广东省揭阳市2025届数学高一上期末经典试题含解析

广东省揭阳市2025届数学高一上期末经典试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．某几何体的正视图和侧视图均为如图1所示，则在图2的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是A.（1），（3） B.（1），（4）C.（2），（4） D.（1），（2），（3），（4）2．已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩图是A. B.C. D.3．设集合M＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，那么()A.M＝N B.N⊆MC.M⊆N D.M∩N＝∅4．设点关于坐标原点的对称点是B，则等于（）A.4 B.C. D.25．已知，，，则下列关系中正确的是A. B.C. D.6．“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件7．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则cos(α－β)的值等于A.－ B.C.－ D.8．命题关于的不等式的解集为的一个充分不必要条件是（）A. B.C. D.9．已知扇形周长为40，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角为（）A. B.C.3 D.210．长方体中，，，则直线与平面ABCD所成角的大小A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知幂函数在上单调递减，则___________.12．______________13．已知函数给出下列四个结论：①存在实数，使函数为奇函数；②对任意实数，函数既无最大值也无最小值；③对任意实数和，函数总存在零点；④对于任意给定的正实数，总存在实数，使函数在区间上单调递减.其中所有正确结论的序号是______________.14．函数的零点是___________.15．已知，则__________16．计算：sin150°＝_____三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．函数的定义域且，对定义域D内任意两个实数，，都有成立（1）求的值并证明为偶函数；18．已知函数的最小正周期为（1）求图象的对称轴方程；（2）将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，求函数在上的值域19．某市为发展农业经济，鼓励农产品加工，助推美丽乡村建设，成立了生产一种饮料的食品加工企业，每瓶饮料的售价为14元，月销售量为9万瓶.（1）根据市场调查，若每瓶饮料的售价每提高1元，则月销售量将减少5000瓶，要使月销售收入不低于原来的月销售收入，该饮料每瓶售价最多为多少元？（2）为了提高月销售量，该企业对此饮料进行技术和销售策略改革，提高每瓶饮料的售价到元，并投入万元作为技术革新费用，投入2万元作为固定宣传费用.试问：技术革新后，要使革新后的月销售收入不低于原来的月销售收入与总投入之和，求月销售量(万瓶)的最小值，以及取最小值时的每瓶饮料的售价.20．已知圆的圆心在直线上，半径为，且圆经过点和点①求圆的方程②过点的直线截图所得弦长为，求直线的方程21．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D、E分别为AB、BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线A1C1∥平面B1DE；(2)平面A1B1BA⊥平面A1C1F.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】可以是一个正方体上面一个球，也可以是一个圆柱上面一个球2、B【解析】∵集合∴集合∵集合∴故选B3、C【解析】变形表达式为相同的形式，比较可得【详解】由题意可即为的奇数倍构成的集合，又，即为的整数倍构成的集合，，故选C【点睛】本题考查集合的包含关系的判定，变形为同样的形式比较是解决问题的关键，属基础题4、A【解析】求出点关于坐标原点的对称点是B，再利用两点之间的距离即可求得结果.【详解】点关于坐标原点的对称点是故选：A5、C【解析】利用函数的单调性、正切函数的值域即可得出【详解】，，∴，又∴，则下列关系中正确的是：故选C【点睛】本题考查了指对函数的单调性、三角函数的单调性的应用，属于基础题6、B【解析】根据指数函数的性质求的解集，由充分、必要性的定义判断题设条件间的关系即可.【详解】由，则，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：B7、D【解析】∵α∈，∴2α∈(0，π)．∵cosα＝，∴cos2α＝2cos2α－1＝－，∴sin2α＝，而α，β∈，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝，∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝＝.8、D【解析】根据三个二次式的性质，求得命题的充要条件，结合选项和充分不必要的判定方法，即可求解.