(2)由图形的特点可画出论cn图如图所示，从而D0BEW0C.

(3)易知A中的元素都是8中的元素，但存在元素，如一2GB,但一2胡，故A0B.

3.指出下列集合之间的关系：

A={(x,y)ly=x-l,xeN},B={(x,y)|y=x_l,xeR}.

【答案】AB

集合4={(羽>)|丁=%-1,尤61^}表示的是直线>=》—1上的一些孤立的点的集合，

而集合B={(x,y)ly=x-l,xeR}发示的是直线y=x-l上所有的点的集合，

因此AB.

4.写出下列每对集合之间的关系：

(1)A={1,2,3,4,5},5={1,3,5);

(2)C={x}x2-i},D={x||%|=1}；

(3)E=(«,3),F=(-l,2］；

(4)G={x|x是对角线相等且互相平分的四边形},"={x|x是有一个内角为直角的平行四边形}.

【答案】(1)BA;(2)C=r>:(3)FE;(4)G=H.

(1)因为B的每个元素都属于A,而4GA且4走B,所以8A.

(2)不难看出，C和D包含的元素都是1和—1，所以C=O.

(3)在数轴上表示出区间E和F,如图所示.

-3-2-10123x

由图可知尸E.

(4)如果xwG,则x是对角线相等且互相平分的四边形，所以x是矩形，从而可知x是有一个内角为直

角的平行四边形，所以％€"，因此G=".

反之，如果xeH,则x是有一个内角为直角的平行四边形，所以x是矩形，从而可知是x对角线相等且互

相平分的四边形，所以xeG，因此

综上可知，G=H.

5.已知集合4={.1夕=\/。2+々+]_Ja2_a+],ae"},集合8=2,〃eR},试判断A与3

之间的关系，并说明理由.

【答案】A是8的真子集.，理由见解析

因为p=\Ja2+a+l-yja2-6(+l

1/Q

则P的几何意义是X轴上的点尸(a,0)到定点A与点B的距离之差.即〃=~4一尸3.

[22J

•.•三角形两边之差的绝对值小于第三边,

，|PA-PB|<AB且尸，A，8三点不共线，即IpKL

/.-1<p<1.即A={p]-1<〃<1}；

又5={p||p|融,peH}={p|-2Wp2}.

：.A是B的真子集.

高中必会题型3：由集合间的关系求参数问题

1.设集合A={x|a—l<x<2a,aeR},不等式f一2%一8<()的解集为8.

(1)当a=0时，求集合A,B.

(2)当A=8时，求实数a的取值范围.

【答案】(1)A={x|-1<x<0},8={x|-2<x<4}；(2)[a\a<2\.

(1)解：当a=0时，A={x|-l<x<0},

解不等式£_2%_8<0得：-2<x<4,B|JB={x|-2<x<4}.

(2)解：若Aa3，则有：

①力=0,即2aWa—l,即aW—l,符合题意，

2a>a-{

②有<4—12—2,解得：—1<。42.

2a<4

综合①②得：„42}.

2.设集合A={xe+4x=o},7?|x2+2(«+l)x+6!2-1=0,67e,若B=A,求实数a

的值.

【答案】O<—1或a=l.

•；A={0,—4},BQA,于是可分为以下几种情况.

(1)当A=B时，8={0,-4},

—2(。+1)=—4

.♦•由根与系数的关系,得《解得a=l.

a2-l=0

(2)当3WA时，又可分为两种情况.

①当8。0时，即8={0}或8={—4},

当x=0时，有a=±l；

当x=—4时，有。=7或。=1.

又由Zl=4(o+1)2—4(o2—1)=0,

解得。=-1,此时B={0}满足条件；

②当B=0时，Zl=4(a+l)2-4(a2-l)<0,

解得。<一1.

综合⑴(2)知，所求实数a的取值为a<-l或a=l.

3.设集合A={x|-X2+3X+1020},8={X|X2-3ax+2a2c0},若03A,求实数a的取值范围

【答案】[-1,|]

•集合A={x|-X2+3X+10>0}={X|-2<x<5},

B={x|x2-3ax+2a2<0}={x|(x-a)(x-2a)<0},

BQA,

当a=0时，8=0,成立;

当a<0时，8={x|2o<x<a},

2。2—2

由BQA,得，,解得

a<5

当a>0时，B={x|a<x<2a},

a>-2,解得OVaW3,

由BQA,得,

2a<52

综上，实数。的取值范围是［-1,I5

4.已知集合4=仅,<1或x>2},8={x|-m<x<m},若BEL4,求m的取值范围.

