2022年中考数学真题分项汇编 专题13 相似三角形（原卷版）

专题13相似三角形

--选择题

1.（2022•黑龙江哈尔滨）如图，43〃。0,42,8。相交于点&AE=\,EC=2,DE=3,则BO的长为（）

D.6

2.（2022•广西贺州）如图，在：A8C中，DE//BC,DE=2,BC=5,则S.:S碑的值是（）

nA।

3.（2022•广西梧州）如图，以点O为位似中心，作四边形A88的位似图形ARC力，已知等二:，若四

OA3

边形ABC0的面积是2,则四边形AZ'C'D'的面积是（）

A.4B.6C.16D.18

4.（2022・四川雅安）如图，在MBC中，D,E分别是AB和AC上的点，DESBC,若黑=肯，那么会=

BD1BC

A

5.（2022•内蒙古包头）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A,B,C,。四个点均在格点上，AC

与8。相交于点E,连接AB,8,则人现与△（?£>£的周长比为（）

B.4：1C.1：2D.2：1

6.（2022•黑龙江绥化）如图，在矩形43CZ）中，P是边AO上的一个动点，连接3尸，CP,过点B作射线,

交线段CP的延长线于点E,交边A£>于点M,且使得/ME=NC8P,如果AB=2,BC=5,AP=x,PM=y,

其中2<*,5.则下列结论中，正确的个数为（）

43

(1)y与x的关系式为y=x--；(2)当AP=4时，一ABPs_DPC；(3)当AP=4时，tanNEBP=—.

x5

A.0个B.1个C.2个D.3个

7.（2022・湖北鄂州）如图，定直线MN〃PQ,点8、C分别为MN、尸。上的动点，且BC=12,BC在两直

线间运动过程中始终有回BCQ=60。.点A是上方一定点，点D是P。下方一定点，且AE//BC//DF,AE=4,

DF=8,AD=24相,当线段BC在平移过程中，4B+C。的最小值为（）

A.24713B.24715C.12如D.12出

8.（2022•广西贵港）如图，在边长为1的菱形A8CO中，ZABC=60°,动点E在A8边上（与点A、B均

不重合），点尸在对角线AC上，CE与肝相交于点G,连接AG,OF,若AF=3E,则下列结论错误的是

A.DF=CEB.ZBGC=120°C.AF2=EGECD.AG的最小值为递

3

9.（2022•贵州贵阳）如图，在mABC中，Z）是A3边上的点，ZB=ZACD，AC:49=1:2,则A£>C与△ACB

的周长比是（）

A.1：0B.1:2C.1:3D.1:4

10.（2022•广西）已知S4BC与她向。是位似图形，位似比是1：3,则B48c与EA/BQ的面积比（）

A.1：3B.1：6C,1：9D.3：1

An2

11.（2022•山东临沂）如图，在A3C中，DE//BC,—若AC=6,则EC=（）

DB3

24

D.—

5

12.（2022•山东威海）由12个有公共顶点。的直角三角形拼成如图所示的图形，ZAOB=ZBOC=ZCOD

=..=/LOM=30°.若S/MOB=1,则图中与△AOB位似的三角形的面积为（）

K

ED

444

A.(-)3B.(-)7C.(-)6D.(-)6

3334

二.填空题

13.(2022•贵州黔东南)如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABCO折痕是£)/0,点C落在点E处，分

别延长ME、DE交A8于点尸、G,若点M是BC边的中点，则尸G=______cm.

D...........C

上

AFG心

E在线段AC上,第=器,则表

14.(2022•上海)如图，在0ABe中,04=30°,EB=90°,D为AB中点,

B1---------------*

Ap1

15.(2022•北京)如图，在矩形A3CO中，若AB=3,AC=5，H=:，则AE的长为_______.

FC4

丁

B

16.（2022•江苏常州）如图，在RtA4BC中，ZC=90°,AC=9,8C=12.在Rl_£>£尸中，ZF=90°,DF=3,

EF=4.用一条始终绷直的弹性染色线连接CF,RtOEF从起始位置（点。与点8重合）平移至终止位置

（点E与点A重合），且斜边OE始终在线段A8上，则RtzXABC的处那被染色的区域面积是.

