高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题05圆锥曲线中的向量问题(典型题型归类训练)(学生版+解析)

专题05圆锥曲线中的向量问题(典型题型归类训练)题型一：垂直关系向量化1．（2024上·贵州安顺·高二统考期末）已知平面直角坐标系内的动点恒满足：点到定点的距离与它到定直线的距离相等．(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，证明：．2．（2024上·天津宁河·高三统考期末）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，离心率为，．(1)求椭圆的方程；(2)设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点在圆上，直线，的斜率分别为，，且，求证：（i）；（ii）直线过定点，并求出此定点的坐标．3．（2024上·天津·高三校联考期末）已知椭圆，，分别是椭圆C的左、右焦点，点为左顶点，椭圆上的点到左焦点距离的最小值是焦距的．(1)求椭圆的离心率；(2)直线过椭圆C的右焦点，与椭圆C交于P，O两点（点P在第一象限）．且面积的最大值为，①求椭圆C的方程；②若直线，分别与直线交于，两点，求证：以为直径的圆恒过右焦点．题型二：向量坐标化1．（2024上·浙江宁波·高三余姚中学校联考期末）已知点和直线:，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数.(1)求动点的轨迹的方程；(2)已知，过点作直线交于，两点，若，求的斜率的值.2．（2024上·天津西青·高二统考期末）已知椭圆的一个顶点为，左、右焦点为，，其中O为坐标原点，过右焦点的直线交椭圆于P，Q两点，的周长为.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点C满足，点B在椭圆上（异于椭圆的项点），直线与以C为圆心的圆相切于点M，且M为线段的中点，求直线的方程.3．（2023上·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且过点．(1)求椭圆的方程；(2)设过点的直线与椭圆交于不同的两点，且，求直线的斜率．题型三：利用向量求角1．（2024上·山西太原·高二统考期末）已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且.(1)求抛物线的方程；(2)已知点，过点的直线交抛物线于、两点，求证：.2．（2024·湖南长沙·统考一模）已知双曲线与直线：（）有唯一的公共点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，其中点，在第一象限.(1)探求参数，满足的关系式；(2)若为坐标原点，为双曲线的左焦点，证明：.题型四：利用向量证明三点共线问题1．（2022上·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）已知双曲线：的一条渐近线的斜率为，右焦点到其中一条渐近线的距离为1.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线（斜率存在且不为0）与双曲线交于，两点，点关于轴的对称点为，若，，三点共线，证明：直线经过轴上的一个定点.2．（2023上·江西·高三校联考阶段练习）已知椭圆的长轴长为，离心率为，斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点A，B.(1)求的方程；(2)若直线l的方程为，点关于直线l的对称点N（与M不重合）在椭圆上，求t的值；(3)设，直线PA与椭圆的另一个交点为C，直线PB与椭圆的另一个交点为D，若点C，D和点三点共线，求k的值.3．（2023上·江苏连云港·高三校考期中）在平面直角坐标系中，点在椭圆上，过点的直线的方程为．(1)求椭圆的离心率；(2)设椭圆的左、右焦点分别为，，点与点关于直线对称，求证：点三点共线．三、专项训练1．（2024上·上海·高二上海市育才中学校考期末）已知、，点满足．(1)求点的轨迹方程；(2)记动点轨迹为曲线，直线交曲线于、两点，且以为直径的圆过，求的值．5．（2024上·四川宜宾·高二统考期末）已知双曲线的渐近线方程为，点在上．(1)求的方程．(2)设是双曲线的左顶点，过点的直线与的右支交于两点，直线分别与直线交于两点.试探究：是否存在定点，使得以为直径的圆过点？若存在求点的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2024上·江苏无锡·高二无锡市第一中学校考期末）已知双曲线的离心率为，上焦点到其中一条渐近线的距离为2．