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文档简介
宁夏回族自治区2024届中考适应性考试数学试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1.下列方程中,是一元二次方程的是()A.2x﹣y=3 B.x2+=2 C.x2+1=x2﹣1 D.x(x﹣1)=02.如图,在等腰直角△ABC中,∠C=90°,D为BC的中点,将△ABC折叠,使点A与点D重合,EF为折痕,则sin∠BED的值是()A. B. C. D.3.工人师傅用一张半径为24cm,圆心角为150°的扇形铁皮做成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的高为()cm.A. B. C. D.4.如图,在△ABC中,∠C=90°,将△ABC沿直线MN翻折后,顶点C恰好落在AB边上的点D处,已知MN∥AB,MC=6,NC=,则四边形MABN的面积是()A. B. C. D.5.计算的结果是()A.1 B.﹣1 C.1﹣x D.6.老师在微信群发了这样一个图:以线段AB为边作正五边形ABCDE和正三角形ABG,连接AC、DG,交点为F,下列四位同学的说法不正确的是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁7.如图1是2019年4月份的日历,现用一长方形在日历表中任意框出4个数(如图2),下列表示a,b,c,d之间关系的式子中不正确的是()A.a﹣d=b﹣c B.a+c+2=b+d C.a+b+14=c+d D.a+d=b+c8.今年我市计划扩大城区绿地面积,现有一块长方形绿地,它的短边长为60m,若将短边增长到长边相等(长边不变),使扩大后的棣地的形状是正方形,则扩大后的绿地面积比原来增加1600,设扩大后的正方形绿地边长为xm,下面所列方程正确的是()A.x(x-60)=1600B.x(x+60)=1600C.60(x+60)=1600D.60(x-60)=16009.已知抛物线的图像与轴交于、两点(点在点的右侧),与轴交于点.给出下列结论:①当的条件下,无论取何值,点是一个定点;②当的条件下,无论取何值,抛物线的对称轴一定位于轴的左侧;③的最小值不大于;④若,则.其中正确的结论有()个.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10.已知△ABC中,∠BAC=90°,用尺规过点A作一条直线,使其将△ABC分成两个相似的三角形,其作法不正确的是(
)A.
B.C.
D.二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11.如图,在平面直角坐标系中,点P的坐标为(0,4),直线y=x-3与x轴、y轴分别交于点A、B,点M是直线AB上的一个动点,则PM的最小值为________.12.如图,在平面直角坐标系中,点A是抛物线与y轴的交点,点B是这条抛物线上的另一点,且AB∥x轴,则以AB为边的等边三角形ABC的周长为.13.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则k的取值范围是______.14.已知一组数据4,x,5,y,7,9的平均数为6,众数为5,则这组数据的中位数是_____.15.如图,在△ABC中,BA=BC=4,∠A=30°,D是AC上一动点,AC的长=_____;BD+DC的最小值是_____.16.Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,过点B的直线把△ABC分割成两个三角形,使其中只有一个是等腰三角形,则这个等腰三角形的面积是_____.17.如图,与中,,,,,AD的长为________.三、解答题(共7小题,满分69分)18.(10分)某工厂计划生产A、B两种产品共60件,需购买甲、乙两种材料.生产一件A产品需甲种材料4千克,乙种材料1千克;生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克.经测算,购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元;购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金155元.(1)甲、乙两种材料每千克分别是多少元?