17.（2022•广西）数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆

影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为米.

18.（2022•广东深圳）已知..ABC是直角三角形，NB=90。,AB=3,8C=5,AE=2石,连接CE以CE为底作

直角三角形C£>E且CO=DE,尸是AE边上的一点，连接8。和BE8。且NFBO=45。,则河长为

19.（2022•广西河池）如图，把边长为1：2的矩形ABC。沿长边BC,AO的中点E,尸对折，得到四边形

2

ABEF,点G,H分别在BE,EFE且BG=EH=《BE=2,AG与BH交于点0,N为AF的中点，连接

ON,作OM0ON交AB于点M,连接MM则tanB4MN=.

20.（2022•内蒙古赤峰）如图，为了测量校园内旗杆A8的高度，九年级数学应用实践小组，根据光的反射

定律，利用镜子、皮尺和测角仪等工具，按以下方式进行测量：把镜子放在点。处，然后观测者沿着水平

直线BO后退到点。，这时恰好能在镜子里看到旗杆顶点A,此时测得观测者观看镜子的俯角a=60。，观测

者眼睛与地面距离CD=：1.7m,BD=llm,则旗杆AB的高度约为m.（结果取整数，6=1.7）

21.（2022・湖北鄂州）如图，在边长为6的等边S4BC中，。、E分别为边BC、AC上的点，AO与BE相交

于点忆若BD=CE=2,则MB尸的周长为.

22.（2022•山东潍坊）《墨子•天文志》记载："执规矩，以度天下之方圆.“度方知圆，感悟数学之美.如图,

正方形A8CO的面积为4,以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D,若AB:A8=2:1,

则四边形A'B'C'D的外接圆的周长为.

23.（2022•内蒙古包头）如图，在R/ABC中，ZACB=90。，AC=BC=3,。为A8边上一点，且=

连接CD,以点。为圆心，DC的长为半径作弧,交BC于点E（异于点C）,连接DE,则BE的长为

E

ADB

24.（2022•江苏泰州）如图上，AABC中,NC=90,AC=8,8C=6,0为内心，过点O的直线分别与AC、AB

相交于£>、E,若DE=CD+BE,则线段CO的长为.

25.（2022•黑龙江绥化）如图，ZAO3=6（）。，点<在射线上，且0勺=1,过点R作_LOA交射线。8

于&,在射线OA上截取P}P2，使《鸟=P,Kt:过点尸2作P2K2104交射线0B于K2,在射线OA上截取P品,

使PF、=P2K2.按照此规律，线段/小曲的长为.

26.（2022♦黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点4，4,4,4......在x轴上且。4=1,O4=2OA，

。&=2。4,。4=204......按此规律，过点4,4,4,4......作x轴的垂线分别与直线y=Qr交于点用,

B2,B3,B&......记04内,△。儿&,。4层.OA4B4......的面积分别为5,,S,,邑，54......,则S202a=.

BJ

A\Ai

27.（2022•广西）如图，在正方形ABCQ中，AB=4&,对角线AC,3。相交于点。.点E是对角线AC上

一点，连接8E,过点E作即_L8E,分别交8,8。于点F、G,连接BF,交AC于点H,将△EFH沿EF

翻折,点H的对应点，，恰好落在BO上，得到4EFH'若点F为CD的中点，则4EGH'的周长是.

28.（2022•辽宁）如图，在正方形A3CO中，E为AO的中点，连接8E交AC于点F.若A3=6,贝ljAEF

的面积为.

AED

29.（2022•贵州贵阳）如图，在四边形438中，对角线AC,8c相交于点E,AC=3C=6cm,

ZACB=ZADB=90°.若BE=2AD,则△ABE的面积是cm2,ZAEB=度.

c

三.解答题

30.（2022•河北）如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆。，其中水面截线MN〃A8.嘉琪在A处

测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14。，点M的俯角为7。.已知爸爸的身高为1.7〃?.

