圆（基础知识）（解析版）

专题12圆(基础知识)

一、知识梳理

—■、圆的基本概念

1.圆的定义

(1)从画圆的角度：在一个平面内，线段04绕固定的端点。旋转一周，另外一个端点

A的轨迹形成的图形叫做圆.

(2)从集合的角度：平面内到一个定点距离相等的所有的点组成的集合叫做圆.

表示：若圆心为。，通常记为“0。”，线段0A叫做半径.

2.相关概念：同圆、同心圆、等圆

圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，确定了圆心和半径即确定了圆.

圆心半径

同圆相同相同

同心圆相同不相同

等圆不作要求相同

3.三角形外接圆

定理：过平面中不共线的三点，有且只能画一个圆.

外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫三角形外接圆.任意三角形都有且仅有一个外接圆.

外心：外接圆的圆心叫外心.

4.弦和弧

【与三角形、四边形相比，圆没有边也没有角，所以，得造出些边角.】

(1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.

特别地，直径是最长的弦，但半径不是弦.

(2)弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称：弧.

半圆：直径把圆分为两个完全相同的部分，每个部分都叫半圆，半圆也是弧:

优弧：大于半圆的弧，为了区分，优弧48可记为ACB；

劣弧：小于半圆的弧，通常指劣弧A8

【易错点】

在同圆或等圆中，长度相等的弧叫等弧.

判断题：长度相等的弧叫等弧(x)

分析：等弧不仅强调长度相等，也要求形状一样，简单说，要能完全重合才叫等弧.

5.圆心角、圆周角

(1)圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角；

(2)圆周角：顶点在圆上，且两边和圆相交的角叫做圆周角.

【小结】考虑圆本身并无边、角，所以弧、弦、圆心角、圆周角将会是圆中重点研究的对象.

二、圆中三大基本定理

1.垂径定理

(1)定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

(2)逆定理：平分弦(该弦非直径)的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

【逆定理里要排除掉一种情况：任意两条直径均互相平分，但并不一定互相垂直.】

【小结】垂径定理与逆定理结合，可得的结果就是：直径与弦，垂直与平分可互推.

A

B

(3)垂径定理应用

如图，圆心和弦的距离称为“弦心距”，即图中的0E.

和AOEC都是直角三角形，可由勾股定理得等式:

偿+(弦心距)、(半径丫

在这里可以给条件作变化，但终究还是利用勾股定理求得线段长度，若无直角三角

形，无脑作垂直即可.

【小结】关于求弦长：欲求弦长，先求弦长的一半.

2.弧、弦、圆心角关系定理：

(1)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.

当/AOB=/COZ)时，则AB=CC,AB=CD

【圆的旋转对称性：当NAOB=/CO£＞时，将AAOB绕。点旋转，可与AC。。重合

(2)推论：在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦有一组量相等，那么它们

所对应的其它各组量分别相等.

3.圆周角定理

(1)定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角

的一半.

证明：连接A0并延长交圆于。点，

易证：ZBOD-2ZJBAD,Z.COD=2ACAD,

：.NBOC=4BOD+NCOD=2(ZBAD+ZC4£>)=2NBAC,

即NBOC=2NB4c.

(2)推论：①同圆或等圆中，若两个圆周角相等，则它们所对的弧也相等.

②直径所对的圆周角是直角.

③圆的内接四边形对角互补，外角等于内对角.

即/A+NBCD=180°,ZA=ZDCE.

【补充】关于四点共圆（课内不作要求）：

若A、B、C、。四点共圆，则有:

(1)四边形对角互补；

(2)N1=N7,N2=N4,N3=N6,N5=N8；

(3)△PABsXPDC,LPAD^/XPBC-,

(4)托勒密定理：AC-BD=ABCD+ACBD.

如何判定四点共圆？

以上三条中的任意一个条件都可判定“四点共圆即性质与判定可互推.

三、直线与圆的位置关系

1.点与圆的位置关系

（1）点在圆上；（2）点在圆内；（3）点在圆外.

【小结】具体的位置关系由圆的半径r和点到圆心的距离d的大小关系决定.

