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1矩阵理论与方法第5章广义逆矩阵庄伯金Bjzhuang@2主要内容投影矩阵投影算子的概念和投影矩阵计算正交投影算子和正交投影矩阵计算广义逆矩阵广义逆矩阵定义广义逆矩阵的性质广义逆矩阵的构造方法广义逆矩阵的计算方法3投影算子定义：设和是的子空间，且有，对任意，则存在唯一的分解，则称是沿着到的投影。将映射成的变换称为沿着到的投影算子，记为

，即性质1.；2.投影算子是线性算子。定义：投影算子在的基下的矩阵称为投影矩阵，记为。4投影矩阵的性质引理：设是幂等矩阵，则有。定理：矩阵为投影矩阵的充要条件是为幂等矩阵。注：投影矩阵与幂等矩阵一一对应。投影矩阵的构造方法：在子空间和分别取基：。构造分块矩阵。得到投影矩阵。例：设是由向量张成的子空间，是由向量张成的子空间，求。5正交投影算子与正交投影矩阵定义：设是的子空间，则称沿到的投影算子为正交投影算子，简记为。正交投影算子在的基下的矩阵称为正交投影矩阵，记为。定理：矩阵为正交投影矩阵的充要条件是为幂等Hermite矩阵。正交投影矩阵的构造方法：在子空间取基：。构造矩阵。得到正交投影矩阵。例：是由和张成的子空间，求正交投影矩阵以及向量沿到的投影。6Penrose广义逆矩阵定义：矩阵，若矩阵满足如下四个Penrose方程1.

2.

3.4.则称是的Moore-Penrose逆，记为。例：矩阵和的例子7Penrose广义逆矩阵定理：对任意，存在且唯一。定义：对任意，若满足Penrose方程中的等方程，则称为的-逆，记为，其全体记为。注：由于，所以，即总存在。注：的广义逆矩阵共有类。注：应用较多的广义逆矩阵为以下5类：8广义逆矩阵的性质及构造定理：矩阵有唯一的-逆的充要条件是为非奇异矩阵，且这个-逆与一致。任给，定义定理：设，则1.2.3.若非奇异，则

。4.5.和均为幂等矩阵，且与同秩。6.9广义逆矩阵的性质及构造7.等价于，等价于。8.等价于，等价于定理：设矩阵，令，

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