⑴求团C的大小及A8的长；⑵请在图中画出线段。H,用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深

约为多少米（结果保留小数点后一位）.（参考数据：tan76。取4,J万取4.1）

31.（2022•吉林）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整.

【作业】如图①，直线4〃4，ABC与△D5C的面积相等吗？为什么？

图①

解：相等.理由如下：设4与4之间的距离为力，^\SVABC=^BC-h,5△.回S.C=S“BC.

Sh

【探究】（1）如图②，当点。在4，4之间时，设点A,。到直线4的距离分别为力，h',则

图②

证明：GISABC_______________________

(2)如图③，当点。在心《之间时，连接AZ)并延长交《于点M,则告巫AM

,△DBCDM,

图③

证明：过点A作AE_L8M,垂足为E,过点。作&,垂足为F,则NAEM=/。尸M=90。,

^\AE//_________

0△AEA/s__________

a——AE=—AM

DFDM

由【探究】(1)可知*①口S/^ABC_AM

、4DBC

(3)如图④，当点。在4下方时，连接AO交4于点E.若点A,E,。所对应的刻度值分别为5,1.5,0,

32.（2022•山东青岛）如图，在RtZXABC中，ZACB=90。,AB=5cm,8C=3cm,将二ABC绕点4按逆时针

方向旋转90。得到.A£>E,连接CD.点P从点B出发，沿84方向匀速运动，速度为lcm/s；同时，点。从

点A出发，沿AZ）方向匀速运动，速度为1cm/s.PQ交AC于点F,连接CP,EQ.设运动时间为r（s）（0<f<5）.解

答下列问题：（1）当时，求r的值；（2）设四边形PCDQ的面积为S（cn?）,求S与，之间的函数关系

式；（3）是否存在某一时刻f,使PQ〃CD?若存在，求出r的值；若不存在，请说明理由.

33.（2022•江苏泰州）已知：0ABC中，D为BC边上的一点.

（1）如图①，过点。作交AC边于点E,若A8=5,BD=9,0c=6,求QE的长；

⑵在图②，用无刻度的直尺和圆规在4c边上做点尸，使团。物=财；（保留作图痕迹，不要求写作法）（3）如

图③，点尸在AC边上，连接B尸、DF,若回£>必=勖，回尸BC的面积等于;,以尸。为半径作回尸，

试判断直线BC与回厂的位置关系，并说明理由.

34.（2022•山东威海）回顾：用数学的思维思考

（1）如图1,在财5c中，AB=AC.①BD,CE是EL48c的角平分线.求证：BD=CE.

②点。，E分别是边AC,AB的中点，连接80,CE.求证：BD=CE.（从①②两题中选择一题加以证明）

（2）猜想：用数学的眼光观察

经过做题反思，小明同学认为：在BABC中，AB=AC,。为边AC上一动点（不与点A,C重合）.对于点。

在边AC上的任意位置，在另一边48上总能找到一个与其对应的点E,使得8O=C£进而提出问题：若

点D,E分别运动到边AC,AB的延长线上，BO与CE还相等吗？请解决下面的问题：

如图2,在中，AB=4C,点。，E分别在边AC,A8的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字

母），使得BD=CE,并证明.

⑶探究：用数学的语言表达

如图3,在AABC中，AB=AC=2,M=36。，E为边48上任意一点（不与点4,B重合），/为边4c延长

线上一点.判断B尸与CE能否相等.若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由.

35.（2022・山东烟台）

（1）【问题呈现】如图1,a48c和a4£>E都是等边三角形，连接CE.求证：BD=CE.

（2）【类比探究】如图2,EL4BC和财。E都是等腰直角三角形，B4BC=^DE=90°.连接80,CE.请直接

写出空的值.（3）【拓展提升】如图3,S4BC和都是直角三角形，MBC=EAOE=90。，且墨=g

CEBCDE

==.连接8力，CE.①求丝的值：②延长CE交BD于点F,交4B于点G.求sinMFC的值.

4CE

36.（2022•黑龙江绥化）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之

和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题.