2.直线与圆的位置关系

（1）相离：直线与圆无公共点；

（2）相切：直线与圆有且仅有一个公共点；

（3）相交：直线与圆有两个公共点.

【小结】具体的位置关系由圆的半径r与圆心到直线的距离d的大小关系决定.

3.切线

（1）性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.

应用：连半径，得垂直.

（2）推论：①经过圆心且垂直于切线的直线比经过切点.

②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

（3）切线的判定

①定义：与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；

②距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线;

③判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

【思考】如何选择距离法与判定定理？

圆周角定理

倒角：证明夹角为直角弦切角定理

有交点：连半径，证垂直

【策略】等腰三角形

倒边：证明和已知垂线平行

无交点：作垂直，证半径

4.切线长

(1)定义：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长度叫做这点到圆的切线长.

如图，过圆外一点尸作圆的切线公交圆于A点，则布的长叫做P到圆。的切线长.

(2)切线长定理

①由圆外一点作圆的两条切线，其切线长相等：PA=PB；

②圆心与这个点的连线平分两条切线形成的夹角：ZO^ZOPB.

5.弦切角

(1)定义：顶点在圆上，一边和圆相切，另一边和圆相切的角叫弦切角.

(2)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.(不能直接用)

BC

四、正多边形与圆

1.正多边形

(1)各条边相等，且各个内角也都相等的多边形叫正多边形.

(2)正多边形相关概念

①中心：正多边形外接圆的圆心；

②半径：正多边形外接圆的半径；

③中心角：正多边形每一条边所对的圆心角；

④边心距：中心到正多边形边的距离.

(3)重新认识正三、四、六边形

(4)性质

正多边形是轴对称图形，有〃条对称轴

正偶数边形是中心对称图形，但正奇数边形不是，所以正多边形也是旋转对称图形.

五、扇形与圆锥

1.扇形

(1)定义：一条弧和经过这两条弧的端点的两条半径所组成的图形.

【扇形相当于圆的一个部分，圆就是圆心角为360°的扇形

①圆心角(»)：乙4OB；②半径(r)：。4、OB；③弧(/)：AB

(2)两个重要公式:

,n-n7vr

①弧长:/=----2夕=——

360180

②面积：S=-7rr^S=-Lr(将也用/替换掉，结果类似于三角形面积公

3602180

式)

2.圆锥

(1)定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面

所围成的几何体叫做圆锥.

(2)高")：圆锥的顶点和圆锥的底面圆心之间的距离；

(3)母线(/)：底面圆周上任意一点到顶点的距离；(侧面展开形成扇形的半径)

(4)侧面积(S做)：侧面展开(是个扇形)的面积;

(5)表面积(S)：侧面展开扇形面积+底面圆面积(S=乃产+%〃)

【划重点】侧面展开扇形弧长=底面圆周长：—2^/=2^r^r=—

360360

3.阴影部分面积

(1)割补法：割割补补，哪里需要补哪里

S阴二S扇形AOB—SJOB

(2)拼凑法:

(3)等积变形

利用平行线间距离处处相等，可找到等面积三角形.

六、圆中的相似

1.相交弦定理

(1)定理：如图，弦AB与弦C。交于圆。内一点P,则也

(2)证明：连接A。、BC,

根据有圆周角定理可得：ZDAP=ZBCP,NADP=NCBP,

：.AAPDSACPB,

.PAPD

PCPB

：.PAPB=PCPD

2.切割线定理

(1)定理：如图，尸为圆。外一点，以是圆的切线，尸C是圆的割线，求证：PAi=PBPC.

(2)证明：连接A3、AC,

根据弦切角定理，可得：又NP是公共角,

：./\PAB^/\PCA,

.PBPA

••~----,

PAPC

：.PS=PBPC.

3.割线定理

(1)定理：如图，P是圆。外一点，PB、P。是圆的两条割线，则必

(2)证明：

法一：连接AC、BD,

y

D

根据圆内接四边形外角等于内对角,,可得：NMC=NPDB,ZPCA=ZPBDf

：./\PAC^/\PDB,

.PAPC

••----------，

PDPB

:.PAPB=PCPD.

