高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题03圆锥曲线中的三角形(四边形)面积问题(含定值、最值、范围问题)(典型题型归类训练)(学生版+解析)

专题03圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题（含定值、最值、范围问题）(典型题型归类训练)一、必备秘籍1、弦长公式（最常用公式，使用频率最高）2、三角形面积问题直线方程：3、焦点三角形的面积直线过焦点的面积为注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数4、平行四边形的面积直线为，直线为注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数.5、范围问题首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数均值不等式变式：作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举：（1）（注意分三种情况讨论）（2）当且仅当时，等号成立（3）当且仅当时等号成立.（4）当且仅当时，等号成立(5)当且仅当时等号成立.二、典型题型题型一：三角形面积（定值问题）1．（2024上·江西新余·高二统考期末）如图，椭圆和圆，已知椭圆C的离心率为，直线与圆O相切．(1)求椭圆C的标准方程；(2)椭圆C的上顶点为B，EF是圆O的一条直径，EF不与坐标轴重合，直线BE、BF与椭圆C的另一个交点分别为P、Q，求的面积的最大值．2．（2024上·浙江宁波·高二统考期末）已知椭圆离心率等于，长轴长为4.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与轨迹交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于，试探究的面积是否为定值，并说明理由.3．（2024上·四川宜宾·高二统考期末）已知点在抛物线上，斜率为的直线与交于两点，记直线的斜率分别为(1)证明：为定值:(2)若，求的面积．题型二：四边形面积（定值问题）1．（2024·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，过点的两条直线，分别与椭圆交于另一点A，B，且直线，，的斜率满足．(1)求椭圆的方程；(2)证明直线过定点；(3)椭圆C的焦点分别为，，求凸四边形面积的取值范围．2．（2024上·天津河北·高二统考期末）已知椭圆的右焦点为，短轴长为2.过点且不平行于坐标轴的直线与椭圆交于两点，线段的中点为.(1)求椭圆的方程；(2)证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值；(3)延长线段与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率及四边形的面积.3．（2023上·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点为，，若上任意一点到两焦点的距离之和为，且点在上.(1)求椭圆的方程；(2)在（1）的条件下，若点，在上，且(为坐标原点)，分别延长，交于，两点，则四边形的面积是否为定值？若为定值，求四边形的面积，若不为定值，请说明理由.题型三：三角形面积（最值，范围问题）1．（2024上·江西吉安·高二江西省峡江中学校考期末）已知抛物线C：的焦点F在x轴正半轴上，过F的直线l交C于A，B两点，过F与l垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为，的中点．已知当l的斜率为2时，．(1)求抛物线C的解析式；(2)试判断直线是否过定点，若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；(3)设G为直线与直线的交点，求面积的最小值．2．（2024上·江西新余·高二统考期末）如图，椭圆和圆，已知椭圆C的离心率为，直线与圆O相切．(1)求椭圆C的标准方程；(2)椭圆C的上顶点为B，EF是圆O的一条直径，EF不与坐标轴重合，直线BE、BF与椭圆C的另一个交点分别为P、Q，求的面积的最大值．3．（2024上·广东广州·高二华南师大附中校考期末）已知，圆，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是曲线．(1)求曲线的方程；(2)过作一条不平行于坐标轴的直线交曲线于两点，过点作轴的垂线交于点，求面积的最大值．4．（2024·吉林长春·东北师大附中校联考模拟预测）已知椭圆的两焦点，且椭圆过.(1)求椭圆的标准方程；(2)设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点（与均不重合），记直线的斜率为，直线的斜率为，且，设，的面积分别为，求的取值范围题型四：四边形面积（最值，范围问题）1．