高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题0119题新结构定义题(集合部分)(典型题型归类训练)(学生版+解析)

专题0119题新结构定义题（集合部分）(典型题型归类训练)1．（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）若项数为的数列满足：，且存在，使得，则称数列具有性质P.(1)①若，写出所有具有性质P的数列；②若，写出一个具有性质P的数列；(2)若，数列具有性质P，求的最大项的最小值；(3)已知数列均具有性质P，且对任意，当时，都有．记集合，，求中元素个数的最小值.2．（2023·北京西城·北京师大附中校考模拟预测）已知为有限个实数构成的非空集合，设，，记集合和其元素个数分别为，.设.例如当时，，，，所以.(1)若，求的值；(2)设是由3个正实数组成的集合且，证明：为定值；(3)若是一个各项互不相同的无穷递增正整数数列，对任意，设，.已知，且对任意，求数列的通项公式.3．（2023·北京·101中学校考模拟预测）设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意，都有或，则称A为自邻集.记集合的所有子集中的自邻集的个数为.(1)直接写出的所有自邻集；(2)若为偶数且，求证：的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；(3)若，求证：.4．（2023·北京门头沟·统考一模）已知集合.若对于集合M的任意k元子集A，A中必有4个元素的和为，则称这样的正整数k为“好数”，所有“好数”的最小值记作.(1)当，即集合.（i）写出M的一个子集B，且B中存在4个元素的和为；（ii）写出M的一个5元子集C，使得C中任意4个元素的和大于；(2)证明：；(3)证明：.5．（2023·北京西城·统考一模）给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质．(1)判断集合是否具有性质？说明理由；(2)判断是否存在具有性质的集合，并加以证明；(3)若集合具有性质，证明：．6．（2022·北京海淀·首都师范大学附属中学校考三模）设且，集合，若对的任意元子集，都存在，满足：，且为偶数，则称为理想集，并将的最小值记为.(1)当时，是否存在理想集？并说明理由.(2)当时，是否存在理想集？若存在，求出；若不存在，请说明理由.(3)求.7．（2022·北京丰台·统考二模）设，，…，，，是个互不相同的闭区间，若存在实数使得，则称这个闭区间为聚合区间，为该聚合区间的聚合点．(1)已知，为聚合区间，求t的值；(2)已知，，…，，为聚合区间．（ⅰ）设，是该聚合区间的两个不同的聚合点．求证：存在k，，使得；（ⅱ）若对任意p，q（且p，），都有，互不包含．求证：存在不同的i，，使得．10．（2021·北京门头沟·统考一模）对于一个非空集合A，如果集合D满足如下四个条件：①；②，；③，若且，则；④，若且，则，则称集合D为A的一个偏序关系.（1）设，判断集合是不是集合A的偏序关系，请你写出一个含有4个元素且是集合A的偏序关系的集合D；（2）证明：是实数集R的一个偏序关系：（3）设E为集合A的一个偏序关系，.若存在，使得，，且，若，，一定有，则称c是a和b的交，记为.