法二：连接A。、BC,

V

D

根据圆周角定理，可得：ZB=ZD,,又NP是公共角，

:ZADsRPCB,

.PAPD

，9~PC~~PB

：.PAPB=PCPD.

二、中考真题演练

一、垂径定理

1.（2020•滨州）在0O中，直径A5=15,弦。石，AB于点C,若OC:QB=3:5,则上的

长为（）

A.6B.9C.12D.15

【解答】解：如图所示：连接8,

・・・直径AB=15,

.•.80=7.5,

\OC:OB=3:5f

/.CO=4.59

DC=yjDO2-CO2=6,

:.DE=2DC=\2.

故，G选：c.

2.（2021•长沙）如图，在（DO中，弦他的长为4,圆心到弦他的距离为2,则N4OC的

度数为一.

O

【解答】解：_LAB,

AC=BC=-AB=ix4=2,

22

.OC=2,

・•.A4OC为等腰直角三角形，

/.ZAOC=45°,

故答案为：45°.

3.（2021•自贡）如图，AB为。O的直径，弦CDLA8于点F,OE_LAC于点E,若OE=3,

OB=5,则cr＞的长度是（)

A.9.6B.4石C.5/D.10

【解答】解：•.•OELAC,

AE=ECf

\AB±CD9

/.ZAFC=ZA£O=90°,

OE=3,OB=5,

.・.AE=y/AO2-OE2=4,

/.AC=8,

vZA=ZA,ZAEO=ZAFC.

/.AAEO0°AAFC,

AOEO53

/.---=----,即Hn：—=——,

ACFC8FC

\CD±AB9

48

/.CZ）=2CF=—=9.6.

5

故选：A.

4.（2021•牡丹江）半径为12的的圆中，垂直平分半径的弦长为—.

【解答】解：如右图所示：设圆为0。，弦为,半径0c被AS垂直平分于点。，连接OA,

由题意可得：OA=OC=\2cm,CO±AB,OD=DC=bcm,

.COA.AB,

:.AD=DB,

在RtAODA中，由勾股定理可得：AD=y]OA2-OD2=V122-62=,

AB=2AD=12G(cm),

5.（2021•凉山州）点P是。。内一点，过点P的最长弦的长为10cm,最短弦的长为6。机,

则OP的长为（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

【解答】解：如图所示，CDLAB于点P.

根据题意，得：AB=lQcm,CD=6cm.

•.・川是直径，且CD1.AB,

CP=—CD=3cm.

2

根据勾股定理，得。P=^CO2-CP2=J52-32=4（57）.

故选：B.

6.（2021•成都）如图，在平面直角坐标系X。），中，直线y=4x+当与0O相交于A,B

两点，且点A在x轴上，则弦45的长为.

【解答】解：设直线交y轴于C,过。作如图:

左V32,^3+人八殂2*^3

在＞=——x+中，令尤=0得丁=,

333

.•.c(o,当℃=¥，

33

XV3273..八殂石2石八

在＞=——x-\----中令y=0得——x+=0,

3333

解得x=-2.

/.A(-2,0),OA=29

2y/3

RtAAOC中，tanZC4O=—=^-=—,

OA23

.-.ZC4O=30°,

RtAAOD中，AD=OAcos30°=2x—=,

2

ODA.AB,

AD=BD=A/39

・•.AB=26

故答案为：2G.

7.（2020•武汉）如图，在半径为3的OO中，是直径，AC是弦，。是AC的中点，AC

与BD交于点、E.若石是的中点，则AC的长是（）

E

O

A.-y/3B.3百C.3&D.4>/2

2

【解答】解：连接OD,交AC于F，

是AC的中点，

:.OD±AC,AF=CF,

..ZDFE=9009

•.OA=OB,AF=CF,

OF=-BC,

2

•「AB是直径，

/.ZACS=90°,

在AEFD和A£C8中

/DFE=NBCE=9。。

<NDEF=NBEC

DE=BE

:.^FD=\ECB{AAS),

：.DF=BC,

:.OF=-DF,

2

.OD=3,

：.OF=\,

:.BC=2,

在RtzXABC中，AC2=AB2-BC~,

：.AC=y/AB2-BC2=旧"=472,

故选：D.

