2021届 人教a版 平面向量 单元测试

平面向量

一、单选题

1.在AA8C中，P,。分别是A8,8c的三等分点，且=(AB,8Q=gBC,若

AB^a,AC=b,则所=()

【一二1

A.-a+-1bB.——1a_+-1b/D.——1a-——br

333333

【答案】A

【解析】

___一___9—1__2—1__—1—1__11一

PQ^PB+BQ^-AB+-BC^-AB+-(AC-AB)^-AB+-AC^-a+-b,

33333333

故选A.

2.已知。是AA5C内部一点，OA+OB+OC=Q>ABAC=2>且N8AC=60。,

则AOBC的面积为

A.-B.—C.—D.-

2323

【答案】B

【解析】

因为34+0后+3=6，所以砺+砺=—玄，所以。为A4BC的重心，

所以AOBC的面积为AABC的

3

因为A从恁=2，所以|通,恁JcosNB4c=2,

因为N84C=60°，所以|通H恁|=4,

△ABC的面积为g［荏HX^sinZR4C=G,

所以AOBC的面积为丑，故选B.

3

3.与向量“=(12,5)平行的单位向量为()

B.

。・借卷或HIT)

+U+/

13，-13,

【答案】C

【解析】

【分析】

,a,a

向量4=(12,5)平行的单位向量为±E=±G，计算得到答案.

H13

【详解】

向量£=(12,5)平行的单位向量为±百=土看,

故选：C.

【点睛】

本题考查了单位向量，意在考查学生的计算能力.

4.已知向量。石满足,卜血，。不=1,且。石的夹角为60。，则忖=()

76

B.D.0

62

【答案】D

【解析】

试题分析：a?B刊事|cos^-=>/2y=1,|^|=-y==\/2.

考点：向量运算.

5.设非零向量。B、e满足何=同=忖,"+5=入则向量2与向量]的夹角为（

A.150°B.120°C.60°D.30°

【答案】C

【解析】

试题分析：同2=万+5（=52+户+2万.5,•.•同=4=|c|,:.a-b=~^2,

设万与万的夹角为。（。€[0。,1801）.

a-ca-[a+b^a2+a-b~2^1

cos0=r-n-r=-~-=-------——=----g—=-

同同同a2a22

：,0=60.故C正确.

考点：1向量的数量积；2向量的模.

=+〃瓯，则幺=(

6.设。为AABC所在平面内一点，若而=2诙，CD=

A

11

A.~2B.------C.一D.2

22

【答案】A

【解析】

【分析】

由丽=2而，根据向量运算的“三角形法则”可得加:=-CA+2CB^结合

CD=ACA+^iCB,求得乙〃的值，从而可得结果.

【详解】

vA5=2BD=>AC+CD=2（BC+CD）,

:.CD=AC-2BC=-CA+2CB

—ACA+RCB,

A.=—1,zz=2,—=—2,故选A.

2

【点睛】

本题主要考查向量的几何运算，属于中档题.向量的几何运算往往结合平面几何知识解

答，运算法则是：（1）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）;

（2）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.

7.下列说法正确的是（）

A.向量荏〃丽就是通所在的直线平行于而所在的直线

B.共线向量是在一条直线上的向量

C.长度相等的向量叫做相等向量

D.零向量长度等于0

【答案】D

【解析】

试题分析：向量而〃丽是指而所在的直线平行或重合于前所在的直线，故A错；

共线向量所在直线可能重合，也可能平行，故B错；方向相同且长度相等的向量叫相等

向量，故C错；长度为0的向量叫做零向量，记作。，故D正确，故选D.

考点：平面向量的相关概念.

8.已知向量1=（2,—1）,3=（-1,3）,则垢-B在向量3+B方向上的投影等于（）

A.-275B.-V5C.0D.石

【答案】B

【解析】

【分析】

先由向量£=(2,-1),5=(-1,3),得到%—B，3+B的坐标，再根据向量投影公式，

代入空包g⑥求解

\a+b\

【详解】

已知向量a=(2,-1),b=(-1,3)，

所以2a-B=(5,-5),a+》=(l,2)，

所以向量2々-石在向量£+B方向上的投影等于

(2々一历-0+历_(5,—5)(,2)_—5一r-

\a+h\Vl2+22石

故选：B.

【点睛】

本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

9.设向量£,日足同=2,忖=1,a-(a+h)=3,则£与5的夹角为

7t71571271

A.—B.—C.----D.-----

6363

【答案】D

【解析】

分析：首先利用向量的数量积的运算律，化简求得£/=-1，利用向量夹角余弦公式,

求得对应角的余弦值，求得结果.

详解：向量a,坂满足忖=2，W=1,a-(a+^)=3.

可得比5=3，所以4+。石=3,可求得=-I，

/_r\_ab_-1_1

所以cos@力丽=袤=力

因为向量夹角的取值范围是［0,兀］，所以故选D.

点睛：该题考查的是有关向量的夹角的大小问题，在求解的过程中，需要先求出向量夹

角的余弦值，通过余弦值来确定角的大小，利用题的条件，求得向量的数量积，之后应

用公式求得结果.