证明：对A中的两个给定元素a，b，若存在，则一定唯一.11．（2020·北京房山·统考二模）已知集合的元素个数为且元素均为正整数，若能够将集合分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合、、，即，，，，其中，，，且满足，，、、、，则称集合为“完美集合”.（1）若集合，，判断集合和集合是否为“完美集合”？并说明理由；（2）已知集合为“完美集合”的值；（3）设集合，证明：集合为“完美集合”的一个必要条件是或.12．（2021·北京门头沟·统考二模）已知定义在R上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且在任意区间上不是常值函数.设，其中分点将区间分成个小区间，记称为关于区间的n阶划分的“落差总和”.当取得最大值n，称存在“最佳划分”.（1）已知，求的最大值(不必论证)；（2）已知，求证：在区间上存在“最佳划分”的充要条件是在区间上单调递增.专题0119题新结构定义题（集合部分）(典型题型归类训练)1．（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）若项数为的数列满足：，且存在，使得，则称数列具有性质P.(1)①若，写出所有具有性质P的数列；②若，写出一个具有性质P的数列；(2)若，数列具有性质P，求的最大项的最小值；(3)已知数列均具有性质P，且对任意，当时，都有．记集合，，求中元素个数的最小值.【答案】(1)①：，2，1或1，3，1或1，3，2；②：1，2，4，3（或1，3，4，3或1，3，5，3）(2)1013(3)3【分析】（1）直接根据性质P的概念一一列举即可；（2）根据性质P及累加法得和，两式相加即可求解；（3）根据性质P及累加法得，，求出并集中元素个数的最大值，从而求出交集中的元素个数最小值.【详解】（1）①：，2，1或1，3，1或1，3，2；②：1，2，4，3（或1，3，4，3或1，3，5，3）（2）当时，．由，累加得；又由，累加得；相加得，又，所以.所以数列的最大项的最小值为1013，一个满足条件的数列为；（3）由，累加得．又，所以，同理，，所以，因为，所以，所以中元素个数的最小值为3，一组满足条件的数列为此时.【点睛】思路点睛：此题考查数列与集合结合的新定义问题，属于难题，关于新定义题的思路有：(1)找出新定义有几个要素,找出要素分别代表什么意思；(2)由已知条件,看所求的是什么问题,进行分析,转换成数学语言；(3)将已知条件代入新定义的要素中；(4)结合数学知识进行解答.2．（2023·北京西城·北京师大附中校考模拟预测）已知为有限个实数构成的非空集合，设，，记集合和其元素个数分别为，.设.例如当时，，，，所以.(1)若，求的值；(2)设是由3个正实数组成的集合且，证明：为定值；(3)若是一个各项互不相同的无穷递增正整数数列，对任意，设，.已知，且对任意，求数列的通项公式.【答案】(1)(2)证明见解析.(3)【分析】（1）根据题中的定义，列举出，即可.（2）先列举，，，中可能元素，根据集合的互异性判断元素个数差即可.（3）类比（1）（2）当数列由到，为保证成立，则必有其成等差数列，故猜想，可用数学归纳法给予证明.【详解】（1）当时，，，，所以，（2）法1：设，其中，则，因，，因，所以，，，，又，，，所以，因，，，，因，，，，所以，，，，，，，所以所以为定值.法2：．