8.（2021•淄博）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材,

埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问：径几何？”用现在的几何语言

表达即：如图，CD为OO的直径，弦AB_LC»,垂足为点£,CE=1寸，他=10寸，则

直径CD的长度是（）

A.12寸B.24寸C.13寸D.26寸

【解答】解：连接。4,

■.AB±CD,且A8=10寸，

==5寸，

设圆O的半径Q4的长为x,则OC=OD=x,

•.•CE=1,

:.OE=x—\,

在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：

X2-(X-1)2=52,化简得：x2-x2+2x-l=25,

即2x=26,

.-.CD=26(寸).

故选：D.

9.（2021•黔东南州）小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如

图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端量的弧/W的中心C到

4?的距离C£>=1.金7“，AB=6.4cm,很快求得圆形瓦片所在圆的半径为上c〃?.

【解答】解：点是AB的中点，CDLAB,

8过圆心，AD=BD=-AB^-x6A=3.2(cm),

设圆心为O,连接。4,如图，

设OO的半径为R5，则OD=(R-1.6)前，

在RtAOAD中，(R-1.6)2+3.2?=/?2,解得R=4(azi),

所以圆形瓦片所在圆的半径为4。”.

故答案为4.

10.(2021•鄂州)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全

书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图I.筒车盛水桶的运行轨道是以轴心。为圆心的

圆，如图2.已知圆心O在水面上方，且OO被水面截得的弦AB长为6米，OO半径长为

4米.若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦45所在直线的距离是()

D.（4+4）米

【解答】解：连接OC交回于£>,连接OA,

•点C为运行轨道的最低点，

.-.OC1AB,

.-.AD=-AB=3（米），

2

在RtAOAD中，OD=yjOA2-AD2=^42-32=y/1（米），

点C到弦AB所在直线的距离CO=OC-0。=(4-6)米,

故选：B.

图2

11.（2021•柳州）往水平放置的半径为13cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图

所示，若水面宽度=24cm,则水的最大深度为（）

B.8cmC.10cmD.12cm

【解答】解：连接08,过点。作OC_LA8于点力，交。O于点C,如图所示:

,/AB=24c/n,

,;OB=OC=13cm,

在RtAOBD中，OD=4OB1-BD2=V132-122=5(cm),

:.CD=OC-OD=\3-5=S(cm),

即水的最大深度为8m,

故选：B.

12.（2021•青海）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与

海平线交于A,B两点,他测得“图上”圆的半径为10厘米，A3=16厘米.若从目前太

阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）

C.1.2厘米/分D.1.4厘米/分

【解答】解：设“图上”圆的圆心为O,连接OA,过点O作于Z）,如图所示:

•.♦AB二］6厘米,

AD=-AB=8（厘米）,

2

•.♦04=10厘米,

OD=yjOA1-AD2=V102-82=6（厘米）,

..海平线以下部分的高度=04+8=10+6=16（厘米）,

••・太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟,

•,“图上”太阳升起的速度=16+16=1.0（厘米/分）,

13.（2020•广州）往直径为5比〃的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面

宽=48cm则水的最大深度为（）

B.10cmC.16cmD.20cm

【解答】解：连接08,过点。作OCJ.A8于点£）,交。。于点C,如图所示:

AB=48cm,

：.BD=^AB=-x48=24(c/n),

,/QO的直径为52cm,

/.OB=OC=26c?%，

在RtAOBD中，OD=‘OR」-8。=>/262-242=10(cm),

:.CD-OC-OD=26-\0=16(cm),

故选：C.

14.（2019•黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（A8）,点O是这段弧所在圆的圆心,

AB=40m,点C是A8的中点，点。是45的中点，且CE>=10〃i,则这段弯路所在圆的半

B.24mC.30/77D.60m

【解答】解：.OC±AB,AB=40m,

AD=DB=20m,

在RtAAOD中，OA2=OD2+AD2,

设半径为r得：r2=(r-10)2+202,

解得：r=25(w),

，这段弯路的半径为25m

故选：A.

