高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题10数列求和(插入新数列混合求和)(典型题型归类训练)(学生版+解析)

专题10数列求和（插入新数列混合求和）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、典型题型 1题型一：插入新数列构成等差 1题型二：插入新数列构成等比 3题型三：插入新数混合 4二、专题10数列求和（插入新数列混合求和）专项训练 5一、典型题型题型一：插入新数列构成等差例题1．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，且满足：(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在三项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.例题2．（2023·全国·高二课堂例题）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列．(1)求数列的通项公式．(2)是不是数列的项？若是，它是的第几项？若不是，说明理由．例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知正项等比数列和其前n项和满足.(1)求的通项公式；(2)在和之间插入m个数，使得这个数依次构成一个等差数列，设此等差数列的公差为，求满足的正整数m的最小值.例题4．（2023春·吉林长春·高二长春十一高校考期末）已知等比数列的前n项和为，．(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这n个数之和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；例题5．（2023春·广东佛山·高二南海中学校考期中）已知数列的前项和为，且.(1)求及数列的通项公式；(2)在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求数列的前项和.题型二：插入新数列构成等比例题1．（2023·全国·高二专题练习）在数列中抽取部分项（按原来的顺序）构成一个新数列，记为，再在数列插入适当的项，使它们一起能构成一个首项为1，公比为3的等比数列.若，则数列中第项前（不含）插入的项的和最小为（

）A．30 B．91 C．273 D．820例题2．（2023·全国·高三专题练习）在和之间插入三个数，使这五个数组成正项等比数列，则中间三个数的积等于.例题3．（2023·高二课时练习）设，在a，b之间插入个实数，，…，，使得这个数成等差数列，则有结论成立．若，在a，b之间插入个正数，，…，，使得这个数成等比数列，则有相应的结论成立．例题4．（2023·全国·高二专题练习）回答下面两个问题(1)在等差数列中，已知，，求a1与Sn．(2)在2与64中间插入4个数使它们成等比数列，求该数列的通项公式．例题5．（2023春·福建·高二校联考阶段练习）数列的前项和为且当时，成等差数列.(1)计算，猜想数列的通项公式并加以证明；(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.题型三：插入新数混合例题1．（2023春·湖北荆门·高二统考期末）已知各项均为正数的数列满足，．其中是数列的前项和．(1)求数列的通项公式；(2)在和中插入个相同的数，构成一个新数列，求的前100项和．例题2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）为数列的前项和，已知，且.(1)求数列的通项公式；(2)数列依次为：，规律是在和中间插入项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列的前100项的和.例题3．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足（，）.(1)求数列的通项公式；(2)试确定的值，使得数列为等差数列；(3)当为等差数列时，对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列.设是数列的前项和，试求.例题4．（2023·全国·学军中学校联考二模）设数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)在数列的任意与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求的值.例题5．（2023·全国·高三专题练习）记数列的前项和为，对任意正整数，有，且.(1)求数列的通项公式；(2)对所有正整数，若，则在和两项中插入，由此得到一个新数列，求的前40项和.二、专题10数列求和（插入新数列混合求和）专项训练一、单选题1．（2023春·江苏南通·高二期末）已知数列满足，在和之间插入n个1，构成数列：，则数列的前18项的和为（

）A．43 B．44 C．75 D．762．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知数列的通项公式为，保持数列中各项顺序不变，对任意的，在数列的与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前n项的和为，则（

）A．4056 B．4096 C．8152 D．81923．（2023·全国·高三专题练习）习近平总书记在党的二十大报告中提出：坚持以人民为中心发展教育，加快建设高质量教育体系，发展素质教育，促进教育公平，加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化．某师范大学学生会为贯彻党的二十大精神，成立“送教下乡志愿者服务社”，分期分批派遣大四学生赴乡村支教．原计划第一批派遣20名学生，以后每批都比上一批增加5人．由于志愿者人数暴涨，服务社临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为，在数列的任意相邻两项与（，2，）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列．按新数列的各项依次派遣支教学生．记为派遣了70批学生后支教学生的总数，则的值为（