(1)求双曲线的标准方程；(2)过的直线交双曲线上支于，两点．在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2024上·河南·高二校联考期末）已知双曲线的焦点到渐近线的的距离为3，离心率为2.(1)求双曲线的标准方程；(2)经过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于点为坐标原点，求的取值范围.8．（2024上·上海·高二校考期末）已知双曲线．(1)求上焦点的坐标；(2)若动点在双曲线的上支上运动，求点到的距离的最小值，并求此时的坐标；(3)若为双曲线的上顶点，直线与双曲线交于C、D两点（异于点），，求实数的值．9．（2024上·江苏南京·高二南京师大附中校考期末）设抛物线的焦点为，点在抛物线的准线上.过点作抛物线的两条切线，切点分别为.已知抛物线上有一动点，位于点之间.若抛物线在点处的切线与切线相交于点.求证：(1)直线经过点;(2)的外接圆过定点.专题05圆锥曲线中的向量问题(典型题型归类训练)题型一：垂直关系向量化1．（2024上·贵州安顺·高二统考期末）已知平面直角坐标系内的动点恒满足：点到定点的距离与它到定直线的距离相等．(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据抛物线的定义求解即可；（2）设，联立直线与抛物线的方程，得出韦达定理，再代入计算得即可.【详解】（1）设点P的坐标，由题设及抛物线的定义可知，点P的轨迹为以焦点，准线方程为抛物线，故点P的轨迹C的方程为：．（2）由（1）得，曲线C的方程为：．由题设可知，直线l的斜率必不为0，故设，由得：．设，，则，．所以，，故．2．（2024上·天津宁河·高三统考期末）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，离心率为，．(1)求椭圆的方程；(2)设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点在圆上，直线，的斜率分别为，，且，求证：（i）；（ii）直线过定点，并求出此定点的坐标．【答案】(1)(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析，定点为【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求出结果；（2）根据条件，设出直线，直线，联立，得到，联立，得，通过计算得，即可证明；再计算出，从而得出直线的方程，即可求出结果.【详解】（1）由题知，，，又，解得，所以椭圆的方程为.（2）（i）由（1）知，设直线，直线，由，消得到，得到，，所以，由，消得到，得到，，所以，故，，所以，故，（ii）由（i）知，所以直线的方程为，整理得到，所以直线过定点，定点为.3．（2024上·天津·高三校联考期末）已知椭圆，，分别是椭圆C的左、右焦点，点为左顶点，椭圆上的点到左焦点距离的最小值是焦距的．(1)求椭圆的离心率；(2)直线过椭圆C的右焦点，与椭圆C交于P，O两点（点P在第一象限）．且面积的最大值为，①求椭圆C的方程；②若直线，分别与直线交于，两点，求证：以为直径的圆恒过右焦点．【答案】(1)(2)①；②证明见解析【分析】（1）利用椭圆上的点到左焦点距离的最小值与焦距的关系列方程，从而求得离心率.（2）①设出直线的方程并与椭圆方程联立，利用根与系数关系以及弦长公式求得三角形面积的表达式，根据三角形面积的最大值求得，从而求得椭圆的方程.②求得两点的坐标，由证得以为直径的圆恒过右焦点．【详解】（1）先求椭圆上任意一点到左焦点的距离的最小值：设是椭圆上任意一点，是左焦点，则，所以，二次函数的开口向上，对称轴，所以二次函数在上单调递增，所以的最小值为.由题意可得，∴，椭圆的离心率为.（2）①由（1）可知，，∴，设椭圆方程为，法一：由题意可知直线的斜率显然不为0，设直线方程为：，，，联立，消去x整理得，由题意知恒成立，则，，则，令，则，∴，因为在上单调递增，当时，有最大值，，∴，∴，，，椭圆方程为：．法二：当直线PQ的斜率存在时，由题知，，此时，设PQ：，联立，得，设，，由题意知恒成立，，，，令，∴，因为在上单调递增，∴， ∴，当直线的斜率不存在时，此时，代入中，得，∴，∴面积的最大值为，∴，椭圆方程为.②法一：由（i）知，，∴， ，∴直线的方程为：，直线的方程为：，∴，，∴，，由，得，，，∴，∴，∴以为直径的圆恒过右焦点．法二：由（i）知，，当直线的斜率不存在时，有，，直线，令，得，同理，此时，当直线的斜率存在时，，∴，，∴直线的方程为：，直线的方程为：，∴，，∴，，由，，，∴，∴，∴以为直径的圆恒过右焦点．

