北京市朝阳区2022-2023学年高三上学期期末质量检测数学试卷 附答案

高三数学参考答案第6页（共6页）北京市朝阳区2022~2023学年度第一学期期末质量检测高三数学参考答案2023.1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）B （2）A （3）C （4）D（5）D（6）A （7）B （8）C （9）C（10）B二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（

11

） （12） （13）（14）

（15）②③④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（本小题13分） 解：（Ⅰ）因为，所以．又因为，所以．所以．又因为，所以．（Ⅱ）因为，，由余弦定理，得．因为，当且仅当时等号成立，所以，解得． 所以的最小值为．（17）（本小题13分）解：（Ⅰ）设事件为“高三（）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖”．根据题中数据，高三（）班共训练次，跳绳个数超过个的共次．所以估计为．（Ⅱ）设事件为“高三（）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖”，．根据题中数据，估计为，估计为，估计为．根据题意，随机变量的所有可能取值为,,,,，且；；；；．所以，估计为；估计为；估计为；估计为；估计为．所以估计为．（Ⅲ）在此次跳长绳比赛中，高三（）班获得冠军的概率估计值最大．（18）（本小题14分）解：（Ⅰ）取的中点,连接,.因为,分别是,的中点,所以且.又且，所以且.故四边形为平行四边形.所以.又因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）取中点，连接,.在中，因为，所以.又因为平面平面，且平面平面，所以平面.故,.又在正方形中，,所以,,两两垂直.如图建立空间直角坐标，设，则,,,,.所以，，.设平面的法向量为，则即令，则,．于是．又因为平面的一个法向量为，所以．选择条件①：．则，即．又，所以．此时．由题知二面角为锐角，所以其余弦值为．选择条件②：．则，得．此时．由题知二面角为锐角，所以其余弦值为．（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）因为面积的最大值为，所以．又因为，，所以，．所以椭圆的方程为，离心率为．（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为．显然∽．因为，所以．不合题意．②当直线的斜率存在时，设直线的方程为．由得．显然．设，，且，则，．直线的方程为．令，得点的纵坐标，则．直线的方程为．同理可得．所以．所以．即．可得．化简得．解得．所以直线的方程为或．（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）的定义域为．由得．令得．因为，所以当时，；当时，．所以的单调递增区间为，单调递减区间为．（Ⅱ）由，依题意，在上恒成立．设，则．令，得（舍），．当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减．故．又由得．所以．依题意需，即．设，则易知在为增函数．又，所以对任意的，有；对任意的，有．所以，即，解得．所以的取值范围为．（Ⅲ）由得，且,．由（Ⅱ）知，当时，，当且仅当时取等号．所以，．两式相加得，即．故．（21）（本小题15分）解：（Ⅰ），，，．（Ⅱ）对任意，存在，使得．若或，则或又可以写成数列中某两项的和，如．依此类推，存在，使得，其中．所以存在，使得，且．设，则当时，．当时，．所以，对任意，均有，即．（Ⅲ）令，其中．由（Ⅱ）知，.由，得．所以，当时，.由（Ⅱ）知.若，则．此时，当时，.若不全为，设，为中最小的正数，则．