（2024·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，过点的两条直线，分别与椭圆交于另一点A，B，且直线，，的斜率满足．(1)求椭圆的方程；(2)证明直线过定点；(3)椭圆C的焦点分别为，，求凸四边形面积的取值范围．2．（2024上·湖南娄底·高三统考期末）已知椭圆的右焦点为，离心率，椭圆上一动点到的距离的最小值为.(1)求椭圆的标准方程；(2)设斜率为的直线过点，交椭圆于两点，记线段的中点为，直线交直线于点，直线交椭圆于两点，求的大小，并求四边形面积的最小值.3．（2024上·山西大同·高二统考期末）已知椭圆经过点，一个焦点在直线上．(1)求椭圆的方程；(2)设经过原点的两条互相垂直的直线分别与椭圆相交于，两点和，两点．求四边形的面积的最小值．4．（2024上·贵州铜仁·高二统考期末）已知椭圆的焦点坐标，且过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线与椭圆交于，两点，且，关于原点的对称点分别为，，若是一个与无关的常数，求此时的常数及四边形面积的最大值.三、专项训练1．（2024上·天津河北·高二统考期末）已知椭圆的右焦点为，短轴长为2.过点且不平行于坐标轴的直线与椭圆交于两点，线段的中点为.(1)求椭圆的方程；(2)证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值；(3)延长线段与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率及四边形的面积.2．（2024上·辽宁·高三校联考期末）已知椭圆（）的离心率为，左､右焦点分别为，.过的直线交椭圆于，两点，过的直线交椭圆于，两点，且，垂足为，.(1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形的面积的最小值.3．（2024上·重庆九龙坡·高二统考期末）已知椭圆的离心率为，焦距为2．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与椭圆相交于两点，且．求的面积．4．（2024上·河北沧州·高二泊头市第一中学校考阶段练习）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，点均在椭圆上．(1)求椭圆的离心率；(2)过原点且经过第一、三象限的直线与椭圆交于两点，点为椭圆右顶点，点为椭圆上顶点，求四边形面积的最大值．5．（2024上·天津宁河·高二统考期末）已知椭圆的离心率为，右焦点为.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆交于A，B两点，求的面积.8．（2024上·上海·高二上海市吴淞中学校考期末）如图，设是椭圆的下焦点，直线与椭圆相交于、两点，与轴交于点.(1)求以为圆心，短轴长为半径的圆的标准方程；(2)判断直线与斜率之和是否为常数，若成立，求出常数值；否则说明理由；(3)求面积的最大值.9．（2024上·甘肃兰州·高二校考期末）在平面直角坐标系中，圆与圆内切，且与圆外切，记动圆M的圆心的轨迹记为曲线C．直线与曲线C相交于P，Q两点．(1)求曲线C的方程；(2)若是一个与m无关的定值，求此时k的值及△OPQ的面积的最大值．10．（2024上·江苏无锡·高二无锡市第一中学校考期末）已知椭圆的左右焦点分别为，，且椭圆过点，直线与椭圆相交于，两点．(1)求椭圆的方程；(2)若不过原点且不平行于坐标轴，记线段的中点为，求证：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；(3)若，求面积的取值范围．专题03圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题（含定值、最值、范围问题）(典型题型归类训练)一、必备秘籍1、弦长公式（最常用公式，使用频率最高）2、三角形面积问题直线方程：3、焦点三角形的面积直线过焦点的面积为注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数4、平行四边形的面积直线为，直线为注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数.5、范围问题首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数均值不等式变式：作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举：（1）（注意分三种情况讨论）（2）当且仅当时，等号成立（3）当且仅当时等号成立.（4）当且仅当时，等号成立(5)当且仅当时等号成立.二、典型题型题型一：三角形面积（定值问题）1．