⑴如图一，在等腰二转。中，AB^AC,BC边上有一点。，过点。作于E,OFLAC于尸，过点

C作CGLA3于G.利用面积证明：QE+£>F=CG.（2）如图二，将矩形ABCD沿着EF折叠，使点A与点C

重合，点8落在B'处，点G为折痕EF上一点，过点G作GMJ.FC于M,GN工BC于N.若BC=8,BE=3,

求GM+GN的长.（3）如图三，在四边形A8C。中，E为线段8c上的一点，EA±AB,EDA.CD,连接60,

且）==，BC=5,8=3,BD=6,求即+E4的长•

图一图二图三

37.（2022•黑龙江齐齐哈尔）综合与实践

数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学.数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中

去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的

乐趣.如图①，在矩形A8CD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AO的中点，连接EF、DF,H为OF的

中点，连接GH.将团BEF绕点8旋转，线段。F、GH和CE的位置和长度也随之变化.当回BE尸绕点B顺时

针旋转90。时，请解决下列问题:

①

⑴图②中，AB=BC,此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF,猜想G"与CE之间

的数量关系，并证明你的猜想；（2）图③中，AB=2,BC=3,则丝=

；⑶当机，BC=〃

CE

…GH

时.——.⑷在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC,并沿对角线AC剪开，得0ABC

CE

（如图④）.点M、N分别在AC、BC上，连接MN,将团CMN沿MN翻折，使点C的对应点P落在的

延长线上，若PM平分MPN,则CM长为

38.（2022•湖南郴州）如图1,在矩形ABC。中，AB=4,8C=6.点E是线段AO上的动点（点E不与点

A,。重合），连接CE,过点E作所，CE,交AB于点凡

⑴求证：AEFjQCE；⑵如图2,连接CF,过点B作8GLC尸，垂足为G,连接AG.点M是线段BC

的中点，连接GM.①求AG+GM的最小值；②当AG+GM取最小值时，求线段DE的长.

39.（2022•山东潍坊）【情境再现】

甲、乙两个含45。角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足。处，将甲绕点。

顺时针旋转一个锐角到图②位置.小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接AG,8〃，如图

③所示，A8交“。于E,AC交0G于尸，通过证明△OBEg/VM尸，可得OE=OF.

请你证明：AG=BH.

【迁移应用】延长G4分别交”8所在直线于点P,D,如图④，猜想并证明OG与84的住罩关系.

【拓展延伸】小亮将图②中的甲、乙换成含30。角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接”8,AG,

如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与8”的数量关系.

40.(2022•广西贵港)已知：点C,。均在直线/的上方，AC与80都是直线/的垂线段，且8。在AC的

右侧，BD=2AC,A£＞与BC相交于点O.

A0,,».

(1)如图1,若连接CO,则△88的形状为.'布的值为

⑵若将8。沿直线/平移，并以AO为一边在直线I的上方作等边.

3

①如图2,当AE与AC重合时，连接0E,若AC=5,求0E的长;

②如图3,当NACB=60。时，连接EC并延长交直线/于点F,连接。尸.求证：OFLAB.

41.（2022・辽宁）如图，在^ABC中，AB=AC=275,BC=4,D,E,尸分别为AC,AB,BC的中点，连接DE,DF.

(1)如图1,求证：DF=&DE；(2)如图2,将尸绕点。顺时针旋转一定角度，得到当射线OP

2

交48于点G,射线DQ交BC于点N时，连接正并延长交射线£>产于点M,判断FN与EM的数量关系，

并说明理由；(3)如图3,在(2)的条件下，当时，求的长.

42.(2022•辽宁营口)如图1,在正方形ABCD中，点/为C。边上一点，过点M作MNJ_8且ZW=MN,

连接DN,BM,CN,点、P,。分别为的中点，连接PQ.

(1)证明：CM=2PQ；⑵将图1中的一OWN绕正方形A3CD的顶点。顺时针旋转t(0°<a<360。).

①(1)中的结论是否成立？若成立，请结合图2写出证明过程；若不成立，请说明理由；②若

AB=1Q,DM=2后,在二。MN绕点。旋转的过程中，当B,M,N三点共线时，请直接写出线段PQ的长.

A8B

图I