10.在AA3C中，若丽•丽=砺衣=花・砺，则。是AABC的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】D

【解析】

【分析】

由丽•丽=砺・花得到丽•（方一诙）=6从而丽=0所以如，力a同理

得到OALBC,所以点。是△/!%的三条高的交点.

【详解】

解：：砺O豆=0反方..•丽•（函一玄）=0；

•■•OBC4=0；

J.OBVAC,

同理由。4•。月=OC•函，得到OAVBC

点。是△儿的三条高的交点.

故选〃.

【点睛】

本题考查三角形五心、向量的数量积及向量的运算，考查转化与数形结合思想.

UUllUUU

11.已知M（—2,7）,N（10,-2）,点P是线段MN上的点，且PN=-2PM,则点P的

坐标是

A.(-14,16)B.(22,-11)C.(6,1)D.(2,4)

【答案】D

【解析】

ULU11UUU

试题分析：设点P(x,y),PN=(10—x,—2—y),9=(—2—x,7—y),所以

10-x=-2(-2-x][解得x=2

y=4

考点：向量的坐标运算。

12.在平行四边形。A8中,通=丽+砺等于（）

A.ACB-BDC-DAD-BC

【答案】D

【解析】

AB-DC-CB=AB-DB=AB+BD=AD<又万=诙，故选D.

考点：向量的加、减法运算.

二、填空题

13.已知向量乐J,而，|丽|=3,则况.。豆

【答案】9.

【解析】

因为向量丽j_丽，所以通=0，即丽•（丽一丽）=o,所以

OAOB-OA^O'即次•丽=加=9,故应填9・

考点：本题考查向量的数量积的基本运算，属基础题.

14.已知a=（2,1）,6=（加,一1）,且a_L（a-。），贝!）实数〃?=

【答案】3

【解析】

因为〃，（〃一/?）,所以Q・（a—h）=0,即6—2机=0,解得〃2=3.

15.已知向量Q=（4,X），/?=（2,1），若［“-L2/>,则x=,

【答案】-3

【解析】

【分析】

根据向量的数量积的坐标运算，即可求解.

【详解】

因为a=（4,x），b=（2,1），

所以a—b=（2,x—l），2。=（4,2），

因为］a-b\12b,

所以（a—力1,2/?=8+2x—2=0,

解得：x=—3,

故答案为：-3

【点睛】

本题主要考查了向量加法的坐标运算，数量积的坐标运算，向量垂直的坐标表示，属于

中档题.

16.已知正方形ABCO中，A/是BC的中点，〃=九疵+〃诙，则4+〃=

【答案】|

【解析】

【分析】

找一组基向量分别表示出AC,AM；BD,再用待定系数法即可求得.

【详解】

解：令丽=点而=瓦则AC=a+b,AM=a+^b,BD=b-a,

有*/AC=AAM+/JBD,a+b=Ma+-a)=(4-〃)4+(；%+〃历,

A=—

•••,1,,解得：，:

1-2A+u=l叫1

【点睛】

考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，相等向量的概念，平

面向量基本定理.

三、解答题

17.已知M=(siniyx,2costvx),5=(gcos公v-sin6yx,costyx),其中0>(),若函

数〃x)=2无B-1,且它的最小正周期为2乃.(普通中学只做L2问)

(1)求。的值，并求出函数y=/(x)的单调递增区间；

⑵当xem,m+|(其中相目。,司)时，记函数/(x)的最大值与最小值分别为

/⑺皿与/⑺2设。⑻=/(力2一/(6min，求函数夕⑹的解析式；

(3)在第(2)问的前提下，已知函数g(x)=ln,T+。，/z(x)=x|x-l|+2V3,

若对于任意玉e[(),句，W«1,+°0),总存在刍€(0,+°o),使得

。(内)+8(々)>〃(玉)成立，求实数1的取值范围.

【答案】(1)«=-xe2k7r--,Ik/c+—,keZ；

266

2A/3-2Gsin("?+—),0<m<—

66

2A/3sin(加+—)-2A/3sin(w+—),—<m<

,c、，、r3663/八仄

(2)0(M={；(3)z>e^-i.

2>/3sin(m+—)+2A/3,—<m<——

3312

2>/3sin(7n+—)+2指,<m<71

612

【解析】

试题分析：(1)利用三角公式，简化函数/(x),然后求单调区间；(2)分类讨论求函

数的最值，进而得到函数夕(加)的解析式；(3)由题意可知

.+g(x).>〃(X).,研究函数的最值即可.

试题解析：

/(%)=2无6—1=2|^sincox•V3coscox-sinj+2cos26yx-1

=2(Vasinscoscox-sin2Gx+2cos2Gx)-1

..1-cos2s,-1,

sin2s------------+l+cos2Gx-1

2)

、

=26立cos2o>x=2>/3sin2a>x+—

2273

/(x)=2\ZJsin[x+]J

(1)*.*T==2),•.())=—.

2co2

7/TTJT

单调递增区间为：2k7t-----<x-\——<2k"——，

232

57r7t

即XE2k/r------,2k冗+一,keZ.