（2024上·江西新余·高二统考期末）如图，椭圆和圆，已知椭圆C的离心率为，直线与圆O相切．(1)求椭圆C的标准方程；(2)椭圆C的上顶点为B，EF是圆O的一条直径，EF不与坐标轴重合，直线BE、BF与椭圆C的另一个交点分别为P、Q，求的面积的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先根据题意得到，再根据离心率得到，即可得到答案.（2）首先设直线，与椭圆联立得到，从而得到，即可得到椭圆的标准方程：；（2）由题意知直线，的斜率存在且不为0，，不妨设直线的斜率为，则直线．由，得，或，所以.用代替，得则，，，设，则．当且仅当，即，即时取等号，所以.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.2．（2024上·浙江宁波·高二统考期末）已知椭圆离心率等于，长轴长为4.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与轨迹交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于，试探究的面积是否为定值，并说明理由.【答案】(1)(2)是定值1，理由见解析【分析】（1）列出关于的方程组求解后可得标准方程；（2）设，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得，代入斜率乘积化简得出的关系，然后由弦长公式计算弦长，再由点到直线距离公式求得三角形的高，从而计算三角形面积可得结论．【详解】（1）由题意得，解得，

所以椭圆的方程为.（2）设，联立直线和椭圆方程可得：，消去可得：，所以，即，则，

，，把韦达定理代入可得：，而点到直线的距离，所以，

把代入，则，可得是定值1．【点睛】方法点睛：本题考查椭圆中三角形面积为定值问题，一般设出交点坐标，直线方程与椭圆方程联立方程组消元后应用韦达定理，并把此结论代入题设条件得出参数关系，由弦长公式求得弦长，由点到直线距离公式求高，计算三角形面积，并根据参数关系化简得结论．3．（2024上·四川宜宾·高二统考期末）已知点在抛物线上，斜率为的直线与交于两点，记直线的斜率分别为(1)证明：为定值:(2)若，求的面积．【答案】(1)证明见解析；(2)48.【分析】（1）求出抛物线的方程，设出直线的方程，与的方程联立，借助韦达定理及斜率坐标公式计算即得.（2）由（1）的结论求出，进而求出直线的方程，利用弦长公式及点到直线的距离公式求解即得.【详解】（1）由点在抛物线上，得，抛物线，设直线的方程为，，显然，所以为定值.（2）由，得，则，由（1）知，，，解得，直线的方程为，，而点到直线的距离，所以的面积.题型二：四边形面积（定值问题）1．（2024·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，过点的两条直线，分别与椭圆交于另一点A，B，且直线，，的斜率满足．(1)求椭圆的方程；(2)证明直线过定点；(3)椭圆C的焦点分别为，，求凸四边形面积的取值范围．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据条件列出方程组，解出即可；（2）设直线，联立直线和椭圆方程，消元后，利用，建立方程，解出后验证即可；（3）设直线，联立直线和椭圆方程，消元后，利用韦达定理得到条件，利用进行计算，换元法求值域即可.【详解】（1）由题设得，解得，由得，即，整理得，因为，得，解得或，时，直线过定点，不合题意，舍去；时，满足，所以直线过定点．（3））由（2）得直线，所以，由，整理得，，由题意得，因为，所以，所以，令，，所以，在上单调递减，所以的范围是．

2．（2024上·天津河北·高二统考期末）已知椭圆的右焦点为，短轴长为2.过点且不平行于坐标轴的直线与椭圆交于两点，线段的中点为.(1)求椭圆的方程；(2)证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值；(3)延长线段与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率及四边形的面积.【答案】(1)(2)证明见解析(3)斜率为，【分析】（1）根据椭圆的焦点、短轴长求出即可得解；（2）设直线的方程为，联立椭圆方程，求出弦中点，得出斜率即可得证；（3）由题意为线段的中点，表示出点坐标，代入椭圆求解斜率，再由点到直线距离求出高可得三角形面积，即可得解.【详解】（1）由题意知，又，解得.椭圆的方程为.（2）由题意，设直线的方程为，由方程组消去得.显然，，故为定值.（3）如图，