）A．387 B．388 C．389 D．3904．（2023·全国·高三专题练习）通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2，3之间插入2与3的积6，得到数列2，6，3；第2次，在2，6，3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2，12，6，18，3；类似地，第3次操作后，得到数列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述这样操作11次后，得到的数列记为，则的值是（

）A．6 B．12 C．18 D．108二、多选题5．（2023·全国·高三专题练习）十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年（公元1584年）．他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为，插入11个数后这13个数之和为，则依此规则，下列说法正确的是（

）．A．插入的第8个数为B．插入的第5个数是插入的第1个数的倍C．D．三、填空题6．（2023春·高二校考课时练习）在1和17之间插入n个数，使这个数成等差数列，若这n个数中第一个为a，第n个为b，当取最小值时，.7．（2023秋·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期末）已知数列的通项公式，在数列的任意相邻两项与之间插入个4，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记新数列的前n项和为，则的值为．四、解答题8．（2023春·安徽芜湖·高二统考期末）已知等比数列的前项和为，且满足.(1)求数列的通项；11．（2023春·江苏扬州·高二扬州中学校考期中）已知数列是等差数列，其前和为，，数列满足(1)求数列，的通项公式;(2)若对数列，，在与之间插入个2（），组成一个新数列，求数列的前2023项的和.12．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知公差大于0的等差数列满足，.(1)求的通项公式；(2)在与之间插入个2，构成新数列，求数列的前110项的和.

专题10数列求和（插入新数列混合求和）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、典型题型 1题型一：插入新数列构成等差 1题型二：插入新数列构成等比 5题型三：插入新数混合 7二、专题10数列求和（插入新数列混合求和）专项训练 11一、典型题型题型一：插入新数列构成等差例题1．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，且满足：(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在三项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由见解析【详解】（1）由①得时②①-②得，①中令得，是以为首项，为公比的等比数列，，（2）假设存在这样的三项成等比数列，为递增数列，不妨设，则则，成等差数列，，，由，得，所以，与题设矛盾不存在这样的三项（其中成等差数列）成等比数列.例题2．（2023·全国·高二课堂例题）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列．(1)求数列的通项公式．(2)是不是数列的项？若是，它是的第几项？若不是，说明理由．【答案】(1)(2)是数列的第8项．【详解】（1）设数列的公差为．由题意可知，，，于是．因为，所以，所以．所以．所以数列的通项公式是．（2）数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则．令，解得．所以是数列的第8项．例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知正项等比数列和其前n项和满足.(1)求的通项公式；(2)在和之间插入m个数，使得这个数依次构成一个等差数列，设此等差数列的公差为，求满足的正整数m的最小值.【答案】(1)(2)6【详解】（1）依题意，设等比数列的公比为，则，，因为，所以，解得或（舍去），因为，所以，即，解得或（舍去），所以；（2）由题意可得，，则，故数列单调递增，不难发现，故满足题意的m的最小值为6.例题4．（2023春·吉林长春·高二长春十一高校考期末）已知等比数列的前n项和为，．(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这n个数之和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；【答案】(1)(2)【详解】（1）设等比数列的公比为q，当时，有，则①，当时，，两式相减可得：，整理得，可知，代入①可得，所以等比数列的通项公式为；（2）由已知在与之间插入n个数，组成以为首项的等差数列，设公差为，所以则，设，则是递增数列，当n为偶数时，恒成立，即，所以；当n为奇函数时，恒成立，即，所以；综上所述，的取值范围是．例题5．（2023春·广东佛山·高二南海中学校考期中）已知数列的前项和为，且.(1)求及数列的通项公式；(2)在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求数列的前项和.【答案】(1)，，(2)【详解】（1）由题意，当时，，解得，当时，，即，解得，当时，由，可得，两式相减，可得，整理，得，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，.（2）由（1）可得，，，在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，则有，∴，∴，∴，，两式相减得，∴.题型二：插入新数列构成等比例题1．（2023·全国·高二专题练习）在数列中抽取部分项（按原来的顺序）构成一个新数列，记为，再在数列插入适当的项，使它们一起能构成一个首项为1，公比为3的等比数列.若，则数列中第项前（不含）插入的项的和最小为（

