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文档简介
2024届山西省长治市高三下学期周练试卷(一)数学试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析,随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩,并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图,如图所示,则成绩在,内的学生人数为()A.800 B.1000 C.1200 D.16002.在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲:我的成绩比乙高.乙:丙的成绩比我和甲的都高.丙:我的成绩比乙高.成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙3.双曲线的右焦点为,过点且与轴垂直的直线交两渐近线于两点,与双曲线的其中一个交点为,若,且,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.4.的展开式中有理项有()A.项 B.项 C.项 D.项5.若x,y满足约束条件的取值范围是A.[0,6] B.[0,4] C.[6, D.[4,6.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝,“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积,作一个边长为3的正方形将其包含在内,并向该正方形内随机投掷200个点,己知恰有80个点落在阴影部分据此可估计阴影部分的面积是()A. B. C.10 D.7.已知为抛物线的准线,抛物线上的点到的距离为,点的坐标为,则的最小值是()A. B.4 C.2 D.8.已知三点A(1,0),B(0,),C(2,),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A. B.C. D.9.函数(),当时,的值域为,则的范围为()A. B. C. D.10.已知数列{an}满足a1=3,且aA.22n-1+1 B.22n-1-111.在中,角的对边分别为,若.则角的大小为()A. B. C. D.12.已知双曲线C:1(a>0,b>0)的焦距为8,一条渐近线方程为,则C为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在直角坐标系中,已知点和点,若点在的平分线上,且,则向量的坐标为___________.14.已知复数,其中为虚数单位,则的模为_______________.15.在长方体中,,,,为的中点,则点到平面的距离是______.16.已知双曲线的两条渐近线方程为,若顶点到渐近线的距离为1,则双曲线方程为.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在中,角的对边分别为,且.(1)求角的大小;(2)已知外接圆半径,求的周长.18.(12分)已知函数.(1)讨论函数f(x)的极值点的个数;(2)若f(x)有两个极值点证明.19.(12分)如图,在平行四边形中,,,现沿对角线将折起,使点A到达点P,点M,N分别在直线,上,且A,B,M,N四点共面.(1)求证:;(2)若平面平面,二面角平面角大小为,求直线与平面所成角的正弦值.20.(12分)如图所示,四棱锥P﹣ABCD中,PC⊥底面ABCD,PC=CD=2,E为AB的中点,底面四边形ABCD满足∠ADC=∠DCB=90°,AD=1,BC=1.(Ⅰ)求证:平面PDE⊥平面PAC;(Ⅱ)求直线PC与平面PDE所成角的正弦值;(Ⅲ)求二面角D﹣PE﹣B的余弦值.21.(12分)设数列,的各项都是正数,为数列的前n项和,且对任意,都有,,,(e是自然对数的底数).(1)求数列,的通项公式;(2)求数列的前n项和.22.(10分)已知椭圆的离心率为,点在椭圆上.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)设直线交椭圆于两点,线段的中点在直线上,求证:线段的中垂线恒过定点.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
由图可列方程算得a,然后求出成绩在内的频率,最后根据频数=总数×频率可以求得成绩在内的学生人数.【详解】由频率和为1,得,解得,所以成绩在内的频率,所以成绩在内的学生人数.故选:B【点睛】本题主要考查频率直方图的应用,属基础题.2、A【解析】
利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确,则乙、丙预测错误,则甲比乙成绩高,丙比乙成绩低,故3人成绩由高到低依次为甲,乙,丙;若乙预测正确,则丙预测也正确,不符合题意;若丙预测正确,则甲必预测错误,丙比乙的成绩高,乙比甲成绩高,即丙比甲,乙成绩都高,即乙预测正确,不符合题意,故选A.【点睛】本题将数学知识与时政结合,主要考查推理判断能力.题目有一定难度,注重了基础知识、逻辑推理能力的考查.3、D【解析】
根据已知得本题首先求出直线与双曲线渐近线的交点,再利用,求出点,因为点在双曲线上,及,代入整理及得,又已知,即可求出离心率.【详解】由题意可知,代入得:,代入双曲线方程整理得:,又因为,即可得到,故选:D.【点睛】本题主要考查的是双曲线的简单几何性质和向量的坐标运算,离心率问题关键寻求关于,,的方程或不等式,由此计算双曲线的离心率或范围,属于中档题.4、B【解析】
由二项展开式定理求出通项,求出的指数为整数时的个数,即可求解.【详解】,,当,,,时,为有理项,共项.故选:B.【点睛】本题考查二项展开式项的特征,熟练掌握二项展开式的通项公式是解题的关键,属于基础题.5、D【解析】解:x、y满足约束条件,表示的可行域如图:目标函数z=x+2y经过C点时,函数取得最小值,由解得C(2,1),目标函数的最小值为:4目标函数的范围是[4,+∞).故选D.6、D【解析】
直接根据几何概型公式计算得到答案.【详解】根据几何概型:,故.故选:.【点睛】本题考查了根据几何概型求面积,意在考查学生的计算能力和应用能力.7、B【解析】
设抛物线焦点为,由题意利用抛物线的定义可得,当共线时,取得最小值,由此求得答案.【详解】解:抛物线焦点,准线,过作交于点,连接由抛物线定义,
,
当且仅当三点共线时,取“=”号,∴的最小值为.