若四边形为平行四边形，则为线段的中点，即点在椭圆上，，解得，即；结合（2）可得，，设点到直线的距离为，则，即3．（2023上·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点为，，若上任意一点到两焦点的距离之和为，且点在上.(1)求椭圆的方程；(2)在（1）的条件下，若点，在上，且(为坐标原点)，分别延长，交于，两点，则四边形的面积是否为定值？若为定值，求四边形的面积，若不为定值，请说明理由.【答案】(1)(2)四边形的面积为定值，理由见解析.【分析】（1）根据定义可求出，利用点在椭圆上列方程即可求出，进而得到椭圆方程；（2）设直线的方程，，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合，得到与的关系，由弦长公式和点到直线距离公式即可得到，根据图象对称性即可计算四边形的面积.【详解】（1）因为上任意一点到两焦点的距离之和为，所以，即.又因为点在上，所以，则，故椭圆的方程为.（2）四边形的面积为定值，理由如下：当直线斜率为0时，因为，不妨设，则，则，，则，因为，所以，即，即，则，又原点到的距离，所以四边形的面积，综上，所以四边形的面积为定值..【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.题型三：三角形面积（最值，范围问题）1．（2024上·江西吉安·高二江西省峡江中学校考期末）已知抛物线C：的焦点F在x轴正半轴上，过F的直线l交C于A，B两点，过F与l垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为，的中点．已知当l的斜率为2时，．(1)求抛物线C的解析式；(2)试判断直线是否过定点，若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；(3)设G为直线与直线的交点，求面积的最小值．【答案】(1)(2)过定点，定点为(3)8【分析】（1）根据直线的斜率为2时列方程，得到即可得到抛物线方程；（2）分别联立直线与抛物线、直线与抛物线方程得到点，的坐标，从而得到直线的方程，即可得到直线过定点；（3）联立直线与的方程得到，根据点，的坐标和不等式得到，通过分析、和三种情况得到，从而可得面积的最小值.【详解】（1）

设，，由题意得，，当直线的斜率为2时，直线的方程为，联立得，则，，则，所以抛物线的解析式为.（2）由（1）得，设直线的方程为，的方程为，设，，因为直线与直线垂直，所以，当时，：，即，因为，所以直线的方程为，故当时，，此时过定点，当时，由得，此时直线的方程为，同样经过点，所以直线过定点，该定点为.（3）由抛物线方程得，，则：，同理可得：，联立得，即，由，同理，故，当时，有，则点在轴上方，点亦在轴上方，，直线过定点，所以此时，同理时，点在轴下方，点亦在轴下方，，故此时，当且仅当时，，，所以恒成立，且时等号成立，故，所以的面积最小值为8.【点睛】方法点睛：求定点问题常见的两种方法：（1）从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点.2．（2024上·江西新余·高二统考期末）如图，椭圆和圆，已知椭圆C的离心率为，直线与圆O相切．(1)求椭圆C的标准方程；(2)椭圆C的上顶点为B，EF是圆O的一条直径，EF不与坐标轴重合，直线BE、BF与椭圆C的另一个交点分别为P、Q，求的面积的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先根据题意得到，再根据离心率得到，即可得到答案.（2）首先设直线，与椭圆联立得到，从而得到，即可得到（2）由题意知直线，的斜率存在且不为0，，不妨设直线的斜率为，则直线．由，得，或，所以.用代替，得则，，，设，则．当且仅当，即，即时取等号，所以.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.3．（2024上·广东广州·高二华南师大附中校考期末）已知，圆，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是曲线．(1)求曲线的方程；(2)过作一条不平行于坐标轴的直线交曲线于两点，过点作轴的垂线交于点，求面积的最大值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据给定条件，结合对称的性质可得，再利用椭圆的定义求解即得.（2）设出直线的方程，与曲线的方程联立，结合韦达定理及三角形面积公式求出面积的函数关系，并求出最大值即得.【详解】（1）连接，由线段的垂直平分线和半径相交于点，得，而圆的半径为，则，因此曲线是以为左右焦点，长轴长的椭圆，显然焦距，则，所以曲线的方程是.（2）设直线的方程为，，则，由消去得，显然，则，于是的面积，当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．4．（2024·吉林长春·东北师大附中校联考模拟预测）已知椭圆的两焦点，且椭圆过.