(2)现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不能超过10000元,且生产B产品要超过38件,问有哪几种符合条件的生产方案?(3)在(2)的条件下,若生产一件A产品需加工费40元,若生产一件B产品需加工费50元,应选择哪种生产方案,才能使生产这批产品的成本最低?请直接写出方案.19.(5分)有四张正面分别标有数字﹣1,0,1,2的不透明卡片,它们除数字外其余全部相同,现将它们背面朝上洗均匀.随机抽取一张卡片,求抽到数字“﹣1”的概率;随机抽取一张卡片,然后不放回,再随机抽取一张卡片,请用列表或画树状图的方法求出第一次抽到数字“2”且第二次抽到数字“0”的概率.20.(8分)某校为了了解九年级学生体育测试成绩情况,以九年(1)班学生的体育测试成绩为样本,按A、B、C、D四个等级进行统计,并将统计结果绘制如下两幅统计图,请你结合图中所给信息解答下列问题:(说明:A级:90分﹣100分;B级:75分﹣89分;C级:60分﹣74分;D级:60分以下)(1)写出D级学生的人数占全班总人数的百分比为,C级学生所在的扇形圆心角的度数为;(2)该班学生体育测试成绩的中位数落在等级内;(3)若该校九年级学生共有500人,请你估计这次考试中A级和B级的学生共有多少人?21.(10分)计算:+2〡6tan3022.(10分)如图所示,一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A(2,4),B(﹣4,n)两点.分别求出一次函数与反比例函数的表达式;过点B作BC⊥x轴,垂足为点C,连接AC,求△ACB的面积.23.(12分)某翻译团为成为2022年冬奥会志愿者做准备,该翻译团一共有五名翻译,其中一名只会翻译西班牙语,三名只会翻译英语,还有一名两种语言都会翻译.求从这五名翻译中随机挑选一名会翻译英语的概率;若从这五名翻译中随机挑选两名组成一组,请用树状图或列表的方法求该纽能够翻译上述两种语言的概率.24.(14分)我国古代《算法统宗》里有这样一首诗:我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.诗中后两句的意思是:如果每间客房住7人,那么有7人无房可住;如果每间客房住9人,那么就空出一间房.求该店有客房多少间?房客多少人?
参考答案一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1、D【解析】试题解析:含有两个未知数,不是整式方程,C没有二次项.故选D.点睛:一元二次方程需要满足三个条件:含有一个未知数,未知数的最高次数是2,整式方程.2、B【解析】
先根据翻折变换的性质得到△DEF≌△AEF,再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到∠BED=CDF,设CD=1,CF=x,则CA=CB=2,再根据勾股定理即可求解.【详解】∵△DEF是△AEF翻折而成,∴△DEF≌△AEF,∠A=∠EDF,∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠EDF=45°,由三角形外角性质得∠CDF+45°=∠BED+45°,∴∠BED=∠CDF,设CD=1,CF=x,则CA=CB=2,∴DF=FA=2-x,∴在Rt△CDF中,由勾股定理得,CF2+CD2=DF2,即x2+1=(2-x)2,解得:x=,∴sin∠BED=sin∠CDF=.故选B.【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质,涉及面较广,但难易适中.3、B【解析】分析:直接利用圆锥的性质求出圆锥的半径,进而利用勾股定理得出圆锥的高.详解:由题意可得圆锥的母线长为:24cm,设圆锥底面圆的半径为:r,则2πr=,解得:r=10,故这个圆锥的高为:(cm).故选B.点睛:此题主要考查了圆锥的计算,正确得出圆锥的半径是解题关键.4、C【解析】连接CD,交MN于E,∵将△ABC沿直线MN翻折后,顶点C恰好落在AB边上的点D处,∴MN⊥CD,且CE=DE.∴CD=2CE.∵MN∥AB,∴CD⊥AB.∴△CMN∽△CAB.∴.∵在△CMN中,∠C=90°,MC=6,NC=,∴∴.∴.故选C.5、B【解析】
根据同分母分式的加减运算法则计算可得.【详解】解:原式====-1,故选B.【点睛】本题主要考查分式的加减法,解题的关键是熟练掌握同分母分式的加减运算法则.6、B【解析】
