与圆有关的计算【考点精讲】-【中考高分导航】2022年中考数学考点总复习（解析版）

专题33与圆有关的计算

c知识导航

与卜方关的叶门

g知识精讲

考点1：弧长的计算

1.半径为R的圆周长：C=Ttd=27iR.

2.半径为R的圆中，〃。的圆心角所对的弧长为/,则/="K

180

【例1】（2021•黑龙江牡丹江）一条弧所对的圆心角为135。，弧长等于半径为3cm的圆的

周长的5倍，则这条弧的半径为（）

A.45cmB.40cmC.35cmD.30cm

【答案】B

【分析】

设这条弧的半径为mm,根据弧长公式和已知条件列出方程，解方程即可求解.

【详解】

解：设这条弧的半径为mm,

上HK.135万r

由题思得———=2zrx3x5,

1o（）

解得尸40,

，这条弧的半径为40cm.

故选：B

,方法技巧

IT等母一余弧长削削候找准该弧长所对的圆心角并确定其度数，然后确定半径的长度，再

利用公式即可求出.

2.计算弧长的有关要点：

（1）在弧长计算公式中，〃是表示1。的圆心角的倍数，〃和180都不要带单位.

（2）若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长.

（3）题设未标明精确度的，可以将弧长用兀表示.

（4）正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念:度数相等的弧，弧长不一定相等;弧长相等的

弧不一定是等弧；只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一.

¥针对训练

1.（2020•淄博）如图，放置在直线/卜一的扇形OA8.由图①滚动（无滑动）到图②，再由

图②滚动到图③.若半径OA=2,NAOB=45。，则点O所经过的运动路径的长是（）

57r

D.—+2

2

【分析】利用弧长公式计算即可.

【解答】解：如图，

点O的运动路径的长=历1的长+。|。2+%直的长

_90-7T-245-7T-290-7T-2

=180+180+180

57r

故选：C.

2.如图，半径为1的。。与正六边形ABC。"相切于点A、D,则弧AO的长为（）

2151

A.-71B.-71C.-71D.-7T

3366

【分析】连接0A,0£>,首先求得弧所对的圆心角的度数，然后利用弧长公式进行计算

即可.

【解答】解：连接04,OD,

・・・。。与正六边形43。。石尸相切于点4、D,

：.ZOAF=ZODE=90°,

VZE=ZF=120°,

・•・N4OO=540。-90°-90°-120°-120°=120°,

120-7T12

・・・屈的长为7U，

180=3

故选：A.

3.如图，A8是。。的直径，AB=4,AC是的弦，过点。作OO〃AC交。。于点D连接

BC,若NA3C=24。,则劣弧CO的长为（)

117T137r17n

A.一B.——C.—D.——

15151515

【分析】先根据圆周角定理求出的度数，得出N8O。和/6OC的度数，由角的和差

可得NC。。的度数，最后由弧长公式可得结论.

【解答】解：连接OC,

・♦.NAC8=90°,

,/ZABC=24°f

：.NA=90。-24。=66°,

AZBOC=2x66°=132°,

9：AC//OD,

Q

：.ZBOD=ZA=669

.\ZCOD=132°-66O=66°,

VAB=4,

...劣弧CD的长=曾繇=事;

loUID

故选：B.

考点2：扇形的面积计算

1.半径为R的圆面积5=成2

2.半径为R的圆中，圆心角为〃。的扇形面积为S,,产工质或S,产”土

【例2】（2021.青海西宁）如图，“ABC的内切圆④与A氏8cAe分别相切于点。，E,F,

连接OE,OF,ZC=90°,AC=6,BC=8,则阴影部分的面积为（）

A.2--7tB.4--C.4-乃D.1--

224

【答案】C

【分析】连接0。，由题意，先利用勾股定理求出48的长度，设半径为r,然后求出内切

圆的半径，再利用正方形的面积减去扇形的面积，即可得到答案.

【详解】

解：连接0。，如图：

在“ABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,

由勾股定理，则

AB=\lAC2+BC2=依+8?=10>

设半径为r,^\OD=OE=OF=r,

CF=CE=OE=OF=r,

二四边形CEOP是正方形；

由切线长定理，则ADnAPnG—r,BE=BD=8-r,

"：AB=AD+BD,

•6—r+8—r=10»

解得：厂=2,

OD=OE=OF=2；

.••阴影部分的面积为：S=2x2-90x%x2-=4_乃；

360

故选：C.

【例3】（2021.浙江衢州市）已知扇形的半径为6,圆心角为150°.则它的面积是（）

3

A.—reB.3乃C.5乃D.15乃

2

【答案】D

【分析】已知扇形的半径和圆心角度数求扇形的面积，选择公式5="忆直接计算即可.