(1)求椭圆的标准方程；(2)设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点（与均不重合），记直线的斜率为，直线的斜率为，且，设，的面积分别为，求的取值范围【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可得：，求解即可；（2）先确定直线的斜率必不为0，设其方程为，联立椭圆方程，结合韦达定理，结合题意可得直线恒过轴上一定点.从而可求得，进而可求解.【详解】（1）由题意可得：，解得，所以椭圆的方程为：；（2）依题意，，设，直线斜率为.若直线的斜率为0，则点关于轴对称，必有，不合题意.所以直线的斜率必不为0，设其方程为，与椭圆的方程联立得，所以，且因为是椭圆上一点，满足，所以，则，即.因为所以，此时，故直线恒过轴上一定点.因此，所以，令，当即时，取得最大值..【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.题型四：四边形面积（最值，范围问题）1．（2024·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，过点的两条直线，分别与椭圆交于另一点A，B，且直线，，的斜率满足．(1)求椭圆的方程；(2)证明直线过定点；(3)椭圆C的焦点分别为，，求凸四边形面积的取值范围．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据条件列出方程组，解出即可；（2）设直线，联立直线和椭圆方程，消元后，利用，建立方程，解出后验证即可；（3）设直线，联立直线和椭圆方程，消元后，利用韦达定理得到条件，利用进行计算，换元法求值域即可.【详解】（1）由题设得，解得，所以的方程为；（2）由题意可设，设，，由，整理得，．由韦达定理得，，由得，即，整理得，因为，得，解得或，时，直线过定点，不合题意，舍去；时，满足，所以直线过定点．（3））由（2）得直线，所以，由，整理得，，由题意得，因为，所以，所以，令，，所以，在上单调递减，所以的范围是．

2．（2024上·湖南娄底·高三统考期末）已知椭圆的右焦点为，离心率，椭圆上一动点到的距离的最小值为.(1)求椭圆的标准方程；(2)设斜率为的直线过点，交椭圆于两点，记线段的中点为，直线交直线于点，直线交椭圆于两点，求的大小，并求四边形面积的最小值.【答案】(1)(2)，3【分析】（1）由题意，结合平方关系即可得解.（2）由题意设，直线的方程为，联立椭圆方程，结合韦达定理、中点坐标公式得坐标，方程，联立进而得坐标，可以发现，所以，由四边形对角线互相垂直，以及弦长公式、同理思想可表示出面积，结合基本不等式的相关推论即可得解.【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由已知，求得，所以.所以椭圆的方程为.（2）由已知椭圆的右焦点为，设，直线的方程为，联立，可得.则.于是有.因为的中点为，所以，因此直线的斜率，因为直线交直线于点，所以，故直线的斜率为，即得，因此直线与直线垂直，所以，所以.因为，所以直线的方程为，同理可得，所以四边形的面积.因为，当且仅当，即时等号成立，所以，故四边形面积的最小值为3.【点睛】关键点睛：第二问求的关键是先用的斜率表示出的斜率，结合到角公式可以得夹角，事实上可以得，问题就简单了，然后由弦长公式、同理思想表示出四边形面积，即可顺利得解.3．（2024上·山西大同·高二统考期末）已知椭圆经过点，一个焦点在直线上．(1)求椭圆的方程；(2)设经过原点的两条互相垂直的直线分别与椭圆相交于，两点和，两点．求四边形的面积的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题设易得，结合椭圆定义及两点距离公式求得，进而可得椭圆方程；（2）讨论直线斜率，设直线方程并联立椭圆求相交弦长，进而得到四边形的面积关于直线斜率的表达式，即可得求最小值.【详解】（1）由题意，椭圆的左、右焦点分别为，，即，所以，即，，所以椭圆的方程为．（2）①当直线的斜率不存在或为0时，，，，分别为椭圆的四个顶点，所以．②当直线的斜率存在且不为0时，设，则，设，，，，联立，解得，即，所以，同理，所以．令，则，，所以，，当时，又，所以四边形的面积的最小值为．4．（2024上·贵州铜仁·高二统考期末）已知椭圆的焦点坐标，且过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线与椭圆交于，两点，且，关于原点的对称点分别为，，若是一个与无关的常数，求此时的常数及四边形面积的最大值.【答案】(1)(2)28，【分析】（1）由椭圆的定义求出，再由焦点坐标求出，再由，即可得出答案；（2）联立直线与椭圆方程，消去y，由韦达定理表示出，因为是一个与无关的常数，所以，求出，再表示出四边形的面积，由二次函数的性质求解即可得出答案.【详解】（1）点到椭圆两焦点的距离和为，.又，故，故椭圆方程为.（2）依题意，可得四边形为平行四边形，故，设，，则，由，消掉可得，可得，，∴.若上式与无关，故，.故此时常数为28.此时，，，而原点到的距离，四边形的面积，此时，满足成立.