利用对称性可知直线DG是正五边形ABCDE和正三角形ABG的对称轴,再利用正五边形、等边三角形的性质一一判断即可;【详解】∵五边形ABCDE是正五边形,△ABG是等边三角形,∴直线DG是正五边形ABCDE和正三角形ABG的对称轴,∴DG垂直平分线段AB,∵∠BCD=∠BAE=∠EDC=108°,∴∠BCA=∠BAC=36°,∴∠DCA=72°,∴∠CDE+∠DCA=180°,∴DE∥AC,∴∠CDF=∠EDF=∠CFD=72°,∴△CDF是等腰三角形.故丁、甲、丙正确.故选B.【点睛】本题考查正多边形的性质、等边三角形的性质、轴对称图形的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.7、A【解析】
观察日历中的数据,用含a的代数式表示出b,c,d的值,再将其逐一代入四个选项中,即可得出结论.【详解】解:依题意,得:b=a+1,c=a+7,d=a+1.A、∵a﹣d=a﹣(a+1)=﹣1,b﹣c=a+1﹣(a+7)=﹣6,∴a﹣d≠b﹣c,选项A符合题意;B、∵a+c+2=a+(a+7)+2=2a+9,b+d=a+1+(a+1)=2a+9,∴a+c+2=b+d,选项B不符合题意;C、∵a+b+14=a+(a+1)+14=2a+15,c+d=a+7+(a+1)=2a+15,∴a+b+14=c+d,选项C不符合题意;D、∵a+d=a+(a+1)=2a+1,b+c=a+1+(a+7)=2a+1,∴a+d=b+c,选项D不符合题意.故选:A.【点睛】考查了列代数式,利用含a的代数式表示出b,c,d是解题的关键.8、A【解析】试题分析:根据题意可得扩建的部分相当于一个长方形,这个长方形的长和宽分别为x米和(x-60)米,根据长方形的面积计算法则列出方程.考点:一元二次方程的应用.9、C【解析】
①利用抛物线两点式方程进行判断;
②根据根的判别式来确定a的取值范围,然后根据对称轴方程进行计算;
③利用顶点坐标公式进行解答;
④利用两点间的距离公式进行解答.【详解】①y=ax1+(1-a)x-1=(x-1)(ax+1).则该抛物线恒过点A(1,0).故①正确;
②∵y=ax1+(1-a)x-1(a>0)的图象与x轴有1个交点,
∴△=(1-a)1+8a=(a+1)1>0,
∴a≠-1.
∴该抛物线的对称轴为:x=,无法判定的正负.
故②不一定正确;
③根据抛物线与y轴交于(0,-1)可知,y的最小值不大于-1,故③正确;
④∵A(1,0),B(-,0),C(0,-1),
∴当AB=AC时,,解得:a=,故④正确.
综上所述,正确的结论有3个.
故选C.【点睛】考查了二次函数与x轴的交点及其性质.(1).抛物线是轴对称图形.对称轴为直线x=-,对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P;特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0);(1).抛物线有一个顶点P,坐标为P(-b/1a,(4ac-b1)/4a),当-=0,〔即b=0〕时,P在y轴上;当Δ=b1-4ac=0时,P在x轴上;(3).二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小;当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下;|a|越大,则抛物线的开口越小.(4).一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置;当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右;(5).常数项c决定抛物线与y轴交点;抛物线与y轴交于(0,c);(6).抛物线与x轴交点个数Δ=b1-4ac>0时,抛物线与x轴有1个交点;Δ=b1-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;Δ=b1-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.X的取值是虚数(x=-b±√b1-4ac乘上虚数i,整个式子除以1a);当a>0时,函数在x=-b/1a处取得最小值f(-b/1a)=〔4ac-b1〕/4a;在{x|x<-b/1a}上是减函数,在{x|x>-b/1a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{y|y≥4ac-b1/4a}相反不变;当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为y=ax1+c(a≠0).10、D【解析】分析:根据过直线外一点作这条直线的垂线,及线段中垂线的做法,圆周角定理,分别作出直角三角形斜边上的垂线,根据直角三角形斜边上的垂线,把原直角三角形分成了两个小直角三角形,图中的三个直角三角形式彼此相似的;即可作出判断.