提分练习：巧用勾股定理判定直角的六种方法

5/5《提分练习1巧用勾股定理判定直角的六种方法》典例剖析例某校把一块三角形的废地开辟为植物园，如图，测得AC=80m，BC=60m，AB=100m.（1）若入口E在边AB上，且与A，B的距离相等.求从入口E到出口C的最短路线的长；（提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）（2）若线段CD是一条水渠，且点D在边AB上，点D距点A多远时，水渠最短？解题秘方：解实际生活中的问题，需先将实际问题通过建立数学模型转化为数学问题，再利用数学知识进行解答.本题中：已知△ABC中，AC=80m，BC=60m，AB=100m.（1）若AE=EB，求CE的长；（2）若CD⊥AB，求AD的长.解：（1）因为AC=80m，BC=60m，AB=100m，所以AC2+BC2=802+602=6400+3600=1002=AB2.所以△ABC为直角三角形，且AB为斜边.又因为AE=EB，所以CE=AB=×100=50（m）.即从入口E到出口C的最短路线的长为50m.（2）当CD⊥AB时，CD最短.因为∠ACB=90°，CD⊥AB，所以S△ABC=AB∙CD=AC∙BC.所以CD=48m.在Rt△ACD中，因为AC2=AD2+CD2，所以802=AD2+482.所以AD=64m，即点D距点A64m时，水渠最短.分类训练方法1利用三边的数量关系说明直角1.如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且CE=BC.你能说明∠AFE是直角吗？方法2利用转化为三角形法构造直角三角形2.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=13，AD=12.求S四边形ABCD.方法3利用倍长中线法构造直角三角形3.如图，在△ABC中，D为边BC的中点，AB=5，AD=6，AC=13.试说明：AB⊥AD.方法4利用化分散为集中法构造直角三角形4.如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE'的位置.若AE=1，BE=2，CE=3，求∠BE'C的度数.方法5利用“三线合一”法构造直角三角形5.如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D为AB的中点，M，N分别为AC，BC上的点，且DM⊥DN.试说明：AB2=2（CM+CN）2.方法6利用轴对称的性质构造直角三角形6.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B'重合，AM为折痕，则MB'的长为多少？

参考答案1.解：如图，连接AE，设CE=a，则BC=4a，BE=3a.因为四边形ABCD为正方形，且F为DC的中点，所以AB=AD=CD=BC=4a，DF=CF=2a.由勾股定理得AF2=AD2+DF2=（4a）2+（2a）2=20a2，EF2=CE2+CF2=a2+（2a）2=5a2，AE2=AB2+BE2=（4a）2+（3a）2=25a2.因为AF2+EF2=20a2+5a2=25a2，所以AF2+EF2=AE2.由直角三角形的判定方法得∠AFE=90°,即∠AFE是直角.2.解：连接AC.在Rt△ACB中，AB2+BC2=AC2，所以AC=5.所以AC2+AD2=52+122=132=CD2.所以△ACD为直角三角形，且∠CAD=90°.所以S四边形ABCD=×3×4+×5×12=36.3.解：如图，延长AD至点E，使ED=AD，连接BE.因为D为BC的中点，所以CD=BD.又因为AD=ED，∠ADC=∠EDB，所以△ADC≌△EDB（SAS）.所以EB=AC=13.在△ABE中，AE=2AD=12，AB=5，所以AE2+AB2=122+52=169.又因为EB2=132=169，所以AE2+AB2=EB2.所以△ABE是直角三角形，且∠BAE=90°，即AB⊥AD.点拨：本题运用倍长中线法构造全等三角形说明线段相等，再利用直角三角形的判定方法说明三角形为直角三角形，从而说明两条线段垂直.4.解：如图，连接EE′.由题意可知△ABE≌△CBE′，所以CE′=AE=1，BE′=BE=2，∠ABE=∠CBE′.又因为∠ABE+∠EBC=90°，所以∠CBE′+∠EBC=90°，即∠EBE′=90°.则由勾股定理，得EE′2=8.在△EE′C中，CE′2+EE′2=1+8=9=CE2.由直角三角形的判定方法可知∠EE'C=90°.因为BE=BE'，∠EBE′=90°，所以∠BE'E=.所以∠BE'C=∠BE'E+∠EE'C=45°+90°=135°.5.解：如图，连接CD，过点D作DE⊥BC于点E.因为DM⊥DN，所以∠MDC+∠CDN=90°.因为∠ACB=90°，AC=BC，D为AB的中点，所以CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，∠A=∠B=45°.所以∠CDN+∠NDB=90°.所以∠MDC=∠NDB.由∠BCD=∠B=45°，DE⊥BC，易得△DBE≌△DCE（AAS）.所以CD=BD.在△CMD和△BND中，所以△CMD≌△BND（ASA）.所以CM=BN.所以CM+CN=BN+CN=BC.又因为AB2=AC2+BC2=2BC2，所以AB2=2（CM+CN）2.6.解：在Rt△ABC中，根据勾股定理得BC2=AC2-AB2=52-32=42，所以BC=4.根据折叠的性质可知B′M=BM，AB