66

(2)若0〈机《工，f(x)=273,

6V/max

7t5/r

m+—=25/3sinm-\------

26

51

此时(p{tn)=2^3-2gsinm+——

6

若2＜小〈看，/（6，皿=/（加）=2儡山71

"Z+—

3

71

m+—

2

（团+答），止匕时夕（/〃）=2Gsin154

=2>/3sin-2月sinm-\------

6

若与/(^)=/(/«)=2^sin71

maxm-\——

3

〃%n=-2/,

71

此时=2gsin机+——+25

3

71

若»，/(x)=fm+—

j2J、，maxJ2

/(初血=

一2百，此时夕(〃z)=2，5sin

243-2y/3sin[m+-^-j,0<

2鬲力"+。卜2鬲・〃上+皆”(陞年

综上所述,夕(〃。=<

2y/3sin(/"+?)+2A/3,<m<

2y/3sin\m+—|+2>/3,<m<n

\6J12

(3)由题意可知夕(〃?).+g(x).>h(x)..

r\/minJ\/min\/min

对于3(M，若OWmWa,/(加)£[G,2G]；若W<mW^~,

°(〃2)=

若等^?(m)e^2>/3-76,273j；若;^</九《》，

夕(/篦)£(26-指,G].

综上所述，。(㈤-遥

"2g,2#],^(x)n,n=273-76.

对于从无)，由于x|x—1|之0,且等号当％=1时能取到，・・・//(XL=26.

对于g(x)，不难得出g(x)>ln(l+。,

于是0(x)+8(工2)>2\/3—>/6+ln(l+/).

2.yjs-+ln（l+f）>2,\/3,解得：/2e""-1・

点睛：本题以平面向量为载体，重点考查了三角函数的最值，属于难题.第2间区间是

动态的，此时要抓住区间端点与三角函数极值点的关系，合理有序的分类至关重要；不

等式恒成立问题（有解问题）往往转化为函数的最值问题，本题运算量较大，细致认真

是良好的解题习惯.

18.如图，在AABC中，己知力,七分别在边上，且AB=3AD,8C=2BE.

（1）用向量而，衣表示诙；

（2）设A3=9,AC=6,A=60°,求线段OE的长.

【答案】（1）DE=-AB+-AC；（2）DE=，S.

622

【解析】

试题分析：（1）根据平面向量的线性表示与运算法则，先将丽、耳后=用而，川心表

示，进而利用向量加法的三角形法则求解即可;（2）根据平面向量的数量积与模长公式，

求出|方可即可.

试题解析：

（1）由题意得：

DE=DB+BE=-AB+-BC=-AB+-（AC-AB}=-AB+-AC.

3232、>62

（2）由庞=，A方+,正,

62

22

\DEf^DEJ-AB+-AC\^-AB+^AC+-^

I1（62J3664

=—X92+-X9X6XCOS600+-X62=—,所以DE=>近.

366442

19.在平面直角坐标系xOy中，己A(l,0),B(0,l),C(2,5).

(1)求|2旗+3号的值;

(2)求cos/BAC.

【答案】(1)5五；(2)^1.

13

【解析】

【分析】

(1)由向量坐标运算可求得2通+/=(-1,7),由模长运算求得结果;

ABAC

⑵由cosN8AC=同国可求得结果.

【详解】

_____UU11__________

(1)-.MS=(-1,1),AC=(1,5).-.2A5+AC=(-1,7)

,-.|2AB+AC\=Vl+49=5>/2

ABAC_-lxl+lx52A/13

(2)cosABAC

I福.1市「J—Ip+Fx庐丁13

【点睛】

本题考查向量模长和夹角的求解问题，关键是熟练应用平面向量的坐标运算，属于基础

20.设函=(3,1),OB=(-1,2),OCLOB>比〃砺，试求满足加+砺=反

的。力的坐标（O为坐标原点）.

【答案】（11,6）

【解析】

试题分析：设出方的坐标，利用向量垂直数量积为0及向量共线的充要条件，列出方

程，求出反的坐标，再利用向量的坐标运算求出丽的坐标

OCOB=0(尤,y)•(-1.2)=0

试题解析：设OC=（x,y），由题意得:{BC=AOAn%,y)—(—l,2)=〃3,l)

x=2y

"x=14

=>{x+1=32=>{^OC=(14,7)

y=7

y-2=A7

OD=OC-OA=(11,6)

考点：平面向量的坐标运算

21.已知a=（cosa,sina）,3=（cos尸,sin尸），0＜。＜，＜》.

（1）求日|的值;

（2）求证：Z+B与B互相垂直.

【答案】（1）1;（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）利用数量积的性质和平方关系即可得出；（2）只要证明（£+&•（£-"=（）

即可.

试题解析：（1）解：：a=（cosa,sina）,|a|=-Jcos2cr+sin2a=1.

(2)证明：・.・G+7)・&-力=1-b=|3|2—|1|2=1—1=0,.・.1+」与「一办互相

垂直.

考点：1.数量积判断两个平面向量的垂直关