）A．30 B．91 C．273 D．820【答案】C【详解】因为是以1为首项、3为公比的等比数列，所以，则由，得，即数列中前6项分别为：1、3、9、27、81、243，其中1、9、81是数列的项，3、27、243不是数列的项，且，所以数列中第7项前（不含）插入的项的和最小为.故选：D.例题2．（2023·全国·高三专题练习）在和之间插入三个数，使这五个数组成正项等比数列，则中间三个数的积等于.【答案】27【详解】依题意，，所以，所以或（舍去），所以.故答案为：例题3．（2023·高二课时练习）设，在a，b之间插入个实数，，…，，使得这个数成等差数列，则有结论成立．若，在a，b之间插入个正数，，…，，使得这个数成等比数列，则有相应的结论成立．【答案】【详解】因为，，，…，，成等比数列，则，则则，即.故答案为：.例题4．（2023·全国·高二专题练习）回答下面两个问题(1)在等差数列中，已知，，求a1与Sn．(2)在2与64中间插入4个数使它们成等比数列，求该数列的通项公式．【答案】(1)，(2)【详解】（1），，，解得．；（2）设此等比数列的公比为q，∴，解得：．例题5．（2023春·福建·高二校联考阶段练习）数列的前项和为且当时，成等差数列.(1)计算，猜想数列的通项公式并加以证明；(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.【答案】(1)，，证明见解析(2)不存在，理由见解析【详解】（1）由题意，，在数列中，当时，成等差数列，∴，即，即，即.∴，猜想.下面我们证明.∵，∴，∵当时，，∴对任意正整数，均有，∴，∴，∴，即数列的通项公式为：.（2）由题意及（1）得，在数列中，，∴.假设数列中存在3项（其中成等差数列）成等比数列，则，即，化简得，∵成等差数列，∴，∴，化简得，又，∴，即，∴，∴，这与题设矛盾，所以假设不成立，∴在数列中不存在3项（其中成等差数列）成等比数列.题型三：插入新数混合例题1．（2023春·湖北荆门·高二统考期末）已知各项均为正数的数列满足，．其中是数列的前项和．(1)求数列的通项公式；(2)在和中插入个相同的数，构成一个新数列，求的前100项和．【答案】(1)；(2).【详解】（1）当时，，当时，递推得，∴，，因为数列各项均为正数，所以，又∵，∴数列为等差数列，故．（2）设和插入的个数构成一组数，则前组共有个数，令，又，解得：；当时，，∴的前100项中包含前12组数和第13组数的前10个，∴．例题2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）为数列的前项和，已知，且.(1)求数列的通项公式；(2)数列依次为：，规律是在和中间插入项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列的前100项的和.【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，，解得（舍去），由得时，，两式相减得，因为，所以，所以是等差数列，首项为4，公差为3，所以；（2）由于，因此数列的前100项中含有的前13项，含有中的前87项，所求和为.例题3．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足（，）.(1)求数列的通项公式；(2)试确定的值，使得数列为等差数列；(3)当为等差数列时，对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列.设是数列的前项和，试求.【答案】(1)(2)(3)2226【详解】（1）由题意，可得，所以，解得或（舍），则，又，所以.（2）由，得，所以，，，因为数列为等差数列，所以，解得，所以当时，，由（常数）知此时数列为等差数列.（3）因为，所以与之间插入个2，，所以与之间插入个2，，所以与之间插入个2，……则的前项，由个，构成，所以.例题4．（2023·全国·学军中学校联考二模）设数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)在数列的任意与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求的值.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，又，所以数列为首项为1，公比为的等比数列，所以，所以当时，，所以，所以当时，，又也满足该关系，所以数列的通项公式为；（2）数列中在之前共有项，当时，，当时例题5．（2023·全国·高三专题练习）记数列的前项和为，对任意正整数，有，且.(1)求数列的通项公式；(2)对所有正整数，若，则在和两项中插入，由此得到一个新数列，求的前40项和.【答案】(1)(2)1809【详解】（1）由，则，两式相减得：，整理得：，即时，，所以时，，又时，，得，也满足上式.故.（2）由.所以，又，所以前40项中有34项来自.故.二、专题10数列求和（插入新数列混合求和）专项训练一、单选题1．（2023春·江苏南通·高二期末）已知数列满足，在和之间插入n个1，构成数列：，则数列的前18项的和为（