15.（2021•西宁）如图，AB是0。的直径，弦8_LA3于点£,8=10,BE=2,则O。

的半径OC=

15

【解答】解：•.•弦CDJLAB于点E,8=10,

:.CE=-CD=5,NOEC=90°,

2

设OB=OC=x,贝！IOE=x-2,

在RSOCE中，由勾股定理得：CE2+OE2^OC2,

即5?+(x-2)2=x2,

解得：x=—,

4

即OC="，

故答案为：

4

16.（2020•宁夏）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题:

“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”意思是：

今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小.用锯去锯这木材，锯口深£0=1寸，锯道

长转=1尺（1尺=10寸）.问这根圆形木材的直径是26寸.

【解答】解：由题意可知

•.•OE为。O半径，

==△尺=5寸，

设半径。4=OE=r寸,

-.ED=\,

:.OD=r-\,

则RtAOAD中，根据勾股定理可得：（-1）2+52=，，

解得：r=13>

木材直径为26寸；

故答案为：26.

二.弧、弦、圆心角的关系+圆周角定理

1.（2021•鞍山）如图，为OO的直径，C,。为OO上的两点，若NABE>=54。，则NC

的度数为（）

D

A.34°B.36°C.46°D.54°

【解答】解：连接AD,如图，

・・・•为OO的直径，

/.ZADB=90°,

.•.Z4=90。-=90°—54。=36。，

/.ZC=ZA=36°.

故选：B.

D

2.（2021•阜新）如图，A,B,C是G）O上的三点,若NO=70。，则NC的度数是（）

&

A.40°B.35°C.30°D.25°

【解答】解：・.・N4O8和NC都对A3,

ZC=-ZAOB=-x70°=35°.

22

故选：B.

3.（2021•牡丹江）如图，点A,B,C为0O上的三点，ZAOB=-ZBOC,ZBAC=3O°,

3

则NAOC的度数为（）

A.100°B.90°C.80°D.60°

【解答】解：-.-ZBOC=2ZBAC=60°,OB=OC,

..ABOC是等边三角形，

1/ZAOB=-ZBOC=20°,

3

ZAOC=ZBOC+ZAOB=60°+20°=80°,

故选：C.

4.（2021•桂林）如图，AB是OO的直径，点C是OO上一点，连接AC,BC,则NC的

B.90°C.120°D.150°

【解答】解：•.•他为OO的直径,

••,ZC=90°,

故选：B.

5.（2021•赤峰）如图，点C,。在以他为直径的半圆上，且NADC=120。，点E是上

任意一点，连接BE、CE.则NBEC的度数为（）

E

A.20°B.30°C.40°D.60°

【解答】解：连接AC,如图，

••・四边形ABCD为©O的内接四边形,

/.ZAZX?+ZABC=180°,

/.ZABC=180°-120°=60°,

・・・45为直径，

/.ZACB=90°,

/.ZBAC=90°-60°=30°,

，NBEC=ABAC=30。.

故选：B.

6.（2021•常州）如图，3c是OO的直径，45是OO的弦，若NAOC=60。，则NOA3的

度数是（）

A.20°B.25°C.30°D.35°

【解答】解：・・・Z4OC=60。，

ZB=-ZAOC=30°9

,;OA=OB，

/.ZOW=ZB=30°,

故选：c.

7.（2021•黄石）如图，A、8是OO上的两点，ZAOB=60°,OF_LAB交0。于点尸，

则4B4尸等于（）

C.15°D.12.5°

【解答】解：•.•OkLAB,

AF=BF,

AAOF=NBOF=-ZAOB=-x60°=30°,

22

ZBAF=-NBOF=-x30°=15°.

22

故选：C.

8.（2021•吉林）如图，四边形43CD内接于0O,点P为边AD上任意一点（点尸不与点A,

O重合）连接CP.若NB=120。，则NAPC的度数可能为（）

A.30°B.45°C.50°D.65°

【解答】解：•.•四边形A88内接于OO,

:.ZB+ZD=\80°,

•.•ZB=120。，

.•.ZD=180°-ZB=60°,

•.•Z4PC为APC£>的外角，

:.ZAPC>ZD,只有。满足题意.

