高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题05解三角形(角平分线问题问题)(典型题型归类训练)(学生版+解析)

专题05解三角形（角平分线问题问题）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2方法一：等面积法 2方法二：内角平分线定理 3方法三：角互补 5三、专项训练 6一、必备秘籍角平分线如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，核心技巧1：内角平分线定理：或核心技巧2：等面积法(使用频率最高）核心技巧3：边与面积的比值：核心技巧4：角互补：在中有：;在中有：二、典型题型方法一：等面积法1．（2023春·吉林·高一吉林市田家炳高级中学校考期末）在中，，，，的角平分线交BC于D，则（

）A． B．2 C． D．2．（2023秋·江西·高三校联考阶段练习）在中，内角，，的对边分別为，，，且满足.(1)求；(2)若内角的角平分线交于点，且，求的面积的最小值.3．（2023秋·江苏淮安·高二淮阴中学校考开学考试）已知中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，，D是边AC上的一点，且．(1)若，，求AD；(2)若BD为的角平分线，求面积的最小值．4．（2022·全国·高一专题练习）的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，AD是的角平分线，且，求的最小值.5．（2022·全国·高一专题练习）的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，AD是的角平分线，且AD＝，，求c.方法二：内角平分线定理1．（2023春·广东深圳·高一校考期中）已知中，，，，是的角平分线，则．2．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，角所对的边分别是，其中，，.若B的角平分线BD交AC于点D，则.3．（2023秋·四川成都·高二石室中学校考开学考试）如图，在中，，的角平分线交于，.

(1)求的取值范围；(2)已知面积为1，当线段最短时，求实数.4．（2023春·山东枣庄·高一统考期中）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若BD是的角平分线.（i）证明：；（ii）若，求的最大值.5．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）如图，在中，，是角的角平分线，且面积为1.

(1)求的面积；(2)设，①求的取值范围；②当的长度最短时，求的值.6．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知．(1)求；(2)已知的角平分线交于点，求的取值范围．方法三：角互补1．（2023春·高一单元测试）在中，是的角平分线，且交于.已知，则.2．（2023春·广东东莞·高一东莞市东莞中学校考阶段练习）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．(1)求；(2)若的面积为，求内角A的角平分线长的最大值．3．（2023·全国·高三专题练习）在中，点在边上，，．(1)若是的角平分线，求；(2)若是边上的中线，且，求．4．（2022·浙江·模拟预测）在中，是的角平分线且，若，则，的面积为．三、专项训练1．（2023·全国·高三专题练习）在中，角、、所对的边分别为、、，若，为的角平分线，且，，则的值为（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）在中，，的角平分线交于点D，的面积是面积的3倍，则（

）A． B． C． D．3．（2022秋·广西柳州·高三校联考阶段练习）已知中，为的角平分线，，则的面积为（

）A． B． C． D．4．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角对应的边分别是，内角的角平分线交边于点，且．若，则面积的最小值是（

）A．16 B． C．64 D．5．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，AD是△ABC的角平分线，D在BC边上，，b＝3c，则a的值为（

）A． B． C． D．6．（2023·全国·高三专题练习）已知，内角所对的边分别是，的角平分线交于点D．若，则的取值范围是．7．（2023·全国·高三专题练习）在三角形中，角的对边分别是，若，角的角平分线交边于点，且，则边c的大小为.8．（2023·全国·高三专题练习）在中，，∠A的角平分线与BC边相交于D．，，则AB边的长度为．9．（2022·安徽·统考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．若AD为△ABC的角平分线，且，，，则△ABC面积为．10．（2023·四川绵阳·统考二模）在三角形ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c．已知，．(1)求边b的长；(2)延长BC至D，使得，连接AD．已知为锐角，且它的角平分线与AB交于点E，若外接圆半径为．求长．11．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）的内角，，的对边分别记为，，，若，，从下面条件①②③中任选一个作为已知条件，完成以下问题：①；②；③．(1)求的面积；(2)若的角平分线与边交于点，延长至点使得，求．15．（2022·全国·高三专题练习）在①；②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．(1)求角C的大小；(2)若∠ACB的角平分线CD交线段AB于点D，且，求△ABC的面积．

专题05解三角形（角平分线问题问题）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2方法一：等面积法 2方法二：内角平分线定理 5方法三：角互补 11三、专项训练 14一、必备秘籍角平分线如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，核心技巧1：内角平分线定理：或核心技巧2：等面积法(使用频率最高）核心技巧3：边与面积的比值：核心技巧4：角互补：在中有：;在中有：二、典型题型方法一：等面积法1．（2023春·吉林·高一吉林市田家炳高级中学校考期末）在中，，，，的角平分线交BC于D，则（