【点睛】求解椭圆上的点到焦点的距离的最大值或最小值，可设椭圆上任意一点的坐标，然后利用两点间的距离公式和二次函数的性质来求得最值.求解椭圆中三角形面积的最值有关问题，可先求得面积的表达式，然后根据表达式的结构选择合适的方法来求最值.题型二：向量坐标化1．（2024上·浙江宁波·高三余姚中学校联考期末）已知点和直线:，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数.(1)求动点的轨迹的方程；(2)已知，过点作直线交于，两点，若，求的斜率的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）设，用坐标表示出已知关系化简即得；（2）设，直线方程为代入椭圆方程后应用韦达定理得，再由向量运算的坐标表示得出的关系，结合越来可求得值．【详解】（1）设，由题意得，化简得:.（2）设：，与联立得，，因为，则定点在椭圆内，则该直线与椭圆必有两交点，所以因为，所以，即，所以③，由①③得，将④⑤代入②，得，化简得，，解得.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设线法，联立椭圆方程得到韦达定理式，再根据向量关系式，从而解出，最后得到关于的方程，解出即可.2．（2024上·天津西青·高二统考期末）已知椭圆的一个顶点为，左、右焦点为，，其中O为坐标原点，过右焦点的直线交椭圆于P，Q两点，的周长为.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点C满足，点B在椭圆上（异于椭圆的项点），直线与以C为圆心的圆相切于点M，且M为线段的中点，求直线的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）由椭圆定义得，，由此即可得解.（2）由题意得，，设，联立椭圆方程，表示出点的坐标，结合求出斜率即可得解.【详解】（1）由题意得，，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）由（1）知，又，所以，由题意，点B在椭圆上（异于椭圆的项点），所以直线斜率存在且不为0，设，直线和椭圆方程联立得，得，当时，则，因为直线与以为圆心的圆相切于点，即为中点，则，，，，因为，所以，得，因为，所以得.所以直线或.3．（2023上·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且过点．(1)求椭圆的方程；(2)设过点的直线与椭圆交于不同的两点，且，求直线的斜率．【答案】(1)(2)【分析】（1）由椭圆离心率为可知，所以椭圆的方程为，将点代入椭圆的方程即可求解；（2）设直线的方程并将其方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及求解.【详解】（1）由可知，，则，即，则椭圆的方程为，将点代入椭圆方程可得，解得，，故椭圆的方程为；（2）由题意可知直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，且，，将直线方程与椭圆方程联立，得，，化简得，解得或，，，由可知，所以，，所以，化简得，解得，所以直线的斜率为.题型三：利用向量求角1．（2024上·山西太原·高二统考期末）已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且.(1)求抛物线的方程；(2)已知点，过点的直线交抛物线于、两点，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用抛物线的焦半径公式，可求得p的值，即得答案；（2）设出直线CD的方程，联立抛物线方程，可得根与系数关系式，化简，即可证明结论.【详解】（1）由题意点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且.得，解得，故抛物线的方程为.（2）证明：设直线的方程为，，，由，得，，.

，，即直线关于x轴对称，故.2．（2024·湖南长沙·统考一模）已知双曲线与直线：（）有唯一的公共点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，其中点，在第一象限.(1)探求参数，满足的关系式；(2)若为坐标原点，为双曲线的左焦点，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）将直线与双曲线方程联立，因只有一个切点从而可得，从而求解.（2）将直线分别与双曲线的两渐近线方程联立求出，，由（1）可求出，即，分别求出，，，从而可求解.【详解】（1）联立方程，整理得.由，且是双曲线与直线的唯一公共点，可得，则，即为参数，满足的关系式.

