数学课后导练双曲线的几何性质

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后导练基础达标1。双曲线与椭圆=1有相同的焦点,它的一条渐近线为y=-x,则双曲线方程为（）A。x2—y2=96 B.y2—x2=160C.x2—y2=80 D。y2-x2=24解析：由椭圆=1得其焦点坐标为（0,—4）、（0，4）。∴双曲线的焦点在y轴上。∵双曲线的一条渐近线为y=-x,∴a=b,而c=4。∴a2+b2=(4）2,2a2=48.∴a2=24，b2=24.∴双曲线的方程为y2—x2=24。答案：D2。实轴长为45且过点A(2,-5）的双曲线的标准方程是（）A.=1 B。=1C。=1 D.=1解析：∵2a=4，∴a=2。∵双曲线的焦点在x轴上时,双曲线上的点的横坐标x应满足｜x｜≥2，而A点的横坐标为2，不满足|x｜≥2.∴双曲线的焦点应在y轴上.设双曲线的方程为∵点A（2，-5）在双曲线上，∴.∴b2=16。∴双曲线的方程为答案：B3.中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为（)A.y=±x B.y=±xC.y=±x D。y=±x解析：∵∵双曲线的焦点在y轴上，∴双曲线的渐近线方程为y=±x.∴所求双曲线的渐近线方程为y=±x.答案：D4.焦点为(0，6)且与双曲线—y2=1有相同渐近线的双曲线方程是（）A.=1 B。=1C。=1 D。=1解析：设所求双曲线的方程为∵双曲线的一个焦点为(0，6)在y轴上，∴λ<0。∴-λ-2λ=36,λ=-12.∴所求双曲线方程是答案:B5。若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率e等于()A. B。C。 D。解析：焦点F(c，0）到渐近线bx-ay=0的距离d=，则b=2ac2-a2=4a2e=答案:C6.双曲线5y2—4x2=-20的实轴长为_________，虚轴长为_________，渐近线方程为_________，离心率为_________.解析:∵a2=5,b2=4,∴2a=2，2b=4,c=a2+b2=3.∴e=又双曲线的焦点在x轴上,∴双曲线的渐近线方程为y=±答案：254y=±7.准线方程为x+y=1,相应的焦点为（1,1)的等轴双曲线方程是_________。解析：等轴双曲线的离心率e=2，由双曲线的第二定义，得方程为，化简得xy=.答案:xy=8。已知双曲线x2—3y2=3上一点P到左、右焦点的距离之比为1∶2,则P点到右准线的距离为_________。解析：设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点。则有解得又设点P到右准线的距离为d，则∴d=6,即点P到右准线的距离为6.答案:69.双曲线=1与直线y=kx-1只有一个公共点，求k的值.解：直线y=kx—1过（0,—1)点,若使直线与双曲线只有一个公共点，必须直线与双曲线的渐近线平行或直线与双曲线相切。当直线与渐近线平行时,双曲线的渐近线方程是y=±x.∴k=±。10.双曲线与圆x2+y2=17有公共点A(4，—1）,圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行，求双曲线的标准方程.解：∵点A与圆心O的连线的斜率为—，∴过A的切线的斜率为4。∴双曲线的渐近线方程为y=±4x。设双曲线方程为x2-=λ.∵点A（4，—1）在双曲线上,∴16—=λ，λ=。∴双曲线的标准方程为综合运用11。已知双曲线=1（a＞0,b＞0),F1、F2为双曲线的两个焦点,点P在双曲线上，求｜PF1｜·｜PF2｜的最小值。解析：设P点的横坐标为x0，则x0≥a或x0≤—a。由焦半径公式得|PF1|·|PF2｜=｜a-ex0｜|a+ex0|=｜a2-∵|x0｜≥a,∴x≥a2.∴|PF1｜·｜PF2｜≥·a2-a2=b2。当｜x0｜=a时，上式“="成立。∴｜PF1｜·｜PF2｜的最小值为b2.12。在双曲线=-1的上支上有不同的三点A（x1,y1）、B（x2，6）、C(x3，y3），与焦点F（0，5)的距离成等差数列.(1）求y1+y3的值；(2）求证：线段AC的垂直平分线经过某一定点,并求出定点坐标。(1)解：∵=e,∴|PF｜=ey—a。又A、B、C到F的距离成等差数列，∴2（ey2-a)=(ey1-a)+(ey3-a）。∴y1+y3=2y2=12。（2）证明:由题意，得①—②,得(y1—y3)(y1+y3)—（x1—x3）·(x1+x3)=0。∴若x1+x3=0.则kAC=0，y1=y3=y2=6，A、B、C三点共线，这是不可能的。∴x1+x3≠0.则AC的中垂线方程为y—6=即y=。因此，AC的中垂线过定点（0，).13。双曲线的中心在坐标原点，离心率为4，一条准线方程是x=，求双曲线的方程。解：∵双曲线的中心在原点，准线和x轴垂直，∴双曲线的方程是标准的且焦点在x轴上。∵∴a=2，c=8.∴b2=82—22=60.∴双曲线的方程是拓展探究14。已知双曲线=1，F为其右焦点,A（4，1)为平面上一点,点P为双曲线上一点，求｜PA｜+｜PF｜的最小值(如右图)。解:由双曲线的第二定义可知=e,其中d为P到右准线l：x=的距离，e=。∴｜PF｜=ed=d。∴|PA|+｜PF|=|PA｜+×d。∴|PA|+|PF|=｜PA｜+d，则求｜PA｜+｜PF｜的最小值，就是在双曲线上求一点P，使P到A的距离与到右准线l：x=的距离之和最小(如题图)，由平面几何的知识知道，从直线外一点向该直线所引的线段中，垂线段最短，从而过点A向右准线l:x=作垂线AB,交双曲线于P点，此时|PA|+d最小，即|PA|+|PE|最小，最小值为垂线段AB的长，易求|AB|=，故｜PA｜+｜PF｜的最小值为。15.已知点M(—2，0）、N（2，0)，动点P满足条件｜PM|—|PN|=22.记动点P的轨迹为W。(1）求W的方程；（2)若A、B是W上的不同两点，O是坐标原点，求·的最小值。解：（1）由｜PM|-|PN｜=2知动点P的轨迹是以M、N为焦点的双曲线的右支，实半轴长a=。又半焦距c=2,故虚半轴长b=所以W的方程为=1，x≥。(2）设A、B坐标分别为（x1，y1）,(x2，y2）。当AB⊥x轴时,x1=x2,y1=-y2.从而·=x1x2+y1y2=x—y=2.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，与W的方程联立，消