）A． B．2 C． D．【答案】B【详解】在中,由余弦定理得,

则，即，解得，（负值舍），而AD平分，即，又，故，则，故选：B2．（2023秋·江西·高三校联考阶段练习）在中，内角，，的对边分別为，，，且满足.(1)求；(2)若内角的角平分线交于点，且，求的面积的最小值.【答案】(1)(2)【详解】（1）∵，∴由正弦定理得，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴.（2）如图，由题意及第（1）问知，，且，∴，∴，化简得，∵，，∴由基本不等式得，∴，当且仅当时，等号成立，∴∴，故的面积的最小值为.3．（2023秋·江苏淮安·高二淮阴中学校考开学考试）已知中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，，D是边AC上的一点，且．(1)若，，求AD；(2)若BD为的角平分线，求面积的最小值．【答案】(1)1(2)【详解】（1），由正弦定理得，由，，则，即，解得，由，即得，如图所示.

由，则，中，由余弦定理，，解得.（2），BD为的角平分线，且，如图所示，

则有，，则，即，且，则，可得，当且仅当时等号成立，所以，故面积的最小值为．4．（2022·全国·高一专题练习）的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，AD是的角平分线，且，求的最小值.【答案】.【详解】在中，，AD是的角平分线，且，而，则有，即，得，因此，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是.5．（2022·全国·高一专题练习）的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，AD是的角平分线，且AD＝，，求c.【答案】2或3【详解】∵，则有，，可得

①由余弦定理，可得

②由①②解得，或，所以，或.方法二：内角平分线定理1．（2023春·广东深圳·高一校考期中）已知中，，，，是的角平分线，则．【答案】/【详解】设，因为是角平分线，则，又由已知得，同理，∴，解得．故答案为：．2．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，角所对的边分别是，其中，，.若B的角平分线BD交AC于点D，则.【答案】/【详解】由题设，则，又，则，故，又，即，在△中，由余弦定理知：，即，得，故，在△中，由余弦定理知：，故，故或，又，即，故.故答案为：3．（2023秋·四川成都·高二石室中学校考开学考试）如图，在中，，的角平分线交于，.

(1)求的取值范围；(2)已知面积为1，当线段最短时，求实数.【答案】(1)；(2)【详解】（1）设由角平分线定理，，，由余弦定理，，，所以，化简得.因为，故；（2）由题意，，因此，由余弦定理，，故，当且仅当时，取得最小值3，此时.显然为锐角，由代入中，得，或舍去，由（1）知，此时.4．（2023春·山东枣庄·高一统考期中）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若BD是的角平分线.（i）证明：；（ii）若，求的最大值.【答案】(1)(2)（i）证明见解析；（ii）【详解】（1）因为中，，故，因为，故；（2）（i）证明：中，由正弦定理得①，

又②，同理在中，③，④，BD是的角平分线，则，则，又，故，故①÷③得⑤，即，由②④得，，则，即；（ii）因为，故，则由⑤得，则，由以及（i）知，即，则，当且仅当，结合，即时等号成立，故，即的最大值为.5．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）如图，在中，，是角的角平分线，且面积为1.

(1)求的面积；(2)设，①求的取值范围；②当的长度最短时，求的值.【答案】(1)(2)①；②【详解】（1）因为是角的角平分线，且所以，即，所以，所以.（2）①设，，，则，，，（1）知，，，又，即，整理得，又，所以，即，所以的取值范围为；②由①知，，即，所以，，在中，由余弦定理得，即，又，，设，则，，所以，当且仅当，即时，等号成立，此时，又，解得，所以，所以当的长度最短时，.6．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知．(1)求；(2)已知的角平分线交于点，求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由正弦定理可得，所以，又，所以.（2）因为，因为为锐角三角形，所以，解得，所以，所以，即的取值范围为.