【答案】m<l.

若8=0,则m<0,满足BUA,

若8",则m>0,由8=4得mvl,解得，OVmH.

综上所述：实数m的取值范围为mSl.

5.设4={-3,4},8={x|x2-2ax+b=O},BHEI且8aA,求a,b.

【答案】答案见解析

因为8W0,BQA,

所以8={-3}或{4}或{-3,4}.

9+6a+h=O

当8={-3}时,<△=4i=0’解得…加9；

16—8〃+b=0

当8={4}时，〈,解得。=4,6=16；

A=4仁9-4Z?=0

9+6“+。=0

当8={-3,4}时，<16—8。+〃=0,解得°二一,b=~12.

A=4/-4b>0

"对X4栋

1.若集合八二{1,3,x},B={x2'1},且则，则满足条件的实数x的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】c

解析由BQA,知X2=3或x2=x,

解得x=±6,或x=0,或x=l,

当x=l时，集合A,8都不满足元素的互异性，故x=l舍去.

故选：C

2.以下四个关系：瓯{0},0瓯，{回}1{0},0^{0},其中正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

集合与集合间的关系是U,因此。亡{0}错误；{。}表示只含有一个元素（此元素是。）的集合，所以{。}1{0}错误;

空集不含有任何元素，因此0G。错误；。［{0}正确.因此正确的只有1个.

故选：A.

3.设集合4={1,x2},B={x},且BM,则实数x为（）

A.0B.1

C.0或1D.。或-1

【答案】A

因为8UA,所以xCA,

所以x=l或x=x2,x2*l,解得x=0.

故选：A.

4.已知集合4={1,2},3={划（％—1）（》-0）=0,。€/?卜若4=3,则。的值为（）

A.2B.1

C.-1D.-2

【答案】A

因为A=8,所以集合8为双元素集，

即3={%|（x-1）-a）=0,a£/?}={1,a}={1,2}

所以。=2.

故选：A.

5.下列集合与集合A={2,3}相等的是（)

A.{（2,3）}B.{（x,y）|x=2,y=3}

C.{#2_5》+6=0}D.{x=2,y=3}

【答案】c

集合A表示数字2和3的集合.

对于A：集合中的元素代表点（2,3）,与集合A不同，A错误；

对于B：集合中的元素代表点（2,3）,与集合A不同，B错误；

对于C：由一5x+6=o得：x=2或x=3,与集合A元素相同，C正确;

对于D：表示两个代数式的集合，马集合A不同，D错误.

故选：C.

6.集合A={xeN|lVx<4}的真子集的个数是（）

A.16B.8C.7D.4

【答案】C

解：•••A={xeN|lWx<4}={l,2,3},

.•.A={xeN|l«x<4}的真子集为：0,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}共7个.

故选：C.

7.设人={1,4,x},B={1,X2},若BEM,则x等于()

A.0B.-2C.。或-2D.0或±2

【答案】D

因为A={1,4,x},B={1,*2}>

若8UA,则x?=4或x?=x,解得x=2或-2或1或0.

①当x=0,集合A={1,4,0},8={1,0},满足8UA.

②当x=L集合A={1,4,1}不满足元素的互异性.

③当x=2,集合A={1,4,2},8={1,4},满足BUA.

④当x=-2,集合A={1,4,-2},8={1,4},满足8aA

综上，x=2或-2或0.

故选：D.

8.设集合M={x|x=2n,喧Z},N={x|x=4n±2,nEIZ}.则()

A.MSNB.M0N

C.M=ND.以上都不正确

【答案】B

集合M={x|x=2n,nGZ),故集合M中的元素是2与整数的乘积的集合，

N={x|x=4n±2,n£Z}={x|x=2(2n±l),n£Z},

故集合N的元素是2与奇数的乘积的集合，

故N窿M,

故选:B.

9.对于两个非空数集4、B,定义点集如下：AxB={(x,y)|曲，y0B},若4={1,3},B={2,4},则点

集AxB的非空真子集的个数是()个.