故选:B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,体现了数形结合的数学思想,属于中档题.8、B【解析】
选B.考点:圆心坐标9、B【解析】
首先由,可得的范围,结合函数的值域和正弦函数的图像,可求的关于实数的不等式,解不等式即可求得范围.【详解】因为,所以,若值域为,所以只需,∴.故选:B【点睛】本题主要考查三角函数的值域,熟悉正弦函数的单调性和特殊角的三角函数值是解题的关键,侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.10、D【解析】试题分析:因为an+1=4an+3,所以an+1+1=4(an+1),即an+1+1an+1考点:数列的通项公式.11、A【解析】
由正弦定理化简已知等式可得,结合,可得,结合范围,可得,可得,即可得解的值.【详解】解:∵,∴由正弦定理可得:,∵,∴,∵,,∴,∴.故选A.【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.12、A【解析】
由题意求得c与的值,结合隐含条件列式求得a2,b2,则答案可求.【详解】由题意,2c=8,则c=4,又,且a2+b2=c2,解得a2=4,b2=12.∴双曲线C的方程为.故选:A.【点睛】本题考查双曲线的简单性质,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
点在的平分线可知与向量共线,利用线性运算求解即可.【详解】因为点在的平线上,所以存在使,而,可解得,所以,故答案为:【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,利用向量的坐标求向量的模,属于中档题.14、【解析】
利用复数模的计算公式求解即可.【详解】解:由,得,所以.故答案为:.【点睛】本题考查复数模的求法,属于基础题.15、【解析】
利用等体积法求解点到平面的距离【详解】由题在长方体中,,,所以,所以,设点到平面的距离为,解得故答案为:【点睛】此题考查求点到平面的距离,通过在三棱锥中利用等体积法求解,关键在于合理变换三棱锥的顶点.16、【解析】由已知,即,取双曲线顶点及渐近线,则顶点到该渐近线的距离为,由题可知,所以,则所求双曲线方程为.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)3+3【解析】
(1)利用余弦的二倍角公式和同角三角函数关系式化简整理并结合范围0<A<π,可求A的值.(2)由正弦定理可求a,利用余弦定理可得c值,即可求周长.【详解】(1),即又(2),∵,∴由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA,∴,∵c>0,所以得c=2,∴周长a+b+c=3+3.【点睛】本题考查三角函数恒等变换的应用,正弦定理,余弦定理在解三角形中的应用,考查了转化思想,属于中档题.18、(1)见解析(2)见解析【解析】
(1)求得函数的定义域和导函数,对分成三种情况进行分类讨论,判断出的极值点个数.(2)由(1)知,结合韦达定理求得的关系式,由此化简的表达式为,通过构造函数法,结合导数证得,由此证得成立.【详解】(1)函数的定义域为得,(i)当时;,因为时,时,,所以是函数的一个极小值点;(ii)若时,若,即时,,在是减函数,无极值点.若,即时,有两根,不妨设当和时,,当时,,是函数的两个极值点,综上所述时,仅有一个极值点;时,无极值点;时,有两个极值点.(2)由(1)知,当且仅当时,有极小值点和极大值点,且是方程的两根,,则所以设,则,又,即,所以所以是上的单调减函数,有两个极值点,则【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值点,考查利用导数证明不等式,考查分类讨论的数学思想方法,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.19、(1)证明见解析;(2)【解析】
(1)根据余弦定理,可得,利用//,可得//平面,然后利用线面平行的性质定理,//,最后可得结果.(2)根据二面角平面角大小为,可知N为的中点,然后利用建系,计算以及平面的一个法向量,利用向量的夹角公式,可得结果.【详解】(1)不妨设,则,在中,,则,因为,所以,因为//,且A、B、M、N四点共面,所以//平面.又平面平面,所以//.而,.(2)因为平面平面,且,所以平面,,因为,所以平面,,因为,平面与平面夹角为,所以,在中,易知N为的中点,如图,建立空间直角坐标系,则,,,,,,,,设平面的一个法向量为,则由,令,得.设与平面所成角为,则.【点睛】本题考查线面平行的性质定理以及线面角,熟练掌握利用建系的方法解决几何问题,将几何问题代数化,化繁为简,属中档题.20、(Ⅰ)证明见解析(Ⅱ).(Ⅲ)﹣.【解析】
(Ⅰ)由题知,如图以点为原点,直线分别为轴,建立空间直角坐标系,计算,证明,从而平面PAC,即可得证;(Ⅱ)求解平面PDE的一个法向量,计算,即可得直线PC与平面PDE所成角的正弦值;(Ⅲ)求解平面PBE的一个法向量,计算,即可得二面角D﹣PE﹣B的余弦值.【详解】(Ⅰ)PC⊥底面ABCD,,如图以点为原点,直线分别为轴,建立空间直角坐标系,则,,,,又,平面PAC,平面PDE,平面PDE⊥平面PAC;(Ⅱ)设为平面PDE的一个法向量,又,则,取,得,直线PC与平面PDE所成角的正弦值;(Ⅲ)设为平面PBE的一个法向量,又则,取,得,,二面角D﹣PE﹣B的余弦值﹣.【点睛】本题主要考查了平面与平面的垂直,直线与平面所成角的计算,二面角大小的求解,考查了空间向量在立体几何中的应用,考查了学生的空间想象能力与运算求解能力.21、(1),(2)【解析】
(1)当时,,与作差可得,即可得到数列是首项为1,公差为1的等差数列,即可求解;对取自然对数,则,即是以1为首项,以2为公比的等比数列,即可求解;(2)由(1)可得,再利用错位相减法求解即可.【详解】解:(1)因为,,①当时,,解得;当时,有,②由①②得,,又,所以,即数列是首项为1,公差为1的等差数列,故,又因为,且,取自然对数得,所以,又因为,所以是以1为首项,以2为公比的等比数列,所以,即(2)由(1)知,,所以,③,④③减去④得:,所以【点睛】本题考查由与的关系求通项公式,考查错位相减法求数列的和.22、(Ⅰ);(Ⅱ)详见解
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