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.三、专项训练1．（2024上·天津河北·高二统考期末）已知椭圆的右焦点为，短轴长为2.过点且不平行于坐标轴的直线与椭圆交于两点，线段的中点为.(1)求椭圆的方程；(2)证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值；(3)延长线段与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率及四边形的面积.【答案】(1)(2)证明见解析(3)斜率为，【分析】（1）根据椭圆的焦点、短轴长求出即可得解；（2）设直线的方程为，联立椭圆方程，求出弦中点，得出斜率即可得证；（3）由题意为线段的中点，表示出点坐标，代入椭圆求解斜率，再由点到直线距离求出高可得三角形面积，即可得解.【详解】（1）由题意知，又，解得.椭圆的方程为.（2）由题意，设直线的方程为，由方程组消去得.显然，设，则.为线段的中点，，，故为定值.（3）如图，

若四边形为平行四边形，则为线段的中点，即点在椭圆上，，解得，即；结合（2）可得，，设点到直线的距离为，则，即2．（2024上·辽宁·高三校联考期末）已知椭圆（）的离心率为，左､右焦点分别为，.过的直线交椭圆于，两点，过的直线交椭圆于，两点，且，垂足为，.(1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形的面积的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由几何关系得，结合离心率得椭圆的方程；（2）按两条相互垂直的直线斜率是否存在分类讨论，当直线BD的斜率存在且不为零时，设直线BD的方程为，与椭圆方程联立，用弦长公式求，同理得，表示出四边形的面积并求最小值.【详解】（1）因为，垂足为，O为的中点，所以，即，又因为离心率，所以，，椭圆的方程为.（2）当直线BD的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD的面积为；当直线BD的斜率存在且不为零时，设直线BD的方程为，，，联立方程组，得，则，，，由，及椭圆的对称性，，四边形ABCD的面积，当且仅当，即时，等号成立，因为，所以四边形ABCD的面积最小值为.【点睛】关键点点睛：当直线BD的斜率存在且不为零时，由弦长公式得，求的长可根据直线AC过定点且与直线BD垂直，结合椭圆的对称性通过用代直接得到.3．（2024上·重庆九龙坡·高二统考期末）已知椭圆的离心率为，焦距为2．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与椭圆相交于两点，且．求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据椭圆焦距及离心率即可得；（2）联立椭圆方程后，利用韦达定理及可得的值，即可求出的面积.【详解】（1）∵椭圆：的离心率为，故，又焦距为2，故，即有，，则，∴椭圆的方程为；（2）联立，消去整理得，由，则，设，，则，，故，则，化简得，即，满足，故，又点到直线的距离，∴的面积，故的面积为.4．（2024上·河北沧州·高二泊头市第一中学校考阶段练习）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，点均在椭圆上．(1)求椭圆的离心率；(2)过原点且经过第一、三象限的直线与椭圆交于两点，点为椭圆右顶点，点为椭圆上顶点，求四边形面积的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用待定系数法，结合题目中的已知点，建立方程组，根据椭圆离心率的计算公式，可得答案；（2）设出函数解析式，联立方程，求得交点坐标，利用分割法，整理函数解析式，结合基本不等式，可得答案.【详解】（1）设椭圆的方程为，点均在椭圆上，，解得，椭圆的方程为，椭圆的离心率．（2）由题意，设直线的方程为，设，其中，联立，得，，由题设，，四边形的面积为：，当且仅当，即时，上式取等号．四边形面积的最大值为．5．（2024上·天津宁河·高二统考期末）已知椭圆的离心率为，右焦点为.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆交于A，B两点，求的面积.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由题设可得、，进而写出椭圆方程；（2）联立椭圆与直线，应用韦达定理、弦长公式及点线距离公式求，进而求面积.【详解】（1）由题设且，则，故，所以.（2）联立直线与椭圆，可得，显然，所以，，故，而到的距离，所以的面积为.6．（2024上·辽宁葫芦岛·高二统考期末）在以下三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并作答.条件①：直线的法向量为；条件②：与直线平行；条件③：与直线垂直.已知直线经过且___________.(1)求直线方程；(2)若点是直线上的动点，过点做的两条切线，切点分别为，两点，求四边形的面积的最小值.【答案】(1)所选条件见解析，；(2)5.【分析】（1）选择①，根据法向量得到直线的一个方向向量，即得斜率，点斜式写出直线方程；选择②③，由平行、垂直关系设所求直线方程，将已知点代入求参数，即得直线方程；（2）由圆切线性质，问题化为先求，再求四边形的面积的最小值.【详解】（1）若选择①：由法向量，可得直线的一个方向向量，可得，于是，代入并整理得，综上，直线方程为；若选择②：与直线平行，可设直线方程为，，将代入，则有，解得，整理得，综上，直线方程为；若选择③：与直线垂直，可设直线方程为，将代入，则有，解得，整理得综上，直线方程为.（2）由题意，圆的方程为，得圆心为，半径为，则到距离为，即直线与圆相离，而，，，当时，，此时面积的最小值为.7．（2024上·湖北武汉·高三统考期末）已知抛物线的焦点为F，M为抛物线上一点，且在第一象限内.过作抛物线的两条切线，，A，B是切点；射线交抛物线于.(1)求直线的方程（用M点横坐标表示）；(2)求四边形面积的最小值.【答案】(1)(2)16【分析】（1）利用导数求则切线和的方程，由点坐标同时满足和的方程，得直线的方程；（2）设直线的方程，表示出弦长，再求A、B