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文档简介

13.3等腰三角形第1课时

等腰三角形的性质第13章

全等三角形1、理解并掌握等腰三角形的性质;2、经历等腰三角形的探究过程,能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题;温故知新

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.1.具备什么条件的三角形是等腰三角形?2.等腰三角形的有关概念ABC相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,底边与腰的夹角叫做底角.两腰所夹的角叫做顶角,腰腰底边顶角底角边:角:

法国巴黎的卢浮宫城市大桥建筑图片欣赏知识点一

等腰三角形的性质

剪一张等腰三角形的半透明纸片,每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以不一样,如图,把纸片对折,让两腰AB、AC重叠在一起,折痕为AD.你能发现什么现象吗?做一做DABC1.等腰三角形是轴对称图形.我们可以得出结论:ACBD折痕AD所在直线是等腰三角形的对称轴.你还有新的发现吗?∠B,∠C

是等腰三角形的

.底角∠B=∠C所以我们可以描述为:等腰三角形的两个底角相等.2.探究归纳ABCD等腰三角形的性质:等腰三角形的两底角相等.(简写成“等边对等角”)你还有什么方法可以证明“等边对等角”呢?ABC已知:如图,在△ABC中,AB=AC.求证:∠B=∠C证明:画∠BAC的平分线AD.D12在△ABD和△ACD中,∵AB=AC(已知)∠1=∠2(角平分线的定义)AD=AD(公共边)∴△ABD≌△ACD(S.A.S)∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等)从这里你还可以得到什么结论?ABCD12AD既是底边上的中线,又是顶角的平分线和底边上的高。ABCD12等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线相互重合。等腰三角形的性质:(简称“三线合一”)文字语言图形语言符号语言等边对等角

底边上的高、中线及顶角平分线重合ABCABCD在△ABC中,∵AC=AB

(已知),∴∠B=∠C(等边对等角).在△ABC中,AB=AC.(1)∵∠BAD=∠CAD,∴BD=CD,AD⊥BC;(2)∵AD⊥BC,∴BD=CD,∠BAD=∠CAD;(3)∵BD=CD,∴∠BAD=∠CAD,AD⊥BC.知识归纳典例精析例1

已知:如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,且AD=BD,求证:∠ADB=∠BAC.ABCD12??证明:∵AB=AC,AD=BD,∴∠B=∠C,∠B=∠1(等边对等角)∴∠C=∠1.∵∠ADB是△ADC的外角,∴∠ADB=∠C+∠2.∴∠ADB=∠1+∠2=∠BAC.例2

已知:如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F.求证:DE=DF.

DABCFE证明:

∵AB=AC,∴∠B=∠C(等边对等角).

∵D是BC的中点,∴DB=DC

.

∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠DEB=∠DFC=90°.

∴△DBE

≌△DCF(AAS).∴DE=DF

.练一练1.如图,在△ABC中,AB=AC,(1)如果∠B=70°,那么∠C=____,∠A=____.ABCD70°40°(2)如果∠A=70°,那么∠B=____,∠C=___.(3)如果有一个角等于120°,那么∠A=____,∠B=___,∠C

=___.(4)如果有一个角等于50°,那么另两个角等于多少度?55°55°120°30°30°解:若∠A=50°,则∠B=∠C=65°;若∠B=∠C=50°,则∠A=80°.已知一个内角,则这个角可能是底角也可能是顶角,要分两种情况讨论.2.如图,在△ABC中,点D在BC上,AD=BD,AB=AC=CD.

找出图中相等的角并说明理由.解:∠BAD=∠B=∠C;∠BAC=∠ADB;∠ADC=∠DAC.∵AD=BD,∴∠BAD=∠B.∵AB=AC,∴∠C=∠B.∴∠BAD=∠B=∠CABCD∵DC=AC,∴∠DAC=∠ADC.∵∠ADB=∠C+∠DAC,∠BAC=∠BAD+∠DAC,∴∠ADB=∠BAC.3.如图的房屋人字梁架中,AB=AC

,BD=DC,∠BAC=110°,

(1)求∠B、∠C、∠1、∠2的度数;(2)求证:AD⊥BC.(2)证明:∵AB=AC,BD=DC(已知)∴AD⊥BC(三线合一)12

知识点二

等边三角形的性质

因为等边三角形是特殊的等腰三角形,由等腰三角形等边对等角的性质得到,∠B=∠C,同理可得∠A=∠B所以∠A=∠B=∠C,又由∠A+∠B+∠C=180°,从而推出∠A=∠B=∠C=60°.