设，由于，所以对任意，不存在，使得，于是，，

由于，所以对任意，不存在，使得，于是，从而，于是为定值．（3）法1：，若，则，,故，，此时，不符合题意，故，猜想，下面给予证明，当时，显然成立，假设当，时，都有成立，即，此时，，故，，，符合题意，，则，，若，的元素个数小于的元素个数则有，不符合题意，故，综上，对于任意的，都有故数列的通项公式.法2：假设存在n，使得，设．根据条件，，且，，，根据假设，.

（i）如果，那么属于但不属于的元素组成的集合是，从而．属于，但不属于的元素组成的集合是，从而,于是．矛盾！（ii）如果，那么对任意，从而，同样对任意且两两不同，从而,于是，矛盾！【点睛】关键点点睛：本题的核心是利用集合的新定义，列举集合中元素，注意集合的互异性，进而得到集合的元素个数.3．（2023·北京·101中学校考模拟预测）设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意，都有或，则称A为自邻集.记集合的所有子集中的自邻集的个数为.(1)直接写出的所有自邻集；(2)若为偶数且，求证：的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；(3)若，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据自邻集的定义及子集的概念一一写出结果即可；（2）取的一个含5个元素的自邻集，判定集合，再证明C也是自邻集且，从而得出结论；（3）记自邻集中最大元素为的自邻集的个数为，，则当时有，再分类讨论证明即可.【详解】（1）由题意可得，的所有自邻集有：；（2）对于的含5个元素的自邻集，不妨设.因为对于，都有或，，2，3，4，5，所以，，或.对于集合，，，，，因为，所以，，2，3，4，5，，所以.因为，，或.所以，，或，所以对于任意或，，2，3，4，5，所以集合也是自邻集.因为当为偶数时，，所以.所以对于集合的含5个元素的自邻集，在上述对应方法下会存在一个不同的含有5个元素的自邻集与其对应.所以，的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数.（3）记自邻集中最大元素为的自邻集的个数为，，当时，，，显然.下面证明：.①自邻集含有，，这三个元素，记去掉这个自邻集中的元素后的集合为因为，，所以仍是自邻集，且集合中的最大元素是，所以含有，，这三个元素的自邻集的个数为.②自邻集含有，这两个元素，不含，且不只有，这两个元素，记自邻集除，之外最大元素为，则，每个自邻集去掉，这两个元素后，仍为自邻集.此时的自邻集的最大元素为，可将此时的自邻集分为个；其中含有最大数为2的集合个数为，含有最大数为3的集合个数为，，含有最大数为的集合个数为.则这样的集合共有个.③自邻集只含有，这两个元素，这样的自邻集只有1个.综上可得，所以，故时，得证.【点睛】思路点睛：第二问取自邻集，和集合，，，，，先由定义判定，且集合也是自邻集，.即可证明结论；第三问记自邻集中最大元素为的自邻集的个数为，有，再分三类①自邻集含有，，这三个元素的自邻集的个数为，②自邻集含有，这两个元素的集合共有个，③自邻集只含有，这两个元素，这样的自邻集只有1个来证明：即可.4．（2023·北京门头沟·统考一模）已知集合.若对于集合M的任意k元子集A，A中必有4个元素的和为，则称这样的正整数k为“好数”，所有“好数”的最小值记作.(1)当，即集合.（i）写出M的一个子集B，且B中存在4个元素的和为；（ii）写出M的一个5元子集C，使得C中任意4个元素的和大于；(2)证明：；(3)证明：.【答案】(1)（i）；（ii）(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）取，验证得到答案.（2）若，，，从大到小取个元素，得到中任意4个元素之和，得到证明.（3）集合的元素按和为分组，和把集合的元素按和为分组，确定中必有一个与没有公共元素，设，的4个元素满足条件，得到时成立，得到证明.【详解】（1）取，则，满足条件；取，则；；；；；满足条件.（2）若，，，从大到小取个元素，，，或，，则中任意4个元素之和，不成立，故.（3）当时，把集合的元素按和为分组，得：，易得，中至少有2个二元子集满足．若把集合的元素按和为分组，得：．易得，中至少有3个二元子集满足．而集合两两互不相交，与中每一个至多有一个公共元素，所以，中必有一个与没有公共元素，不妨设，则的4个元素就是的4个互异元素，而这4个元素的和为．又，所以．【点睛】关键点睛：本题考查了集合的新定义问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，将集合按照和为与和为分组，再根据抽屉原理得到新集合，是解题的关键.5．（2023·北京西城·统考一模）给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质．(1)判断集合是否具有性质？说明理由；(2)判断是否存在具有性质的集合，并加以证明；(3)若集合具有性质，证明：．【答案】(1)具有，理由见解析(2)不存在，证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据集合具有性质的特征，即可根据集合中的元素进行检验求解，（2）假设集合具有性质，分别考虑时，集合中的元素，即可根据的定义求解.（3）根据假设存在使得，考虑当时以及时，分量为1的个数即可讨论求解.【详解】（1）因为，同理．又，同理．所以集合具有性质．（2）当时，集合中的元素个数为．由题设．

假设集合具有性质，则①当时，，矛盾．②当时，，不具有性质，矛盾．③当时，．因为和至多一个在中；和至多一个在中；和至多一个在中，故集合中的元素个数小于，矛盾．④当时，，不具有性质，矛盾．⑤当时，，矛盾．综上，不存在具有性质的集合．（3）记，则．若，则，矛盾．若，则，矛盾．故．假设存在使得，不妨设，即．当时，有或成立．所以中分量为的个数至多有．当时，不妨设．因为，所以的各分量有个，不妨设．由时，可知，，中至多有个，即的前个分量中，至多含有个．又，则的前个分量中，含有个，矛盾．