360

【详解】解：s=150—62+5―

360

故选：D

【例4】（2021•湖南张家界市）如图，正方形A8CD内的图形来自中国古代的太极图，正

方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形A8C。的面

积为S,黑色部分面积为5,则5:S的比值为（）

D-I

【答案】A

【分析】根据题意，设正方形的边长为2小则圆的半径为小分别表示出黑色部分面积和正

方形A8C。的面积，进而即可求得\:S的比值.

【详解】

设正方形的边长为2m则圆的半径为a

•*-S=4a2＜圆的面积为；ra?

•••正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称

，黑色部分面积为圆面积的一半

S.=—7TCl~

'2

S.:S=—Tier:（4/）=—,

128

故选：A.

＞方法技巧

1.解答本考点的有关题目，关键在于掌握扇形的面积公式同时注意以下要点:

（1）切线的性质和判定;

（2）求不规则的图形（阴影部分）的面积，可以设法转化成几个规则的图形的面积的和或

者差来求.

2.计算扇形面积的有关要点

（1）求扇形阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积.

（2）求扇形阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法.

（3）求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇

形，而这个扇形的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长.注意不要

混淆圆锥的底面半径和圆锥展开后的扇形半径两个概念.

3.方法解读：

（1）和差法：所求面积的图形是一个不规则图形，可将其转化变成多个规则图形面积的和

或差，进行求解.

①直接和差法：

BAD-S半圆AB

C

R

S阴影=S扇形EAF-SAADE

②构造和差法：

BOE+SAOCE-S扇形COD

（2）割补法：直接求面积较复杂或无法计算时,可通过旋转、平移、割补等方法，对图形进行

转化，为利用公式法或和差法创造条件，从而求解.

①全等法

扇形BOC

S阴影二S域形COD

¥针对训练

1.（2020•乐山）在AABC中，已知/ABC=90。，ZBAC=30°,BC=\.如图所示，WAABC

绕点A按逆时针方向旋转90。后得到△ABC，.则图中阴影部分面积为（）

【分析】解直角三角形得到AB=V3BC=V3,AC=2BC=2,然后根据扇形的面积公式

即可得到结论.

【解答】解：VZABC=90°,ZBAC=30°,BC=\,

：.AB=V3BC=V3,AC=2BC=2,

.90-7TX2260^x31ynzn-\13

..-------------------------x1xV3=------,

36036022

故选：B.

2.(2020•成都模拟)如图，已知AB是。。的直径，弦垂足为E,且NBCD=

30°,CD=4V3.则图中阴影部分的面积5腿=()

843

A.2nB.-7tC.-7TD.-7t

338

【分析】根据垂径定理求得CE=ED=2g然后由圆周角定理知/£>OE=60。，然后通

过解直角三角形求得线段OD、OE的长度，最后将相关线段的长度代入Sw，=S

■SAOOF+SABEC-

【解答】解：是。。的直径，弦CD_LAB,

：.CE=ED=2>/3,

又；NDCB=30。,

：.ZDOE=2ZBCD=60°,ZODE=30°,

：.OE=2V3Xy=2,OD=2OE=4,

:・S阴影=S扇形BOD-SADOE+SABEC—空—\x2x2>/3+IX2X2A/3=萼.

3oUNN3

故选:B.

3.如图，已知43是。。的直径，C,。是。。上的点，OCI/BD,交于点E,连结BC.

(1)求证：AE=ED-,

(2)若AB=6,ZCBD=30°,求图中阴影部分的面积.

【分析】(1)根据圆周角定理得到/A£>8=90。，根据平行线的性质得到/AEO=/AO8

=90°,即。C_LAO,于是得到结论；

(2)连接CD,OD,根据平行线的性质得到NOC8=/CBD=30。，根据等腰三角形的

性质得到NOC8=NOBC=30。，求得NAOQ=120。，根据扇形和三角形的面积公式即可

得到结论.

【解答】(1)证明：・・・A3是。。的直径，

408=90。，

YOC//BD,

：.ZAEO=ZADB=90°tK|JOC1AD,

又・・・0C为半径，

：・AE=ED,

(2)解：连接CD,0D,

■:0C〃BD,

：.ZOCB=ZCBD=30°9

♦：OC=OB,

：.ZOCB=ZOBC=30°,

:.NA0C=NOCB+NOBC=60。，

•/NCOD=2NCBD=60。,

：.ZAOD=\20°9

VAB=6,

：.BD=3,AD=3V3,

YOA=OB,AE=ED,

13

：.0E=-BD=",

22

2

•c_cc_120-7TX31Q3_a973

••S^-S^AOD7AAOD=——]X3V3X5=3兀-v.