详解:A、在角∠BAC内作作∠CAD=∠B,交BC于点D,根据余角的定义及等量代换得出∠B+∠BAD=90°,进而得出AD⊥BC,根据直角三角形斜边上的垂线,把原直角三角形分成了两个小直角三角形,图中的三个直角三角形式彼此相似的;A不符合题意;B、以点A为圆心,略小于AB的长为半径,画弧,交线段BC两点,再分别以这两点为圆心,大于两交点间的距离为半径画弧,两弧相交于一点,过这一点与A点作直线,该直线是BC的垂线;根据直角三角形斜边上的垂线,把原直角三角形分成了两个小直角三角形,图中的三个直角三角形是彼此相似的;B不符合题意;C、以AB为直径作圆,该圆交BC于点D,根据圆周角定理,过AD两点作直线该直线垂直于BC,根据直角三角形斜边上的垂线,把原直角三角形分成了两个小直角三角形,图中的三个直角三角形式彼此相似的;C不符合题意;D、以点B为圆心BA的长为半径画弧,交BC于点E,再以E点为圆心,AB的长为半径画弧,在BC的另一侧交前弧于一点,过这一点及A点作直线,该直线不一定是BE的垂线;从而就不能保证两个小三角形相似;D符合题意;故选D.点睛:此题主要考查了相似变换以及相似三角形的判定,正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键.二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11、【解析】
认真审题,根据垂线段最短得出PM⊥AB时线段PM最短,分别求出PB、OB、OA、AB的长度,利用△PBM∽△ABO,即可求出本题的答案【详解】解:如图,过点P作PM⊥AB,则:∠PMB=90°,当PM⊥AB时,PM最短,因为直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点A,B,可得点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(0,﹣3),在Rt△AOB中,AO=4,BO=3,AB=,∵∠BMP=∠AOB=90°,∠B=∠B,PB=OP+OB=7,∴△PBM∽△ABO,∴,即:,所以可得:PM=.12、18。【解析】根据二次函数的性质,抛物线的对称轴为x=3。∵A是抛物线与y轴的交点,点B是这条抛物线上的另一点,且AB∥x轴。∴A,B关于x=3对称。∴AB=6。又∵△ABC是等边三角形,∴以AB为边的等边三角形ABC的周长为6×3=18。13、k<5且k≠1.【解析】试题解析:∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,解得:且故答案为且14、1.1【解析】【分析】先判断出x,y中至少有一个是1,再用平均数求出x+y=11,即可得出结论.【详解】∵一组数据4,x,1,y,7,9的众数为1,∴x,y中至少有一个是1,∵一组数据4,x,1,y,7,9的平均数为6,∴(4+x+1+y+7+9)=6,∴x+y=11,∴x,y中一个是1,另一个是6,∴这组数为4,1,1,6,7,9,∴这组数据的中位数是×(1+6)=1.1,故答案为:1.1.【点睛】本题考查了众数、平均数、中位数等概念,熟练掌握众数、平均数、中位数的概念、判断出x,y中至少有一个是1是解本题的关键.15、(Ⅰ)AC=4(Ⅱ)4,2.【解析】
(Ⅰ)如图,过B作BE⊥AC于E,根据等腰三角形的性质和解直角三角形即可得到结论;(Ⅱ)如图,作BC的垂直平分线交AC于D,则BD=CD,此时BD+DC的值最小,解直角三角形即可得到结论.【详解】解:(Ⅰ)如图,过B作BE⊥AC于E,∵BA=BC=4,∴AE=CE,∵∠A=30°,∴AE=AB=2,∴AC=2AE=4;(Ⅱ)如图,作BC的垂直平分线交AC于D,则BD=CD,此时BD+DC的值最小,∵BF=CF=2,∴BD=CD==,∴BD+DC的最小值=2,故答案为:4,2.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,线段垂直平分线的性质,解直角三角形,正确的作出辅助线是解题的关键.16、3.1或4.32或4.2【解析】【分析】在Rt△ABC中,通过解直角三角形可得出AC=5、S△ABC=1,找出所有可能的分割方法,并求出剪出的等腰三角形的面积即可.