2025届高考数学一轮复习第七章立体几何第四节平行关系教师文档教案文北师大版

错误！链接无效。平面BDF，FD平面BDF，∴EG∥平面BDF，又EG∩CE＝E，CE∥平面BDF，EG，CE平面CGE，∴平面CGE∥平面BDF，又CG平面CGE，∴CG∥平面BDF，又平面BDF∩平面PAC＝FO，CG平面PAC，∴FO∥CG.又O为AC的中点，∴F为AG中点，∴FG＝GP＝1，∴E为PD的中点，PE∶ED＝1∶1.[破题技法]线线、线面平行的证明方法方法关键适用题型利用线面平行的判定定理证线面平行在该平面内找或作始终线，证明其与已知直线平行平行线易作出利用面面平行的性质证线面平行过该线找或作一平面，证明其与已知平面平行面面平行较明显利用线面平行性质证线线平行过线作平面，产生交线已知线面平行考点二平面平行的判定与性质挖掘平面平行的判定与应用/自主练透[例](1)已知m，n，l1，l2表示不同直线，α、β表示不同平面，若mα，nα，l1β，l2β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分不必要条件是()A．m∥β且l1∥α B．m∥β且n∥βC．m∥β且n∥l2 D．m∥l1且n∥l2[解析]对于选项A，当m∥β，且l1∥α时，α，β可能平行也可能相交，故A中条件不是α∥β的充分条件；对于选项B，当m∥β且n∥β时，若m∥n，则α，β可能平行也可能相交，故B中条件不是α∥β的充分条件；对于选项C，当m∥β且n∥l2时，α，β可能平行也可能相交，故C中条件不是α∥β的充分条件；对于选项D，当m∥l1，n∥l2时，由线面平行的判定定理可得l1∥α，l2∥α，又l1∩l2＝M，由面面平行的判定定理可以得到α∥β，但α∥β时，m∥l1且n∥l2不确定成立，故D中条件是α∥β的一个充分条件．故选D.[答案]D(2)(2024·安徽蚌埠二模改编)如图所示，菱形ABCD的边长为2，∠D＝60°，点H为DC的中点，现以线段AH为折痕将菱形折起，使点D到达点P的位置且平面PHA⊥平面ABCH，点E，F分别为AB，AP的中点．求证：平面PBC∥平面EFH.[证明]菱形ABCD中，E，H分别为AB，CD的中点，所以BE綊CH，所以四边形BCHE为平行四边形，则BC∥EH，又EH平面PBC，所以EH∥平面PBC.又点E，F分别为AB，AP的中点，所以EF∥BP，又EF平面PBC，所以EF∥平面PBC.而EF∩EH＝E，所以平面EFH∥平面PBC.(3)如图所示，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是菱形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，G和H分别是CE和CF的中点．求证：平面BDGH∥平面AEF.[证明]在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GH∥EF，又因为GH平面AEF，EF平面AEF，所以GH∥平面AEF，连接AC，设AC∩BD＝O，连接OH(图略)，在△ACF中，因为OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF，又因为OH平面AEF，AF平面AEF，所以OH∥平面AEF.又因为OH∩GH＝H，OH，GH平面BDGH，所以平面BDGH∥平面AEF.[破题技法]判定面面平行的4种方法(1)面面平行的定义，即推断两个平面没有公共点．(2)面面平行的判定定理．(3)垂直于同一条直线的两平面平行．(4)平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行．考点三平行关系的探究问题挖掘1探究条件(开放性问题)/自主练透[例1](1)(2024·福建泉州模拟)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中点，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，当点Q________时，平面D1BQ∥平面PAOA．与C重合 B．与C1重合C．为CC1的三等分点 D．为CC1的中点[解析]在正方体ABCD­A1B1C1D1∵O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，∴PO∥BD1，当点Q为CC1的中点时，连接PQ，则PQ綊AB，∴四边形ABQP是平行四边形，∴AP∥BQ，∵AP∩PO＝P，BQ∩BD1＝B，AP、PO平面PAO，BQ、BD1平面D1BQ，∴平面D1BQ∥平面PAO.故选D.[答案]D(2)如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，D，D1分别是AC，A1C1上的点，当eq\f(AD,DC)，eq\f(A1D1,D1C1)分别为何值时，平面BC1D∥平面AB1D1.[解析]如图所示，连接A1B与AB1交于点O，连接OD1.因为平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BDC1＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝OD1，所以BC1∥OD1.同理AD1∥DC1.由BC1∥OD1，得eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(A1O,OB)＝1，即A1D1＝D1C1.由AD1∥DC1，AD∥D1C1，得四边形ADC1D1是平行四边形，所以AD＝D1C1，所以A1D1＝DC.所以eq\f(DC,AD)＝eq\f(A1D1,D1C1)＝1，即当eq\f(AD,DC)＝eq\f(A1D1,D1C1)＝1时，平面BC1D∥平面AB1D1.[破题技法]对平行关系条件的探究常采纳以下三种方法：(1)先猜后证，即先视察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探究出命题成立的条件，再证明其充分性；(3)把几何问题转化为代数问题，探究命题成立的条件．挖掘2探究结论(创新性问题)/互动探究[例2](1)如图，透亮塑料制成的长方体容器ABCD­A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH所在四边形的面积为定值；③棱A1D1始终与水面所在平面平行；④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值．其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4[解析]由题图，明显①是正确的，②是错误的；对于③，∵A1D1∥BC，BC∥FG，∴A1D1∥FG且A1D1平面EFGH，FG平面EFGH，∴A1D1∥平面EFGH(水面)．∴③是正确的；对于④，∵水是定量的(定体积V)，∴S△BEF·BC＝V，即eq\f(1,2)BE·BF·BC＝V.∴BE·BF＝eq\f(2V,BC)(定值)，即④是正确的，故选C.[答案]C(2)(2024·高考全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为()A.eq\f(3\r(3),4) B．eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(3\r(2),4) D.eq\f(\r(3),2)[解析]如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面AB1D1与棱A1A，A1B1，A1D1所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与A1A，A1B1，A1D1平行，故正方体ABCD­A1B1C1D1的每条棱所在直线与平面AB如图所示，取棱AB，BB1，B1C1，C1D1，DD1，AD的中点E，F，G，H，M，N，则正六边形EFGHMN所在平面与平面AB1D1平行且面积最大，此截面面积为S正六边形EFGHMN＝6×eq\f(1,