方法三：角互补1．（2023春·高一单元测试）在中，是的角平分线，且交于.已知，则.【答案】【详解】由题意是的角平分线，，由角平分线的性质知：，设，因为，则，则,所以，整理得，解得或（舍）.所以,.故答案为：2．（2023春·广东东莞·高一东莞市东莞中学校考阶段练习）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．(1)求；(2)若的面积为，求内角A的角平分线长的最大值．【答案】(1)(2)【详解】（1）由正弦定理，得，即，故，因为，所以，所以；（2）由（1）知，因为的面积为，所以，解得，在中，由正弦定理，得，在中，由正弦定理，得，因为AD为角A的角平分线，所以，又，所以，所以，不妨设，，则，故，延长至点E，使得，连接，则，又，所以，故，，则，，则，，在中，由余弦定理，得，即，因为，所以，其中，当且仅当，即时，等号成立，故，故.所以长的最大值为.3．（2023·全国·高三专题练习）在中，点在边上，，．(1)若是的角平分线，求；(2)若是边上的中线，且，求．【答案】(1)(2).【详解】（1）解：点在边上，，．是的角平分线，在和中，由正弦定理可得，；，，．（2）解：因为是边上的中线，设，，，，，，化简可得，解得或（舍去），．4．（2022·浙江·模拟预测）在中，是的角平分线且，若，则，的面积为．【答案】6【详解】在中，是的角平分线，且，则有：，令，则，在与中，由余弦定理得：，，因此，，得，即有，解得，的面积为.故答案为：；6三、专项训练1．（2023·全国·高三专题练习）在中，角、、所对的边分别为、、，若，为的角平分线，且，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，由正弦定理可得，所以，，由余弦定理可得，因为，所以，，因为，由可得，即，解得，，由余弦定理可得，因此，.故选：B.2．（2023·全国·高三专题练习）在中，，的角平分线交于点D，的面积是面积的3倍，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，即，在中，作边上高，垂足为，则，故选:A.3．（2022秋·广西柳州·高三校联考阶段练习）已知中，为的角平分线，，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设∵，则即，可得∵，则∴，则故选：B.4．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角对应的边分别是，内角的角平分线交边于点，且．若，则面积的最小值是（

）A．16 B． C．64 D．【答案】B【详解】∵，∴，即，又，，∴，即，又，∴，由题可知，，所以，即，又，即，当且仅当取等号，所以.故选：B.5．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，AD是△ABC的角平分线，D在BC边上，，b＝3c，则a的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：因为，所以由正弦定理化简可得：a2＝b2+c2﹣bc，即：b2+c2﹣a2＝bc，故，由于A∈（0，π），可得：A＝，因为AD是△ABC的角平分线，D在BC边上，可得∠BAD＝∠DAC＝，所以由余弦定理可得，因为b＝3c，所以CD＝3BD，即，整理可得，所以由余弦定理可得．故选：B．6．（2023·全国·高三专题练习）已知，内角所对的边分别是，的角平分线交于点D．若，则的取值范围是．【答案】【详解】对用正弦定理，可得，设，，由于为三角形内角，则，由可得，，整理得，，对，由余弦定理，，即，故，即，于是，根据基本不等式，，即，结合，解得，即，于是.故答案为：7．（2023·全国·高三专题练习）在三角形中，角的对边分别是，若，角的角平分线交边于点，且，则边c的大小为.【答案】/【详解】由可得：，故，所以，由于,故,故由可得：，又，故，联立，解得，故，故，故答案为：8．（2023·全国·高三专题练习）在中，，∠A的角平分线与BC边相交于D．，，则AB边的长度为．【答案】2或3/3或2【详解】由题意得，，，由，可得，所以，又由余弦定理，有，可得，所以，解得，又由，可得或．故答案为：2或39．（2022·安徽·统考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．若AD为△ABC的角平分线，且，，，则△ABC面积为．【答案】/【详解】因为，，所以，由正弦定理边化角可得：，所以，所以，因为，所以，所以，即，因为，所以，解得，由余弦定理可得，整理可得，又，所以，整理得，所以，解得或-1（舍），所以.故答案为：10．（2023·四川绵阳·统考二模）在三角形ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c．已知，．(1)求边b的长；(2)延长BC至D，使得，连接AD．已知为锐角，且它的角平分线与AB交于点E，若外接圆半径为．求长．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得，所以又因为，所以，∴，即，∴（2）由（1）可知，在中，由正弦定理：，可得：，所以，∵为锐角，∴由可得：即①

因为，所以，在中，由余弦定理可求得，求得，代入①可解得：

11．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）的内角，，的对边分别记为，，，若，，从下面条件①②③中任选一个作为已知条件，完成以下问题：①；②；③．(1)求的面积；(2)若的角平分线与边交于点，延长至点使得，求．【答案】(1)(2)【详解】（1）若选①，则，，又．若选②，，则，，，由正弦定理可得：．若选③，由得，且，则，