所以．

因为，所以．所以．【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.6．（2022·北京海淀·首都师范大学附属中学校考三模）设且，集合，若对的任意元子集，都存在，满足：，且为偶数，则称为理想集，并将的最小值记为.(1)当时，是否存在理想集？并说明理由.(2)当时，是否存在理想集？若存在，求出；若不存在，请说明理由.(3)求.【答案】(1)不存在，理由见解析；(2)存在，；(3)【分析】（1）根据理想集的定义，分3元子集、4元子集分别说明判断作答.（2）根据理想集的定义，结合（1）中信息，说明判断5元子集，6元子集作答.（3）根据理想集的定义，结合（1）（2）中信息，判断的所有6元子集都符合理想集的定义作答.【详解】（1）解：依题意，要为理想集，，当时，，显然，有，而不是偶数，即存在3元子集不符合理想集定义，而，在中任取3个数，有4种结果，；；；，它们都不符合理想集定义，所以当时，不存在理想集.（2）解：当时，，由（1）知，存在3元子集、4元子集均不符合理想集定义，5元子集，在此集合中任取3个数，满足较小的两数和大于另一个数的只有与两种，但这3数和不为偶数，即存在5元子集不符合理想集定义，而的6元子集是，是偶数，是偶数，即的6元子集符合理想集定义，是理想集，所以当时，存在理想子集，满足条件的可分别为或，即.（3）解：当时，，由（1），（2）知，存在的3元子集、4元子集、5元子集不满足理想集定义，要为理想集，，显然符合理想集的定义，满足条件的分别为或，的6元子集中含有的共有个，这10个集合都符合理想集的定义，的6元子集中含有不含6的有5个，其中含有4的有4个，这4个集合都符合理想集的定义，不含4的为，显然有为偶数，即的6元子集中含有不含6的5个都符合理想集的定义，的6元子集中含有不含5的有5个，它们是，，它们对应的可依次为：；；；；，即的6元子集中含有不含5的5个都符合理想集的定义，的6元子集中含有不含3的有5个，它们是，，它们对应的可依次为：；；；；，即的6元子集中含有不含3的5个都符合理想集的定义，的6元子集中含有之一的有3个，它们是，对应的可依次为：；；，即的6元子集中含有之一的3个都符合理想集的定义，因此，的所有个6元子集都符合理想集的定义，是理想集，的7元子集有个，其中含有的有5个，这5个集合都符合理想集的定义，不全含的有3个，它们是，对应的可依次为：；；，即的所有8个7元子集都符合理想集的定义，是理想集，的8元子集是，对应的可以为：，因此，是理想集，因此，的6元子集，7元子集，8元子集都是理想集，所以，【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决.7．（2022·北京丰台·统考二模）设，，…，，，是个互不相同的闭区间，若存在实数使得，则称这个闭区间为聚合区间，为该聚合区间的聚合点．(1)已知，为聚合区间，求t的值；(2)已知，，…，，为聚合区间．（ⅰ）设，是该聚合区间的两个不同的聚合点．求证：存在k，，使得；（ⅱ）若对任意p，q（且p，），都有，互不包含．求证：存在不同的i，，使得．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据题意可得当且仅当时成立即可得；（2）（ⅰ）设，根据区间端点的大小关系证明所有区间都包含即可；（ⅱ）先分析可得个互不相同的集合的区间端点的大小关系，再设，再根据区间端点的最小距离为，累加即可证明【详解】（1）由可得，又，为聚合区间，由定义可得，故当且仅当时成立，故（2）（ⅰ）由，是该聚合区间的两个不同的聚合点，不妨设，因为，故，又，故，不妨设中的最大值为，中最小值为，则，即，故存在区间（ⅱ）若存在则或，与已知条件矛盾不妨设，则否则，若，则，与已知条件矛盾取，设当时，，又，所以，所以，即，所以，此时取，则，当时，同理可取，使得，综上，存在不同的i，，使得【点睛】本题主要考查了新定义的集合类证明，可根据题意先画数轴分析题目中区间的关系，再凑出所需证明的不等式即可,属于难题8．（2022·北京丰台·统考一模）已知集合(且），，且．若对任意（），当时，存在()，使得，则称是的元完美子集．(1)判断下列集合是否是的3元完美子集，并说明理由；①；