结合图象，由点在第一象限，可知，且.所以，的关系式满足.（2）由题可得双曲线的左焦点，渐近线为.联立方程，解得，即；联立方程，解得，即.结合，且由式可变形为，解得，可得.要证，即证，即证，即证，即证.由，得.根据直线的斜率公式，，，，则，，可得，因此，.【点睛】关键点点睛：利用直线与双曲线方程联立后利用，从而求得和点坐标，然后由直线分别与双曲线的两渐近线联立求出坐标，要证，从而可求解.题型四：利用向量证明三点共线问题1．（2022上·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）已知双曲线：的一条渐近线的斜率为，右焦点到其中一条渐近线的距离为1.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线（斜率存在且不为0）与双曲线交于，两点，点关于轴的对称点为，若，，三点共线，证明：直线经过轴上的一个定点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由题意得到关于的方程，解之即可得解；（2）联立直线与双曲线方程，得到，，再由三点共线得到，代入即可得解.【详解】（1）∵双曲线的方程为：，∴双曲线的渐近线方程为，设右焦点的坐标为，则，解得，，∴双曲线的方程为.（2）由（1）知，双曲线的右焦点，设直线与轴交于点，直线的方程为，，，则，联立，消去得，显然有且，化简得且，则，，故，，∵，，三点共线，∴，则，∴，又，∴，∴，∴，化简得，经检验符合题意，∴直线的方程为：，∴直线经过轴上的一个定点，【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.2．（2023上·江西·高三校联考阶段练习）已知椭圆的长轴长为，离心率为，斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点A，B.(1)求的方程；(2)若直线l的方程为，点关于直线l的对称点N（与M不重合）在椭圆上，求t的值；(3)设，直线PA与椭圆的另一个交点为C，直线PB与椭圆的另一个交点为D，若点C，D和点三点共线，求k的值.【答案】(1)(2)(3).【分析】（1）根据长轴，离心率及求出椭圆方程；（2）设点关于直线l的对称点为，列出方程组，求出，代入椭圆方程，求出值，舍去不合要求的值；（3）设和直线PA的方程，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，表达出，同理设，得到，根据三点共线得到方程，求出答案.【详解】（1）设椭圆的焦距为2c，因为椭圆的长轴长为，离心率为，所以，，所以，所以.故椭圆的方程为.（2）设点关于直线l的对称点为，则，解得，则，由N在椭圆P上，可得，整理得，解得或.当时，点与点M重合，舍去，当时，点，满足要求.（3）设，，，，则，.又，所以，所以，则，同理可求得.又，则，.由点C，D和点三点共线，所以，则，可得，则.【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，处理三点共线，四点共圆，或两直线倾斜角互补或相等问题时，往往会转化为斜率之和为0或斜率相等或转化为向量来进行解决，进而列出方程，代入计算即可.3．（2023上·江苏连云港·高三校考期中）在平面直角坐标系中，点在椭圆上，过点的直线的方程为．(1)求椭圆的离心率；(2)设椭圆的左、右焦点分别为，，点与点关于直线对称，求证：点三点共线．【答案】(1)(2)证明详见解析【分析】（1）根据求得椭圆的离心率.（2）求得点坐标，利用向量法证得三点共线.【详解】（1）依题意，，所以离心率.（2）直线的斜率为，由（1）得，设关于的对称点为，线段的中点为，在椭圆上，所以，，则，所以，所以三点共线.【点睛】求解三点共线的问题，可以转化为来进行求解，也可以转化为来进行求解.求解点关于直线对称点的问题，关键点在于中点和斜率，根据这两个关键点可求得对称点的坐标.三、专项训练1．（2024上·上海·高二上海市育才中学校考期末）已知、，点满足．(1)求点的轨迹方程；(2)记动点轨迹为曲线，直线交曲线于、两点，且以为直径的圆过，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）分析可知，点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆，求出、的值，即可得出点的轨迹方程；（2）将直线的方程与点的轨迹方程联立，列出韦达定理，分析可知，利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理可求得的值.因此，点的轨迹方程为.（2）解：设点、，联立可得，，由韦达定理可得，，所以，，同理可得，因为以为直径的圆过，则，即，整理可得，又因为，解得.2．（2024上·天津·高二天津市第一百中学校联考期末）已知㭻圆：（）经过点，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆交于点（异于顶点）与轴交于点，点为椭圆的右焦点，为坐标原点，，求直线的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据椭圆离心率以及经过的点即可求解，（2）联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理可得点，进而根据向量垂直满足的坐标关系求解.【详解】（1）由题意可得所以，所以椭圆方程为；（2）由题意可得直线的斜率存在，故设直线的方程为，，，所以，所以，故，,所以，所以，所以，解得，故直线的方程为.

