2.2+基本不等式（第一课时） 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第二章一元二次函数、方程和不等式2.2基本不等式（第一课时）教学目标

推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义（重点、难点）01

会用基本不等式解决简单问题（重点、难点）02

03

04基本不等式学科素养

基本不等式的形式以及推导过程数学抽象

运用图像解释基本不等式

直观想象

通过图形，分析法与综合法等证明基本不等式逻辑推理

准确熟练运用基本不等式数学运算

数据分析

将问题转化为基本不等式解决数学建模基本不等式01知识回顾RetrospectiveKnowledge等式性质与不等式性质1．不等式与不等关系：

用不等式表示不等关系，注意文字语言与符号语言之间的转化．2．比较两个实数大小关系的依据：3．作差比较法：

作差

→

变形

→

判断符号

→

作出结论性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔a<b⇔2传递性a>b，b>c⇒a>c⇒3可加性a>b⇔a＋c>b＋c⇔4可乘性a>b，c>0⇒ac>bc；

a>b，c<0⇒ac<bcc的符号5同向可加性a>b，c>d⇒a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性a>b>0，c>d>0⇒ac>bd同向同正7可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N*，n≥2)8可开方性a>b>0⇒(n∈N*，n≥2)等式性质与不等式性质02新

知

探

索NewKnowledgeexplore

如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．思考：

把上图的“风车”抽象成右图（正方形中有4个全等的直角三角形），你能在这个图中找出些正方形面积与直角三角形面积的相等关系和不等关系吗?

设直角三角形的两直角边的长分别为a，b那么正方形的边长为，这样4个直角三角形的面积和为2ab，正方形的面积为，由于正方形的面积大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式：DABCabE(FGH)

当且仅当E、F、G、H四点重合即a=b时，四个直角三角形面积和等于正方形面积，即：重要不等式:

∀a,b∈R，有a2+b2

≥2ab

（当且仅当a=b时，等号成立）另证：因为a2+b2－2ab

=(a－b)2

≥0,

所以a2+b2

≥2ab.

（当且仅当a=b时，等号成立）如果a>0，b>0，我们用

分别代替上式中的a，b，可得到:通常把上式写作：（当且仅当a=b时，等号成立）

∀a,b∈R，有a2+b2

≥2ab

（当且仅当a=b时，等号成立）重要不等式→基本不等式

通常称上述不等式为基本不等式．其中，

叫做正数a，b的算术平均数，

叫做正数a，b的几何平均数．几何平均值算术平均值（当且仅当a=b时，等号成立）

基本不等式（均值不等式）:

如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD,你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释？探究如图，可证△ACD∽△DCB，则CD=

，半径为

，圆的半径大于或等于CD，用不等式表示为

，当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，上述不等式的等号成立．证明：

（当且仅当a=b时，等号成立）思考：我们是否还可以用其他方法证明基本不等式？证明：要证

当且仅当a=b时，不等式中的等号成立．只要证

只要证

只要证

显然成立.

所以原不等式成立．该证明方法称为分析法当且仅当a=b时等号成立.综合法重要不等式与基本不等式的异同：不等式适用范围a,b∈Ra>0,b>0文字叙述两数的平方和不小于他们积的两倍两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数“=”成立的条件

a=b【例1】已知x>0，求

的最小值．【例2】已知x

，y都是正数，求证：

（1）若xy

等于定值P，那么当x=y时，x+y取得最小值；【例2】已知x

，y都是正数，求证：

(2)若x+y等于定值S，那么当x=y时，xy

取得最大值.利用基本不等式求最值时，需满足:（1）a，b必须是正数.（正）（2）当a+b为定值时，便可求ab的最大值；

当ab为定值时，便可求a+b的最小值.

（定）（3）当且仅当a=b时，等式成立.

（取等）【练习】已知x，y都是正数，且x≠y，求证：【练习】已知x，y都是正数，且x≠y，求证：03拓展提升ExpansionAndPromotion04归纳总结SumUp重要不等式基本不等式

等号成立的条件当且仅当a=b时，等号成立已知x,y都是正数，

(1)若xy

等于定值P，那么当x=y时，x+y取得最小值；(2)若x+y等于定值S，那么当x=y时，xy

取得最大值.利用基本不等式求最值时，需满足:（1）a，b必须是正数.（正）（2）当a+b为定值时，便可求ab的最大值；

当ab为定值时，便可求a+b的最小值.

（定）（3）当且仅当a=b时，等式成立.

（取等）05课后