【详解】由题意，命题不等式的解集为，即不等式的解集为，可得，解得，即命题的充要条件为，结合选项，可得，所以是的一个充分不必要条件.故选：D.9、D【解析】设出扇形半径并表示出弧长后，由扇形面积公式求出取到面积最大时半径的长度，代入圆心角弧度公式即可得解.【详解】设扇形半径,易得,则由已知该扇形弧长为.记扇形面积为,则,当且仅当，即时取到最大值，此时记扇形圆心角为，则故选：D10、B【解析】连接，根据长方体的性质和线面角的定义可知：是直线与平面ABCD所成角，在底面ABCD中，利用勾股定理可以求出，在中，利用锐角三角函数知识可以求出的大小.【详解】连接，在长方体中，显然有平面ABCD，所以是直线与平面ABCD所成角，在底面ABCD中，，在中，，故本题选B.【点睛】本题考查了线面角的求法,考查了数学运算能力.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】由系数为1解出的值，再由单调性确定结论【详解】由题意，解得或，若，则函数为，在上递增，不合题意若，则函数为，满足题意故答案为：12、【解析】利用指数的运算法则和对数的运算法则即求.【详解】原式.故答案为：.13、①②③④【解析】分别作出，和的函数的图象，由图象即可判断①②③④的正确性，即可得正确答案.【详解】如上图分别为，和时函数的图象，对于①：当时，，图象如图关于原点对称，所以存在使得函数为奇函数，故①正确；对于②：由三个图知当时，，当时，，所以函数既无最大值也无最小值；故②正确；对于③：如图和图中存在实数使得函数图象与没有交点，此时函数没有零点，所以对任意实数和，函数总存在零点不成立；故③不正确对于④：如图，对于任意给定的正实数，取即可使函数在区间上单调递减，故④正确；故答案为：①②④【点睛】关键点点睛：本题解题关键点是分段函数图象，涉及二次函数的图象，要讨论，和即明确分段区间，作出函数图象，数形结合可研究分段函数的性质.14、和【解析】令y=0，直接解出零点.【详解】令y=0，即，解得：和故答案为：和【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解15、【解析】将题干中的两个等式先平方再相加，利用两角差的余弦公式可求得结果.【详解】由，，两式相加有，可得故答案为：.16、【解析】利用诱导公式直接化简计算即可得出答案.【详解】sin150°＝sin（180°﹣30°）＝sin30°.故答案为：【点睛】本题考查了诱导公式的应用,属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），证明见解析（2）（3）【解析】（1）取得到，取得到，取得到，得到答案.（2）证明函数在上单调递增，在上单调递减，得到，结合定义域得到答案.（3）根据函数单调性和奇偶性得到，考虑，，三种情况，得到函数的最值，解不等式得到答案.【小问1详解】取得到，得到，取得到，得到，取得到，即，故函数为偶函数.【小问2详解】设，则，，故，即，函数单调递减.函数为偶函数，故函数在上单调递增.，故，且，解得.【小问3详解】，根据（2）知：，，恒成立，故，，当时，，当时，，当时，，当，即时等号成立，，故.综上所述：，解得，，故.18、（1）；（2）【解析】（1）先由诱导公式及倍角公式得，再由周期求得，由正弦函数的对称性求对称轴方程即可；（2）先由图象平移求出，再求出，即可求出在上的值域【小问1详解】，则，解得，则，令，解得，故图象的对称轴方程为.【小问2详解】，，则，，则在上的值域为.19、（1）18元；（2），此时每瓶饮料的售价为16元.【解析】（1）先求售价为元时的销售收入，再列不等式求解；（2）由题意有解，参变分离后求的最小值.【详解】（1）设每平售价为元，依题意有，即，解得：，所以要使月销售收入不低于原来的月销售收入，该饮料每瓶售价最多为18元；（2）当时，，有解，当时，即，，当且仅当时，即时等号成立，，因此月销售量要达到16万瓶时，才能使技术革新后的月销售收入不低于原来的月销售收入与总投入之和，此时售价为16元.【点睛】关键点点睛：本题考查函数的实际应用问题，关键是读懂题意，并能抽象出函数关系，第二问的关键是理解当时，有能使不等式成立，即有解，求的取值范围.20、①.②.或【解析】①.由题意设出圆心坐标，结合圆经过的点得到方程组，求解方程组计算可得圆的方程为②.分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况可得直线的方程为或试题解析：①由题意可知，设圆心为则圆为：，∵圆过点和点，∴，则即圆的方程为②设直线的方程为即，∵过点的直线截图所得弦长为，∴，则当直线的斜率不存在时，直线为，此时弦长为符合题意，即直线的方程为或21、证明过程详见解析【解析】（1）先证明DE∥A1C1，即证直线A1C1∥平面B1DE.(2)先证明DE⊥平面AA1B1B，再证明A1F⊥平面B1DE，即证平面AA1B1B⊥平面A1C1F.【详解】证明：（1）∵D，E分别为AB，BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，∵ABC-A1B1C1为棱柱，∴AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，∵DE⊂平面B1DE，且A1C1⊄平面B1DE，∴A1C1∥平面B1DE；（2）在ABC-A1B1C1的直棱柱中，∴AA1⊥平面A1B1C1，∴A