②．(2)若是的3元完美子集，求的最小值；(3)若是（且）的元完美子集，求证：，并指出等号成立的条件．【答案】(1)不是的3元完美子集；是的3元完美子集；理由见解析(2)12(3)证明见解析；等号成立的条件是且【分析】（1）根据元完美子集的定义判断可得结论；（2）不妨设．由，，分别由定义可求得的最小值；（3）不妨设，有．是中个不同的元素，且均属于集合，此时该集合恰有个不同的元素，显然矛盾．因此对任意，都有，由此可得证.【详解】（1）解：（1）①因为，又，所以不是的3元完美子集．②因为，且，而，所以是的3元完美子集．（2）解：不妨设．若，则，，，与3元完美子集矛盾；若，则，，而，符合题意，此时．若，则，于是，，所以．综上，的最小值是12．（3）证明：不妨设．对任意，都有，否则，存在某个，使得．由，得．所以是中个不同的元素，且均属于集合，该集合恰有个不同的元素，显然矛盾．所以对任意，都有．于是．即．等号成立的条件是且．9．（2023·北京海淀·101中学校考模拟预测）在）个实数组成的n行n列的数表中，表示第i行第j列的数，记，若∈，且两两不等，则称此表为“n阶H表”，记(1)请写出一个“2阶H表”；(2)对任意一个“n阶H表”，若整数且，求证：为偶数；(3)求证：不存在“5阶H表”.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)根据定义列出2阶H表即可;(2)对“n阶H表”，整数应用结论得证;(3)应用反证法结合定义可证.【详解】（1）11-10（2）对任意一个“n阶H表”，表示第i行所有数的和，表示第j列所有数的和，均表示数表中所有数的和，所以因为，所以，，……，，，，……，只能取[-n，n]内的整数.又因为，，……，，，，……，互不相等，所以{，，，……，，，，……，，……，-1，0，1，……，，所以所以偶数.（3）假设存在一个“5阶H表”，则由（2）知5，-5，3，，且和至少有一个成立，不妨设设，则，于是，因而可设①若3是某列的和，由于，故只能是前四列某列的和，不妨设是第一列，即.现考虑-3，只能是或，不妨设，即，由，，两两不等知，，两两不等，不妨设，若则；若，则；若，则，均与已知矛盾.②若3是某行的和，不妨设，则第4行至少有3个1，若这3个1是前四个中某三个数，不妨设，则第五行前三个数只能是3个不同的数，不妨设，，则，矛盾，故第四行只能前四个数有2个1，第五个数为1，不妨设1，所以，第五行只能是2个，3个-1或1个1，4个-1，则，，至少有两个数相同，不妨设，则，与已知矛盾.综上，不存在“5阶H表”.10．（2021·北京门头沟·统考一模）对于一个非空集合A，如果集合D满足如下四个条件：①；②，；③，若且，则；④，若且，则，则称集合D为A的一个偏序关系.（1）设，判断集合是不是集合A的偏序关系，请你写出一个含有4个元素且是集合A的偏序关系的集合D；（2）证明：是实数集R的一个偏序关系：（3）设E为集合A的一个偏序关系，.若存在，使得，，且，若，，一定有，则称c是a和b的交，记为.证明：对A中的两个给定元素a，b，若存在，则一定唯一.【答案】（1）集合不是集合A的偏序关系，，（2）证明见解析；

（3）证明见解析.【分析】（1）根据条件显然，，但所以不满足条件④由此可判断，写出一个满足这四个条件的集合即可.（2）依次证明集合满足题目中的四个条件即可.（3）设为,则，则，，假设还存在一个，使得，则可以得到，，由条件③可得从而得证.【详解】（1）由显然，，但