【详解】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=3,BC=4,∴AB==5,S△ABC=AB•BC=1.沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形,使其中只有一个是等腰三角形,有三种情况:①当AB=AP=3时,如图1所示,S等腰△ABP=•S△ABC=×1=3.1;②当AB=BP=3,且P在AC上时,如图2所示,作△ABC的高BD,则BD=,∴AD=DP==1.2,∴AP=2AD=3.1,∴S等腰△ABP=•S△ABC=×1=4.32;③当CB=CP=4时,如图3所示,S等腰△BCP=•S△ABC=×1=4.2;综上所述:等腰三角形的面积可能为3.1或4.32或4.2,故答案为:3.1或4.32或4.2.【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积,找出所有可能的分割方法,并求出剪出的等腰三角形的面积是解题的关键.17、【解析】
先证明△ABC∽△ADB,然后根据相似三角形的判定与性质列式求解即可.【详解】∵,,∴△ABC∽△ADB,∴,∵,,∴,∴AD=.故答案为:.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质:在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形.灵活运用相似三角形的性质进行几何计算.三、解答题(共7小题,满分69分)18、(1)甲种材料每千克25元,乙种材料每千克35元.(2)共有四种方案;(3)生产A产品21件,B产品39件成本最低.【解析】试题分析:(1)、首先设甲种材料每千克x元,乙种材料每千克y元,根据题意列出二元一次方程组得出答案;(2)、设生产B产品a件,则A产品(60-a)件,根据题意列出不等式组,然后求出a的取值范围,得出方案;得出生产成本w与a的函数关系式,根据函数的增减性得出答案.试题解析:(1)设甲种材料每千克x元,乙种材料每千克y元,依题意得:x+y=602y+3y=155解得:答:甲种材料每千克25元,乙种材料每千克35元.(2)生产B产品a件,生产A产品(60-a)件.依题意得:(25×4+35×1)(60-a)+(35×3+25×3)a≤10000a>38解得:∵a的值为非负整数∴a=39、40、41、42∴共有如下四种方案:A种21件,B种39件;A种20件,B种40件;A种19件,B种41件;A种18件,B种42件(3)、答:生产A产品21件,B产品39件成本最低.设生产成本为W元,则W与a的关系式为:w=(25×4+35×1+40)(60-a)+(35×+25×3+50)a=55a+10500∵k=55>0∴W随a增大而增大∴当a=39时,总成本最低.考点:二元一次方程组的应用、不等式组的应用、一次函数的应用.19、(1);(2).【解析】试题分析:(1)根据概率公式可得;(2)先画树状图展示12种等可能的结果数,再找到符合条件的结果数,然后根据概率公式求解.解:(1)∵随机抽取一张卡片有4种等可能结果,其中抽到数字“﹣1”的只有1种,∴抽到数字“﹣1”的概率为;(2)画树状图如下:由树状图可知,共有12种等可能结果,其中第一次抽到数字“2”且第二次抽到数字“0”只有1种结果,∴第一次抽到数字“2”且第二次抽到数字“0”的概率为.20、(1)4%;(2)72°;(3)380人【解析】
(1)根据A级人数及百分数计算九年级(1)班学生人数,用总人数减A、B、D级人数,得C级人数,再用C级人数÷总人数×360°,得C等级所在的扇形圆心角的度数;(2)将人数按级排列,可得该班学生体育测试成绩的中位数;(3)用(A级百分数+B级百分数)×1900,得这次考试中获得A级和B级的九年级学生共有的人数;(4)根据各等级人数多少,设计合格的等级,使大多数人能合格.【详解】解:(1)九年级(1)班学生人数为13÷26%=50人,C级人数为50-13-25-2=10人,C等级所在的扇形圆心角的度数为10÷50×360°=72°,故答案为72°;(2)共50人,其中A级人数13人,B级人数25人,故该班学生体育测试成绩的中位数
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