故选：D.

9.（2021•海南）如图，四边形是的内接四边形，BE是的直径，连接若

ZBCD=2NBAD,则的度数是（）

B

A.30°B.35°C.45°D.60°

【解答】解：,•・四边形A3CE>是OO的内接四边形，

ZBCD+ZBAD=180°,

-.ZBCD=2ZBAD,

:.ZBCD=\20P,ZBAD=f^0,

••,BE是0。的直径，

.-.ZBAE=90°,

.­.ZQ4E=90o-ZBA£>=90o-60o=30°,

故选：A.

10.(2021•宜昌)如图，C,。是G)O上直径相两侧的两点，设NABC=25。，则N8OC=(

)

【解答】解：连接"，如图，

-,-ZABC=25°,

ZAOC=2ZABC=2x25°=50°,

ZBOC=180°-ZAOC=180°-50°=130°,

NBDC=-NBOC=-xl30°=65°.

22

解法二：因为"是直径，

所以NACB=90。

所以N皮）C=NOW=90。—ZABC=65。.

故选：D.

11.（2021•聊城）如图，A,B,C是半径为1的0。上的三个点，若=ZC4B=30°,

则NA8C的度数为（）

A.95°B.100°C.105°D.110°

【解答】解：如图，连接08,

;OA=OB=l,AB=y/2,

:.O^C+OB1=AB2,

.•.NAO8=90°,

:.ZACB=45°,

ZABC=180°-45°-30°=105°,

故选：C.

12.（2021•长沙）如图，点A,B,C在OO上，N84c=54。，则NBOC的度数为（）

A.27°B.108°C.116°D.128°

【解答】解：・.・ZA=54。，

.・.ZBOC=2ZA=108°,

故选：B.

13.（2021•邵阳）如图，点A,B,。是OO上的三点.若/4OC=90。，ABAC=30°,

则NAO8的大小为（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

【解答】解：••・41C与NBOC所对弧为BC,

由圆周角定理可知：N8OC=2NB4c=60。，

又ZAOC=90。，

ZAOB=ZAOC-ZBOC=90o-60°=30°.

故选：B.

14.(2021•嘉峪关)如图，点A,B,C,D,£在。0上，AB=CD,ZAOB=42°,则

ZCED=()

E

C.22°D.21°

/.ZAOB=ZCOD=42°,

ZCED=-ZCOD=21°.

2

故选：D.

15.（2021•眉山）如图，在以AB为直径的OO中，点C为圆上的一点，8C=3AC,弦CD_LA8

于点£,弦AF交CE于点H,交3C于点G.若点H是AG的中点，则NC8尸的度数为（

【解答】解：・.・AB是直径,

.•.46=90。，

/.ZABC+ZC4B=90°,

・・・BC=3ACf

:,ZCAB=3ZABC9

ZABC=22.509NOW=67.5。，

•・・C£>_LA8,

ZACE=22.5°9

・・•点〃是AG的中点，N4CB=90。，

：.AH=CH=HG,

ZCAH=ZACE=22.5°，

•・・NCAF=NCBF,

/.ZCBF=22.5°,

故选：C.

16.（2021•重庆）如图，AB是OO的直径，AC,8c是G）O的弦，若NA=20。，则Nfi的

度数为（）

A.70°B.90°C.40°D,60°

【解答】解：・..4?是OO的直径，

/.ZC=90°,

•/ZA=20°,

/.z^B=90°-ZA=70°,

故选：A.

17.（2021•重庆）如图，四边形ABC。内接于OO,若NA=80。，则NC的度数是（）

A.80°B.100°C.110°D.120°

【解答】解：・・•四边形ABCD内接于OO,

...NA+NC=180°,

vZA=80°,

.\ZC=100°,

故选：B.

二.填空题（共8小题）

18.（2021•宁夏）如图，四边形A8c。是0O的内接四边形，ZAZX?=150°,弦4C=2,

则OO的半径等于一.