3．（2024上·天津河北·高三统考期末）设椭圆的左右焦点分别为，短轴的两个端点为，且四边形是边长为2的正方形.分别是椭圆的左右顶点，动点满足，连接，交椭圆于点.(1)求椭圆的方程；(2)求证：为定值.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）根据题设得，结合椭圆参数关系即可得方程；（2）设直线的方程为，联立椭圆并应用韦达定理求坐标，根据已知确定坐标，再由向量数量积的坐标表示求，即可证.【详解】（1）由题设，，得，椭圆的方程为.（2）由（1）知，由题意知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，联立，又，将代入，得，则.所以，为定值.4．（2024·陕西咸阳·校考模拟预测）已知椭圆的离心率是双曲线的离心率的倒数，椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，且.(1)求椭圆的方程；(2)当过点的动直线与椭圆相交于两个不同点时，设，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量数量积得到关系式，结合离心率以及求解出，则椭圆方程可求；（2）设出坐标，根据向量共线表示出对应坐标关系，再利用点差法结合已知坐标关系进行化简从而得到关于的表示，根据椭圆的有界性可求的范围.【详解】（1）设点的坐标分别为，又点的坐标为，且，所以，解得，所以椭圆的方程为.（2）设，则依据得，整理得，又，故，得，即，当时，此时，即重合，显然不成立，所以，所以，即，又，得，又，故，且，故实数的取值范围为.5．（2024上·四川宜宾·高二统考期末）已知双曲线的渐近线方程为，点在上．(1)求的方程．(2)设是双曲线的左顶点，过点的直线与的右支交于两点，直线分别与直线交于两点.试探究：是否存在定点，使得以为直径的圆过点？若存在求点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在定点，或，使得以为直径的圆过点，理由见解析【分析】（1）由渐近线方程与点在双曲线上待定即可得方程；（2）假设存在定点，满足条件.设，，分别表示直线，令，得坐标，将以为直径的圆过点转化为条件，利用韦达定理代入变形为关系式，不受影响，求值即可.【详解】（1）由题意可知：，解得，故双曲线C的方程为：（2）由双曲线的对称性，又点及点均在轴上，若存在定点，满足以为直径的圆过点，则点在轴上.故假设存在定点，使得以为直径的圆过点.双曲线的左顶点，由题意知直线不垂直于轴，故设直线的方程为：，设，，∴，，解得，又直线的方程为，代入，同理，直线的方程为，代入.要使以为直径的圆过点，则.∴，∴，解得，或故存在定点，或，使得以为直径的圆过点.

6．（2024上·江苏无锡·高二无锡市第一中学校考期末）已知双曲线的离心率为，上焦点到其中一条渐近线的距离为2．(1)求双曲线的标准方程；(2)过的直线交双曲线上支于，两点．在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在点【分析】（1）根据离心率、双曲线的渐近线以及点到直线的距离公式，建立方程，可得答案；（2）根据题意，设出直线方程与交点坐标，联立方程写出韦达定理，进而建立方程，可得答案.【详解】（1）因为离心率为且双曲线，则①，（2）易知直线的斜率存在，不妨设直线的方程为，，，联立，消去并整理得，显然，且，由韦达定理得，，假设在轴上存在定点，使得恒成立，不妨设，此时，即，解得，则点的坐标为．综上，轴上存在点，使恒成立．7．（2024上·河南·高二校联考期末）已知双曲线的焦点到渐近线的的距离为3，离心率为2.(1)求双曲线的标准方程；(2)经过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于点为坐标原点，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据离心率、焦点到渐近线的距离为3及求出可得答