也就是说:等边三角形的各个角都相等,并且每一个角都等于60°.

三条边都相等的三角形是等边三角形,它也是轴对称图形,那么等边三角形的每个角的度数是多少呢?它有几条对称轴?ACB

等边三角形的三条边都相等,三个角都相等,也称为正三角形.三条对称轴ABC等边三角形的各个角都相等,并且每一个角都等于60°.等边三角形的性质:正三角形典例精析ABCD

例3

如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.(1)找出图中所有相等的角;(2)指出图中有几个等腰三角形?∠A=∠ABD,∠C=∠BDC=∠ABC;△ABC,△ABD,△BCD;ABCDx⌒2x⌒2x⌒⌒2x(3)观察∠BDC与∠A,∠ABD的关系,∠ABC、∠C呢?∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A=2∠ABD,∠ABC=∠BDC=2∠A,∠C=∠BDC=2∠A;(4)设∠A=x,请把△ABC的内角和用含x的式子表示出来.∵∠A+∠ABC+∠C=180°,∴x+2x+2x=180°.ABCD解:∵AB=AC,BD=BC=AD,∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD.设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x,于是在△ABC中,有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°,解得x=36°.在△ABC中,∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.x⌒2x⌒2x⌒⌒2xD1.等腰三角形的对称轴是 (

)A.底边上的中线

B.顶角的平分线C.底边上的高

D.底边的垂直平分线注:对称轴要回答是直线,而ABC三个选项是线段或射线,不符合要求2.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,下列结论中不正确的是 (

)A.∠B=∠C B.AD⊥BC

C.AD平分∠BAC D.AB=2BDABCDD根据等腰三角形的性质即可证明ABC,D无法说明;3.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为____________;(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为____________________;(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为_____________.75°,30°72°,72°或36°,108°30°,30°4.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相交得的锐角为50°,则底角的大小为___________.70°或20°ABCABC注意:当题目未给定三角形的形状时,一般需分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论.5.如图,点E在BC上,AE//DC,

AB=AE.求证:∠B=∠C.ADCEB证明:∵AE//DC,∴∠C=∠AEB.又∵AB=AE,∴∠B=∠AEB,∴∠B=∠C.6.如图,在△ABC中,AB=AC,BD

⊥AC,CE

⊥AB,垂足分别为点D、E.求证:BD=CE.证明:∵AB=AC,∴∠EBC=∠DCB,∵BD⊥AC,CE⊥AB,∴∠BEC=∠CDB=90°.在△BEC和△CDB中,∠BEC=∠CDB,∠EBC=∠DCB,BC=CB∴△BEC≌△CDB(A.A.S.),∴BD=CE.7.如图,在△ABC中,点D在BC上,AD=BD,AB=AC=CD.求∠BAC的度数.解:设∠B=x°.∵AD=BD,∴∠BAD=∠B=x°.∴∠ADC=∠BAD+∠B=(2x)°.∵DC=AC,∴∠DAC=∠ADC=(2x)°.∵AB=AC,∴∠C=∠B=x°.∵∠C+∠DAC+∠ADC=180°,∴x+2x+2x=180.∴x=36,即∠B=36°.∴∠BAC=180°-36°-36°=108°ABCD8.已知点D、E在△ABC的边BC上,AB=AC.(1)如图①,若AD=AE,求证:BD=CE;ACBED图①G(1)证明:如图①,过A作AG⊥BC于G.∵AB=AC,AD=AE,∴BG=CG,DG=EG,∴BG-DG=CG

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