【解答】解：连接。4,OC,

•・,四边形ABCD是OO的内接四边形，

ZADC+ZABC=180°,

*/ZA£）C=150°,

/.ZABC=30°,

/.ZAOC=2ZABC=60°,

\OA=OC9

.•・△04C为等边三角形，

/.OA=AC=2,

即OO的半径为2.

故答案为：2.

19.（2021•阿坝州）如图，A,B,C是。。上的三个点，NB=40。，则NO4c的度数为

B

【解答】解：・・・N8=40。，

.-.ZAOC=2ZB=80°,

-OA=OC,

.\ZOAC=ZOCA,

Z.OAC=g（180°-ZAOC）=；x（180。一80°）=50°,

故答案为：50。.

20.（2021•朝阳）已知OO的半径是7,AB是OO的弦，且的长为76,则弦所对

的圆周角的度数为一.

【解答】解：NACB和ZMM?为弦所对的圆周角，连接04、OB,如图，

过O点作于”，则4H=3"=443=拽，

22

7>/3

在RtAOAH中，cosNOAH==—2—=,

OA12

ZOAH=30°,

\'OA=OB，

/OBH="AH=30。,

.・.408=120。，

・•.ZACB=-ZAOB=60°,

2

・・NA£）B+NACB=180。，

/.ZADB=180°-60°=120°,

即弦AB所对的圆周角的度数为60。或120。.

故答案为60。或120。.

21.（2021•淮安）如图，A5是OO的直径，。。是OO的弦，ZCAB=55°,则N。的度数

:.ZACB=90°9

•/ZC4B=55°,

.•.ZB=9O°-ZC4B=35°,

二N£）=N8=35。.

故答案为：35。.

22.（2021•徐州）如图，AS是OO的直径，点C、。在°O上，若NADC=58。，则=

【解答】解：是OO的直径,

・•.ZAG?=90。，

•・・NB=NADC=58。，

.­.ZJB4C=90°-ZB=32°.

故答案为32.

23.（2021•黑龙江）如图，在°。中，是直径，弦AC的长为5°利，点。在圆上且

ZADC=3O°,则OO的半径为cm.

【解答】解：如图，连接oc.

D

\*ZAOC=2ZADC,ZADC=3O°9

・•.ZAOC=60°,

\OA=OC,

.•.A4OC是等边三角形，

/.OA—AC=5(ca),

，OO的半径为5c"?.

故答案为；5.

24.(2021•盐城)如图，在OO内接四边形A8CD中，若ZABC=100。，则4M>C=

【解答】解：•••四边形ABCD是OO的内接四边形，

/.ZABC+ZADC=180°,

ZADC=180°-100°=80°.

故答案为：8（）.

25.（2021•常德）如图，已知四边形/WC£＞是圆。的内接四边形，48=80。，则

ABCD=

【解答】解：•.•NBA。为所对的圆周角且N8OD=80。，

ABAD=-ZBOD=1x80°=40°,

22

又•.•四边形/WCD是圆。的内接四边形，

/.ZBAD+ABCD=180°,

/.ZBCD=180°-ABAD=180°-40°=140°,

故答案为：140。.

三、正多边形与圆+扇形面积弧长+圆锥

一.正多边形和圆（共2小题）

1.（2021•兴安盟）一个正多边形的中心角为30。，这个正多边形的边数是（）

A.3B.6C.8D.12

【解答】解：•.•正多边形的中心角和为360。，正多边形的中心角是30。，

这个正多边形的边数=—=12.

30°

故选：D.

2.（2021•赤峰）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口6=20加加,

则边长a=mtn.

【解答】解：如图，连接6>C、OD,过O作于H.

360°

vZCOD=——=60°,OC=OD,

6

...ACO。是等边三角形，

...ZCOH=90°-60°=30°,

•;OH1CD,

:.CH=DH=-CDOH=-h=\0(mm)

292f

CH=10xtan30°=~~~("〃〃)，

…20回、

/.a=2CH=---(mm),

d田g上20G

故答案为：二一.