A.14B.12C.13D.11

【答案】A

'：A^B={(x,y)|xGA,yG8},且A={1,3},B={2,4},

所以A*8={(1,2),(1,4),(3,2),(3,4)},

共有四个元素，

则点集AxB的非空真子集的个数是：24-2=14.

故选：A.

10.设集合A={x[l<x<2},B={x|x<a},若人£8,则。的取值范围是()

A.{a|aN2}B.^a\a<11C.^a\a>11D.{*42}

【答案】A

A={x[l<x<2},8={尤|尤<。},由数轴表示集合，作图如下：

A

36-----------►

12a

由图可知aZ2,即。的取值范围是卜,22}

故选：A

11.已知集合4={x\x2-1=()},则下列式子表示正确的有()

①leA；②{-l}eA；(3)0GT4；④

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

因为4="|炉_1=0},，A={-1,1},

对于①，IwA显然正确；

对于②，{一l}eA,是集合与集合之间的关系，显然用e不对；

对于③，0uA,根据空集是任何集合的子集知正确；

对于④，{1,-l}qA.根据子集的定义知正确.

故选：C.

12.已知集合4={0,1},B={-1,0,a+3},且AQB,则a等于

A.1B.0C.-2D.-3

【答案】C

【解析】

由题意得。+3=1,。=-2,选c.

13.当集合1}={c,g』}时，a=,h=,c—.

【答案】1-10

详解：由已知|{。,0,—1}=卜,,,1},所以0e{c,：/},•••「=(),,从而\=-1,即力=一1,=

故答案为1，-1,0.

14.已知4=(一8,切，8=(1,2],若B04则实数m的取值范围为—.

【答案】[2,+8)

"：A=(-00,/n],8=(1,2],BCA,

m>2,

...实数/«的取值范围为[2,+8).

故答案为：[2,+8）.

15.已知集合A={x|ax2+2x+a=0,a^R},若集合A有且仅有两个子集，则a的值是.

【答案】0或±1

因为A有且仅有两个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2+2x+a=0仅有一根，当a=0时，方程化为2x=0,

A={0}，符合题意；当*0时，4=4-4〃=0,解得。=±1.此时A={-1}或{1},符合题意.综上所述a=0或a=±l.

故答案为：0或±1.

16.已知集合4={可依2—3工+2=0},若A=0,则实数O的取值范围为—.

9

【答案】（—8,—].

8

22

当a=0时，方程℃2一3%+2=0化为一3%+2=0,解得x=§,此时4={]}。0,满足题意,

,9

当时，要使Ax0,则△=（一3）2-4。义220,解得且

9

所以使AW0的实数。的取值范围为（一8,—].

8

9

故答案为：（-°0,-]

17.已知集合4={。,瓦2},B={2,b2,2a},若A=8,求实数。，匕的值.

1

a=—

a=04

【答案】〈或v

b-\

b=-

2

a=2aa=b2

解：由己知A=6,得《（1）或《.(2)

b=h~h=2a

a=0a=0

解（1）得〈,八或<

b=06=1

a=()4

解⑵得<,八或.

b=()]_

b

2

又由集合中元素的互异性

1

ci———

〃二04

得《或I

b=\

b=-

2

18.已知A={1,1+a,l+2a},B={1,b,b2},若A=8,求a,b.

31

【答案】。=一一,b=---

42

因为A=B,则b=l+a,b2=l+2a,或b=l+2a,b2=l+a

①若b=l+a,b2=l+2a,

，(l+o)2=l+2a,

.'.a=0.

此时A中三个都是1,不符合集合元素的互异性.

②若b=l+2a,b2=l+a,

：.(l+2a)2=1+。,

/.4a2+3a=0,

由①知a=0不成立,

31

.,.a=---,b=l+2a=---

42

2

19.已知4={-l,1},8={x|x-ax+b=O}f若8M,求实数。，b的值.

【答案】。=2,b=l.或a=-2,b=l.或a=0,b=-1gKo2-4b<0.

因为8={x|x2-ax+b=0},且8UA,

①当B中有一个元素时，8={1}或8={-1}

A=(-ay-4b=0

当8={1}时，＜,解得a=2,b=l；

l-a+b=O

△=(_。)2_4)=0

当8={-1}时，＜，解得a=-2,b=l；

l+Q+b=O

F

-T

②当B中有两个元素时，B