2024八年级数学上册第13章全等三角形13.3等腰三角形1等腰三角形的性质上课课件新版华东师大版

13.3等腰三角形第1课时

等腰三角形的性质第13章

全等三角形1、理解并掌握等腰三角形的性质；2、经历等腰三角形的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题；温故知新

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.1.具备什么条件的三角形是等腰三角形？2.等腰三角形的有关概念ABC相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,底边与腰的夹角叫做底角.两腰所夹的角叫做顶角,腰腰底边顶角底角边：角：

法国巴黎的卢浮宫城市大桥建筑图片欣赏知识点一

等腰三角形的性质

剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以不一样，如图，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD.你能发现什么现象吗？做一做DABC1.等腰三角形是轴对称图形.我们可以得出结论：ACBD折痕AD所在直线是等腰三角形的对称轴.你还有新的发现吗？∠B，∠C

是等腰三角形的

.底角∠B＝∠C所以我们可以描述为:等腰三角形的两个底角相等.2.探究归纳ABCD等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等.（简写成“等边对等角”）你还有什么方法可以证明“等边对等角”呢？ABC已知：如图，在△ABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C证明：画∠BAC的平分线AD.D12在△ABD和△ACD中，∵AB＝AC（已知）∠1＝∠2（角平分线的定义）AD＝AD（公共边）∴△ABD≌△ACD（S.A.S）∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）从这里你还可以得到什么结论？ABCD12AD既是底边上的中线，又是顶角的平分线和底边上的高。ABCD12等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线相互重合。等腰三角形的性质：（简称“三线合一”）文字语言图形语言符号语言等边对等角

底边上的高、中线及顶角平分线重合ABCABCD在△ABC中，∵AC=AB

(已知)，∴∠B=∠C(等边对等角）.在△ABC中，AB=AC.(1)∵∠BAD=∠CAD，∴BD=CD，AD⊥BC；(2)∵AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD；(3)∵BD=CD，∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC.知识归纳典例精析例1

已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且AD＝BD，求证:∠ADB＝∠BAC．ABCD12？？证明：∵AB＝AC，AD＝BD，∴∠B＝∠C，∠B＝∠1（等边对等角）∴∠C＝∠1.∵∠ADB是△ADC的外角，∴∠ADB＝∠C+∠2.∴∠ADB＝∠1+∠2=∠BAC.例2

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F.求证：DE=DF.

DABCFE证明：

∵AB=AC，∴∠B=∠C(等边对等角).

∵D是BC的中点，∴DB=DC

.

∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°.

∴△DBE

≌△DCF(AAS).∴DE=DF

.练一练1.如图，在△ABC中，AB=AC，(1)如果∠B＝70°，那么∠C＝____，∠A＝____．ABCD70°40°(2)如果∠A＝70°，那么∠B＝____，∠C＝___．(3)如果有一个角等于120°,那么∠A＝____，∠B＝___，∠C

＝___．(4)如果有一个角等于50°，那么另两个角等于多少度？55°55°120°30°30°解：若∠A=50°,则∠B=∠C=65°；若∠B=∠C=50°,则∠A=80°.已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．2.如图，在△ABC中，点D在BC上，AD=BD，AB=AC=CD.

找出图中相等的角并说明理由.解：∠BAD=∠B=∠C；∠BAC=∠ADB；∠ADC=∠DAC.∵AD=BD，∴∠BAD=∠B.∵AB=AC，∴∠C=∠B.∴∠BAD=∠B=∠CABCD∵DC=AC，∴∠DAC=∠ADC.∵∠ADB＝∠C+∠DAC，∠BAC＝∠BAD+∠DAC，∴∠ADB=∠BAC.3.如图的房屋人字梁架中，AB＝AC

，BD=DC，∠BAC＝110°，

(1)求∠B、∠C、∠1、∠2的度数；(2)求证：AD⊥BC.(2)证明：∵AB=AC，BD=DC（已知）∴AD⊥BC（三线合一）12

知识点二

等边三角形的性质

因为等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得到，∠B＝∠C，同理可得∠A＝∠B所以∠A＝∠B＝∠C，又由∠A＋∠B＋∠C＝180°，从而推出∠A＝∠B＝∠C＝60°.

也就是说：等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°.

三条边都相等的三角形是等边三角形，它也是轴对称图形，那么等边三角形的每个角的度数是多少呢？它有几条对称轴？ACB

等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，也称为正三角形.三条对称轴ABC等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°.等边三角形的性质：正三角形典例精析ABCD

例3

如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.（1）找出图中所有相等的角；（2）指出图中有几个等腰三角形？∠A=∠ABD,∠C=∠BDC=∠ABC；△ABC,△ABD,△BCD；ABCDx⌒2x⌒2x⌒⌒2x（3）观察∠BDC与∠A，∠ABD的关系，∠ABC、∠C呢？∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A=2∠ABD,∠ABC=∠BDC=2∠A,∠C=∠BDC=2∠A；（4）设∠A=x,请把△ABC的内角和用含x的式子表示出来.∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°.ABCD解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD.设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x,于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°.在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.x⌒2x⌒2x⌒⌒2xD1.等腰三角形的对称轴是 (

)A.底边上的中线

B.顶角的平分线C.底边上的高

D.底边的垂直平分线注：对称轴要回答是直线，而ABC三个选项是线段或射线，不符合要求2.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，下列结论中不正确的是 (

)A.∠B=∠C B.AD⊥BC

C.AD平分∠BAC D.AB=2BDABCDD根据等腰三角形的性质即可证明ABC，D无法说明；3.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为____________；(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为____________________；(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为_____________.75°,30°72°,72°或36°,108°30°，30°4.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交得的锐角为50°，则底角的大小为___________．70°或20°ABCABC注意：当题目未给定三角形的形状时，一般需分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论.5.如图，点E在BC上，AE//DC，

AB=AE.求证：∠B=∠C.ADCEB证明：∵AE//DC，∴∠C=∠AEB.又∵AB=AE，∴∠B=∠AEB，∴∠B=∠C.6.如图，在△ABC中，AB=AC，BD

⊥AC，CE

⊥AB，垂足分别为点D、E.求证：BD=CE.证明：∵AB＝AC，∴∠EBC＝∠DCB，∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BEC＝∠CDB＝90°.在△BEC和△CDB中，∠BEC＝∠CDB，∠EBC＝∠DCB，BC＝CB∴△BEC≌△CDB（A.A.S.），∴BD＝CE.7.如图，在△ABC中，点D在BC上，AD=BD，AB=AC=CD.求∠BAC的度数.解：设∠B=x°.∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=x°.∴∠ADC=∠BAD+∠B=(2x)°.∵DC=AC，∴∠DAC=∠ADC=(2x)°.∵AB=AC，∴∠C=∠B=x°.∵∠C+∠DAC+∠ADC=180°,∴x+2x+2x=180.∴x=36，即∠B=36°.∴∠BAC=180°-36°-36°=108°ABCD8.已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.(1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE；ACBED图①G(1)证明：如图①，过A作AG⊥BC于G.∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG，∴BG－DG＝CG