3

二.弧长的计算（共12小题）

3.图1是一把扇形书法纸扇，图2是其完全打开后的示意图，外侧两竹条Q4和08的夹角

为150。，的长为30cm,贴纸部分的宽AC为18c7",则8的长为（）

D.25〃cm

【解答】解：•・•。4的长为30。〃，贴纸部分的宽AC为18m,

OC=OA—AC=12cm,

又0A和08的夹角为150。，

「150^X12.八,、

/.CD的长为：--------=10%（cm）.

180

故选：B.

4.（2021•牡丹江）一条弧所对的圆心角为135。，弧长等于半径为3cm的圆的周长的5倍,

则这条弧的半径为（）

A.45cmB.40cmC.35cmD.30c7k

【解答】解：设弧所在圆的半径为rcm,

由题意得，变二=2乃x3x5,

180

解得，r=40.

故选：B.

5.（2021•梧州）若扇形的半径为3,圆心角为60。，则此扇形的弧长是（）

13

1BC

A._-万D.

MC2

【解答】解：•.•一个扇形的半径长为3,且圆心角为60。，

,此扇形的弧长为照k=人

180

故选：B.

6.（2021•台湾）将一半径为6的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形.若其中一个

扇形的弧长为5万，则另一个扇形的圆心角度数是多少？（）

A.30B.60C.105D.210

【解答】解：由题意可求得圆形的周长C=2万x6=12万，

其中一个扇形的弧长4=5兀,则另一个扇形的弧长a=12%-5万=7%,

设另一个扇形的圆心角度数为〃。，

根据弧长公式：L=—,有：

180

rn7rx6Agze

1/r=-----,解得〃=2n1i0n,

180

故选：D.

7.（2021•兰州）如图，传送带的一个转动轮的半径为lOcm,转动轮转n。,传送带上的物

品A被传送671cm,则n=.

【解答】解：•.•物品A被传送的距离等于转动了〃。的弧长,

小TXlO/

•>--------------=O7T9

180

解得：“=108,

故答案为：108.

8.（2021•哈尔滨）一"个扇形的弧长是8万c/n,圆心角是144。，则此扇形的半径是cm.

【解答】解：设扇形的半径为rem,由题意得，

144TZT0

-----=8zr,

180

解得尸=10（cm）,

故答案为：10.

9.（2021•长春）如图是圆弧形状的铁轨示意图，半径。4的长度为200米，圆心角

ZAOB=90°,则这段铁轨的长度为一米.（铁轨的宽度忽略不计，结果保留先）

【解答】解：圆弧长是：-200=10G乃（米

180

故答案是：100万.

10.（2021•娄底）如图所示的扇形中，已知。4=20,AC=30,AB=40,则C£>=

【解答】解：设ZAO3=〃°.

由题意畸”4。,

/.n/c=360，

3*00,

故答案为：100.

II.（2021•河南）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,B,。均在小正

方形的顶点上，且点B,C在AD上，Nfi4c=22.5。，则BC的长为

5

D

-,OA=OB=OD=59ZBOC=2ZBAC=45°9

,BC的长=色色="

1804

故答案为：—.

4

12.（2021•温州）若扇形的圆心角为30。，半径为17,则扇形的弧长为.

【解答】解：根据弧长公式可得：

njir30•1717

/=---=-------=—冗・

1801806

故答案为：-n.

6

13.（2021•泰州）扇形的半径为8cm,圆心角为45。，则该扇形的弧长为an.

【解答】解：由题意得，扇形的半径为80%,圆心角为45。，

故此扇形的弧长为：竺叱=2乃（即0，

180

故答案为；2%

14.（2021•绥化）一条弧所对的圆心角为135。，弧长等于半径为5ca的圆的周长的3倍,

则这条弧的半径为—cm.

【解答】解：设弧所在圆的半径为「，

由题意得，空军=2%x5x3,

180

解得，r=40cm.

故应填40.

三.扇形面积的计算（共3小题）

15.（2021•衢州）已知扇形的半径为6,圆心角为150。,则它的面积是（)

3

A.—71B.34C.57rD.15）

2

【解答】解：扇形面积=150%*62=匕一

360

故选：D.

16.（2021•青海）如图，一根5机长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只

小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（）

卜—6m—

A