）A．43 B．44 C．75 D．76【答案】C【详解】在，之间插入个1，构成数列，所以共有个数，当时，，当时，，由于，所以．故选：D.2．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知数列的通项公式为，保持数列中各项顺序不变，对任意的，在数列的与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前n项的和为，则（

）A．4056 B．4096 C．8152 D．8192【答案】C【详解】插入组共个，∵，∴前面插入12组数，最后面插入9个．，∵，∴，又数列的前13项和为，故选：D．3．（2023·全国·高三专题练习）习近平总书记在党的二十大报告中提出：坚持以人民为中心发展教育，加快建设高质量教育体系，发展素质教育，促进教育公平，加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化．某师范大学学生会为贯彻党的二十大精神，成立“送教下乡志愿者服务社”，分期分批派遣大四学生赴乡村支教．原计划第一批派遣20名学生，以后每批都比上一批增加5人．由于志愿者人数暴涨，服务社临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为，在数列的任意相邻两项与（，2，）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列．按新数列的各项依次派遣支教学生．记为派遣了70批学生后支教学生的总数，则的值为（

）A．387 B．388 C．389 D．390【答案】A【详解】∵数列满足，∴，，，，，，∵在任意相邻两项与（，2，）之间插入个3，∴其中，之间插入2个3，，之间插入4个3，，之间插入8个3，，之间插入16个3，，之间插入32个3，，之间插入64个3，又，，∴数列的前70项含有前6项和64个3，故．故选：A.4．（2023·全国·高三专题练习）通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2，3之间插入2与3的积6，得到数列2，6，3；第2次，在2，6，3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2，12，6，18，3；类似地，第3次操作后，得到数列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述这样操作11次后，得到的数列记为，则的值是（

）A．6 B．12 C．18 D．108【答案】A【详解】解：设数列经过第次拓展后的项数为，因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，则经过第次拓展后增加的项数为，所以，即，即，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，是以，所以，则经过11次拓展后在与6之间增加的数为，所以经过11次拓展后6所在的位置为第，所以.故选：A.二、多选题5．（2023·全国·高三专题练习）十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年（公元1584年）．他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为，插入11个数后这13个数之和为，则依此规则，下列说法正确的是（

）．A．插入的第8个数为B．插入的第5个数是插入的第1个数的倍C．D．【答案】BC【详解】设该等比数列为，公比为，则，，故，所以，故A错误；因为，故B正确；，要证，即证，即证，即证，即证，而，故C正确；而，因，所以，，所以即,所以，D错误.故选：BC．三、填空题6．（2023春·高二校考课时练习）在1和17之间插入n个数，使这个数成等差数列，若这n个数中第一个为a，第n个为b，当取最小值时，.【答案】7【详解】由等差数列的性质可知得，则，当且仅当时取等号，此时，，所以所以，因此，可得．故答案为：77．（2023秋·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期末）已知数列的通项公式，在数列的任意相邻两项与之间插入个4，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记新数列的前n项和为，则的值为．【答案】370【详解】因为与之间插入个4，，，，，，其中，之间插入2个4，，之间插入4个4，，之间插入8个4，，之间插入16个4，，之间插入32个4，由于，，故数列的前60项含有的前5项和55个4，故.故答案为：370.四、解答题8．（2023春·