1.圆柱的侧面展开图是长方形，圆柱侧面积5=2兀全面积S=2兀Rh+27rR?（R表示底面圆的半

径出表示圆柱的高）.

2.圆锥的侧面展开图是扇形，圆锥侧面积5二江出/,全面积S=7rRl+7rR2（R表示底面圆的半径，/表

示圆锥的母线）.

3.圆柱的体积=底面积x高,即V=Sh=TiR2h.圆锥的体积=』x底面积x高,即V=—nR2h.

33

【例5】（2021.四川绵阳）如图，圆锥的左视图是边长为2的等边三角形，则此圆锥的高是

B.3C.V2D.6

【答案】D

【分析】如图所示，等边三角形ABC,8c边上的高月。即为所求.

【详解】

解：如图所示等边三角形48C,4。是8c边上的高,

由题意可知AO的长即为所求，AB=2,ZB=60°,

，AD=ABsinB=y/3,

故选D.

【例6】（2021.江苏宿迁市）已知圆锥的底面圆半径为4,侧面展开图扇形的圆心角为120。,

则它的侧面展开图面积为.

【答案】487r

【分析】首先根据底面圆的半径求得扇形的弧长，然后根据弧长公式求得扇形的半径，然后

利用公式求得面积即可.

【详解】解：•••底面圆的半径为4,

二底面周长为8兀，

.♦.侧面展开扇形的弧长为8兀，

设扇形的半径为广，

♦.•圆锥的侧面展开图的圆心角是120°,

解得：一⑵

二侧面积为71*4x12=4871,

故答案为：48兀.

y针对训练

1.（2020•湖北）一个圆锥的底面半径是4°",其侧面展开图的圆心角是120。，则圆锥的母

线长是（）

A.8cmB.12cmC.16cmD.24cm

【分析】根据圆锥侧面展开图的实际意义和圆锥的弧长公式/=镯求解即可.

【解答】解：圆锥的底面周长为27tx4=阮0如即为展开图扇形的弧长，

解得，R=12,即圆锥的母线长为12c,".

故选：B.

2.（2020•云南）如图，正方形ABC。的边长为4,以点A为圆心，AO为半径，画圆弧OE

得到扇形D4E（阴影部分，点E在对角线AC上）.若扇形D4E正好是一个圆锥的侧面

展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（）

A.V2

【分析】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可.

【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r,

根据题意可知：

AD=AE=4,ZDAE=45°,

底面圆的周长等于弧长：

解得仁艺

答：该圆锥的底面圆的半径是:

故选：D.

3.（2020•德州）若一个圆锥的底面半径是2c/n,母线长是6。相，则该圆锥侧面展开图的圆

心角是度.

【分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，苜先求得展开图的弧长,

然后根据弧长公式即可求解.

【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：271X2=4兀(cw),

717rx6

设圆心角的度数是“度.则一^=4兀，

180

解得：n=120.

故答案为：120.

考点4：正多边形与圆

1.正多边形:各边相等，各角相等的多边形叫做正多边形.

3.圆与正多边形的有关概念:一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,外接圆

的半径叫做正多边形的半径;正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正

多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.

3.正多边形的内角和=(〃-2>180。；

正多边形的每个内角=("2)180；

n

正多边形的周长二边长x边数；

正多边形的面积=,X周长X边心距.

2

【例7】(2021•四川德阳)如图，在圆内接五边形ABC0E中，ZEABZ+ZC+ZCDE+ZE

=430。，则NCD4=度.

D

【答案】70

【分析】

先利用多边的内角和得到/£AB+/8+NC+/C£>E+NE=540。，则可计算出N8=l10°,然后

根据圆内接四边形的性质求/CD4的度数.

【详解】

解：•五边形4BCOE的内角和为(5-2)xl80°=540°,

ZEAB+ZB+ZC+ZCDE+Z£=540°,

,/ZEAB+ZC+ZCDE+Z£=430°,

.*.N8=540°-430°=110°,

•..四边形ABCC为。。的内接四边形,

AZB+ZCDA=180°,

.,.ZCDA=180°-110o=70°.

故答案为70.

'里针对训练

1.（2020•姑苏区一模）如图，点A、B、C、。、E在。。上，屈的度数为60。，则

的度数是（）

e

C

A.180°B.120°C.100°D.150°

【分析】连接AB,DE,先求得NA8E=N4OE=25。，根据圆内接四边形的性质得出

ZABE+ZEBC+ZADC=\SO0,即可求得NEBC+NAOC=150。.

【解答】解：连接48、DE,则

•.•屈的度数为60°,

ZABE^NADE=30°,

二.点A、B、C、。在。。上，

•••四边形ABC。是圆内接四边形，5